Свойства математического ожидания

Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Определение
Пусть 𝑥 – дискретная случайная величина,
принимающая значения 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 , … с
вероятностью 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … , 𝑝𝑛 , … соответственно.
Математическим ожиданием или средним значением
случайной величины 𝑥 называется число:
∞
𝑀 𝑥 =
𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ⋯ +𝑥𝑖 𝑝𝑖
𝑖=1
в предположении, что ряд абсолютно сходится.
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Пример
Пусть случайная величина 𝑥 определена рядом
распределения
x
-1
0
1
3
5
p
0,1
0,3
0,2
0,25
0,15
Найти 𝑀(𝑥).
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Ключ к примеру
x
-1
0
1
3
5
p
0,1
0,3
0,2
0,25
0,15
∞
По формуле 𝑀 𝑥 =
𝑥𝑖 𝑝𝑖 имеем:
𝑖=1
𝑀(𝑥) = −1 ∙ 0,1 + 0 ∙ 0,3 + 1 ∙ 0,2 + 3 ∙ 0,25 + 5 ∙ 0,15
= 1,4
Ответ: 1,4
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Определение
Если случайная величина 𝑥 – непрерывная и 𝑓 𝑥 плотность распределения ее, то 𝑀(𝑥) определяется
равенством:
∞
𝑀 𝑥 =
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
при условии, что несобственный интеграл сходится
абсолютно.
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Пример
Найти математическое ожидание случайной
величины 𝑥, зная его плотность распределения:
𝑓(𝑥) =
1
2𝑒
при 𝑎 − 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑙,
𝑓 𝑥 =0 при остальных значениях 𝑥.
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Ключ к примеру
∞
𝑀 𝑥 =
𝑎+𝑙
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
𝑎−𝑙
1
1 𝑥2 𝑎 + 𝑙
⋅ 𝑥𝑑𝑥 =
⋅
=𝑎
2𝑒
2𝑒 2 𝑎 − 𝑙
Ответ: 𝑎.
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Вероятностный смысл математического ожидания
Случайная величина 𝑥 в результате N испытаний 𝑚1
раз приняла значение 𝑥1 , 𝑚2 раз - значение 𝑥2 , и так
далее 𝑚𝑛 раз - 𝑥𝑛 .
𝑛
𝑘=1 𝑚𝑛
𝑋=
= 𝑁;
𝑛
𝑘=1 𝑥𝑛 𝑚𝑛
𝑁
;
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Вероятностный смысл математического ожидания
𝑋=
𝑚𝑘
𝑛
𝑘=1(𝑥𝒌 𝑁 )
𝑤𝑘 =
𝑚𝑘
;
𝑁
𝑋=
𝑛
𝑘=1 𝑥𝑛 𝑤𝑘
𝑋 ≈ 𝑀(𝑥);
=
𝑚1
𝑥1
𝑁
𝑚2
+ 𝑥2
𝑁
+
𝑚𝑛
⋯ + 𝑥𝑛 ;
𝑁
= 𝑥1 𝑤1 + 𝑥2 𝑤2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑤𝑛 ;
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Математическое ожидание случайной величины 𝑥 постоянная величина. Оно показывает, какое
значение случайной величины следует ожидать в
среднем при испытаниях или наблюдениях.
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Свойства математического ожидания
1) 𝑀 𝐶 = 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡;
2) 𝑀 𝐶𝑥 = 𝐶 ⋅ 𝑀 𝑥
𝑀 𝐶𝑥 = 𝑘 𝐶𝑥𝑘 𝑝𝑘 = 𝐶 ⋅ 𝑀 𝑥 ;
3) 𝑀 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑀 𝑥 ⋅ 𝑀 𝑦 , для независимых случайных
величин
𝑥𝑘 → 𝑝𝑘 , 𝑦𝑚 → 𝑞𝑚 ⇒ 𝑥𝑘 𝑦𝑚 → 𝑝𝑘 𝑞𝑚 ;
𝑀 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑦𝑚 𝑝𝑘 𝑞𝑚 ;
𝑀 𝑥 ⋅𝑀 𝑦 =
𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑝𝑘
𝑘,𝑚 𝑦𝑚 𝑞𝑚
=
𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑝𝑘 𝑦𝑚 𝑞𝑚 ;
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Свойства математического ожидания
4) 𝑀 𝑥 + 𝑦 = 𝑀 𝑥 + 𝑀(𝑦);
𝑀 𝑥 + 𝑦 = 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 + 𝑦𝑚 𝑝𝑘𝑚 =
𝑘,𝑚 𝑝𝑘𝑚
= 𝑝𝑘 ;
𝑘,𝑚 𝑝𝑘𝑚
= 𝑞𝑚 ;
Тогда 𝑀 𝑥 + 𝑦 =
𝑘 𝑥𝑘 𝑝𝑘
+
𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑝𝑘𝑚
𝑚 𝑦𝑚 𝑞𝑚
+
𝑘,𝑚 𝑦𝑚 𝑝𝑘𝑚 ;
= 𝑀 𝑥 + 𝑀(𝑦)
Математическое ожидание
случайной величины и его свойства
Математическое ожидание функции 𝜑 𝑥 случайной
величины 𝑥 имеет вид:
∞
𝑀 𝜑 𝑥
=
𝜑 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
для непрерывной случайной величины и
∞
𝑀 𝜑 𝑥
=
𝜑(𝑥𝑖 )𝑝𝑖
𝑖=1
для дискретной случайной величины.