Функции и их свойства file

Понятие функции
Определение 1. Дано некоторое числовое множество X и
указан закон f, по которому каждому числу x  X ставится
в соответствие единственное число y  Y . Тогда говорят, что
задана функция y  f ( x) с областью определения X, и пишут
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋. Множество Y называется множеством
значений функции.
Приняты обозначения X  D ( f ), Y  E ( f ).
Переменная х называется независимой переменной, y –
зависимой переменной (функцией).
Определение 2. Две функции y  f ( x) и 𝑦 = 𝑔(𝑥)
называются тождественно равными на множестве
M, если они определены на M и для любого x0  M
выполняется 𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ).
Две функции называются равными, если они
тождественно равны на их общей области
определения.
Функция и ее свойства
Определение 3. Графиком функции y  f ( x)
называется множество
Г ( f )   x, y  x  D( f ), y  f ( x).
Способы задания функций
1. Аналитический
2. Графический
3. Табличный
4. Описательный
Задания
I. Найти область определения функции
1
1
1
1
1) y   x 1  2 1  1
2) y   x  1  1
3) y  2 x  x 2
4) 𝑦 = 4𝑥 + 𝑥 2
5) y  x 2  4  4 2  x  4 2  x



4
4
6) 𝑦 = 𝑥 2 − 9 + 3 − 𝑥 + 3 + 𝑥
7) y   x  2
8) y  x 
x5
x
9) y  3  2
x  4x
11) y 
4
x2
x
3 3
2
x  6x  8
x  4x

2
x7
x
10) y  2  2
x  2x
12) y 
5
( x  2) 2
x
3 2
2
x  8 x  12
x 4
Задания
II. Найти линейную функцию y=f(x), если известно,
что
а) ее график проходит через точки A(1; 3) и B(-2;7);
б) ее график проходит под углом 45 к оси ОХ и
точка С(2;3) принадлежит графику;
в) ее график отсекает на осях координат ОХ и ОY
отрезки длины 3 и 5 cоответственно.
III. Найти квадратичную функцию y=f(x), если
а) f(-1)=-1; f(3)=-3; f(6)=12.
б) f(-2)=9; f(1)=3; f(3)=19.
в) ее график симметричен относительно прямой x=3,
наименьшее значение равно -5, точка С(1; 4)
принадлежит графику.
Задания
IV. Построить графики функций, найти значения в точках с
абсциссами х=а и х=в, отметить точки А и В на графике.
1) y  2 x  3 , a  1; b  2.
2) y  x  4 , a  1; b  2.
3) y  x  1  x  1 , a  0; b  3. 4) y  x  x  2 , a  4; b  3.
5) y  max(2  x, 4  x), a  3.
7) y 
6) y  min(2  x, 4 x), a  3.
x 1
x2
, a  4, b  0. 8) y 
, a  2, b  0.
x3
x 1
9) y  2  6 x , b  1. 10) y  3  6 x , b  1.
 2  x , если x  0;

11) y  4  x, если 0  x  4;
 x 2  8 x  16, если x  4.

a  2, b  2.
Монотонность функций
Определение 4. Функция y  f ( x) называется строго
возрастающей на множестве A  D( f ) , если
выполняется ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )).
Определение 5. Функция y  f ( x) называется строго
убывающей на множестве A  D( f ) , если
∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2 )).
Определение 6. Функция y  f ( x) называется
возрастающей на множестве A  D( f ) в нестрогом
смысле, если ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )).
Определение 7. Функция называется убывающей
на множестве A  D( f ) в нестрогом смысле, если
∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2 )).
Все, определенные выше функции, называются
монотонными на A.
Задания
1. Доказать, используя определение, что
а) функция y  4 x  5 возрастает на R;
б) функция y  x 2  2 x возрастает на 1; +∞
убывает на −∞; 1 ;
в) функция y  2  4 x убывает на −∞;
1
2
и
.
2. Исследуйте последовательности на
монотонность: а) xn  n
; б) xn  n 2  6n  5.
n2  1
3. Изобразить график функции y  g ( x) , для
которой выполняется:
а)D( f )  R; E ( f )   2;    , возрастает на −2; +∞ ,
убывает на −∞; −2 .
Задания
I. Пусть функции y  f ( x) и 𝑦 = 𝑔(𝑥 ) определены на одном
множестве А, и обе возрастают на этом множестве.
Исследовать на монотонность следующие функции
1) 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 2) y = f x + C; 3) 𝑦 = 𝑘𝑔(𝑥), k > 0;
4) 𝑦 = 𝑘𝑓 𝑥 , (𝑘 < 0); 5) 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥 ).
II. Пусть функции из первого задания положительны на А.
Исследуйте на монотонность функции.
1
1) 𝑦 = 𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥); 2) y=𝑓(𝑥) .
Последовательности. Ограниченность
Определение 8. Последовательность – это функция
натурального аргумента. 𝑥𝑛 : ℕ → R.
Определение 9. Последовательность 𝑥𝑛 называется
возрастающей, если n  xn1  xn .
Последовательность 𝑥𝑛 называется убывающей, если
n  xn1  xn .
Определение 10. Функция y  f ( x) называется ограниченной,
если существуют такие числа m и M, что для любых x  D( f )
выполняется m  f ( x)  M .
Определение 11. Числовая последовательность называется
ограниченной, если существуют такие числа m и M, что для
любого ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑀.
Число m называется нижней границей, M – верхней
границей значений функции (последовательности).
Задания
I.
Исследовать на монотонность и ограниченность
последовательности
1
n 1
n2  1
1) xn  ; 2) xn 
; 3) xn  2
n
2n  3
n  3n
4) xn  n  6n  1; 5) xn  n  2n ; 6) xn
2
2
1


n
n
n2
II. Являются ли следующие функции ограниченными:
1) y  2 x ; 2) y  2 x  x 2 ; 3) y  x 3  1;
1
4) y  2 ; 5) y  sin 3 x; 6) y  tgx.
x 1
Четные и нечетные функции
Определение 12. Множество Х на числовой оси называется
симметричным относительно нуля, если x  X  ( x)  X .
Определение 13. Функция f : X  Y называется четной , если
1) Множество Х симметрично относительно нуля,
2) x  X f ( x )  f ( x ).
Определение 14. Функция f : X  Y называется нечетной,
если 1) Множество Х симметрично относительно нуля,
2)x  X f (  x )   f ( x ).
График четной функции симметричен относительно оси Оy.
График нечетной функции симметричен относительно О(0;0).
Теорема. Любую функцию, определенную на симметричном
множестве, можно представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
Задания
1. Исследовать функции на четность/нечетность.
x 1
a ) y  x  x ; b) y  sin x ; c) y  x  x ; d ) y 
;
sin x
x  cos x
1
1
e) y  2
; f)y

; g ) y  sin(cos x);
x  3x
1 x 1 x
h) y  cossin x; k ) y  x  2  x  x  2 ; l ) y  3x 2  4 x.
2
4
2
2
2. Пусть функции f(x) и g(x) определены на
симметричном относительно х=0 множестве Х.
Исследовать на четность/нечетность функции
a ) f ( x)  g ( x); b) f ( x)  g ( x); c) f ( x)  g ( x); d )
f ( x)
.
g ( x)
Задания
3. Функция y=f(x) определена на некотором
множестве следующим образом:
 x, если 0  x  1;
1  x  3 , если  4  x  2;

a) y   x  2, если 1  x  2; b) y   2
 x  2 x, если  2  x  0.
0, если x  1.

Нарисовать график функции y=g(x), определенной
на всей числовой прямой, который совпадает с
графиком y=f(x) на заданном отрезке, и такой, что
1) функция y=g(x) является четной;
2) функция y=g(x) является нечетной.
Периодические функции
Определение 15. Функция f : X  Y называется
периодической, если существует число T  0 , такое
что выполняются
1) x( x  X  ( x  T )  X )
2) x  X f ( x  T )  f ( x)
Задачи. 1) Доказать, что
a )   период функции y  cos 2 x; b)

4
 период функции y  sin8 x.
2) Найти период функции
5x


a ) y  cos 2 x; b) y  sin ; c) y  tg 1,2 x   ;
3
4

2x
x
d ) y  sin 2 x  cos3 x;
e) y  sin
 cos .
5
3
Ответь на вопросы
1. Может ли строго возрастающая функция быть
периодической?
2. Пусть функция y  f ( x ) определена на отрезке  a; b .
Может ли она быть периодической?
3. Может ли область определения периодической функции
совпадать с множеством  a;   ?
4. Может ли периодическая функция принимать свое
наибольшее значение М в одной точке х=а?
n
n 1
5. Может ли многочлен y  an x  an1 x  ...  a1 x  a0 быть
периодической функцией?
6. Может ли дробно-рациональная функция быть
периодической функцией?
7. Верно ли, что если число Т - период функции y  f ( x) ,
то любое число nT, где n – целое, тоже будет ее периодом?
8. Всякая ли периодическая функция имеет главный
период?
Задания
1. Функция y=f(x) имеет период Т=1 и на
2
промежутке  0;1 задана формулой y  x  x .
3
1
Найти 𝑓 2 , 𝑓
, 𝑓 −25 .
2
7
2. Привести пример (можно графически) четной
периодической функции такой, что ее значения в
каждой точке множества X совпадают со
значениями функции y=f(x), если
a ) y  0,5  x, X   0;1;

 1
0,
x

0; 



 2
b) y  
; X   0;1.
 x  1 , x   1 ;1


2
 2 
c) y  2  x  3 , X   2,5;4,5.