Решить неравенства

Применение метода
рационализации при
решении неравенств
и систем неравенств
Метод рационализации
заключается в замене сложного
выражения F(x) на более простое
выражение G(x), при котором
неравенство G(x)˃0 равносильно
неравенству F(x)˃0 в области
определения выражения F(x).
Выражение F
1
1а
1б
2
2а
2б
3
4
4а
5
6
Выражение G
Теоретического обоснования метода
рационализации:
Если f(x) монотонно возрастающая функция и:
1. f(a) >f(b), то a>b;
2. f(a) - f(b) >o, то a-b>0.
3. f(a) - f(b) < o, то a-b< 0.
f ( x)  f (b)
0
g ( x)  g (a )
4. Неравенство
можно
x b
заменить неравенством x  a  0
которое можно решить методом
интервалов.
Пример 1. Решите неравенство log 2x+3 x2 < 1.
1.ОДЗ: 2 х  3  0,

 2 x  3  1,
 x 2  0.

 3 
  ;1   1;0  0; .
 2 
2.Решим неравенство:
log 2x+3 x2 - 1 < 0.
lg x 2
lg x 2  lg( 2 x  3)
Перейдём к основанию 10: lg( 2 x  3)  1  0, lg( 2 x  3)  0,
lg x 2  lg( 2 x  3)
0
lg( 2 x  3)  lg 1
x2  2x  3
 0,
2x  3 1
Получим:(-∞; -1)U (-1; 3). Учтём ОДЗ.
ОТВЕТ. (-1,5; -1)U(-1; 0)U(0; 3).
Пример 2. Решите неравенство


log x2  x1 x  2x  9  log x2  x1 x  1
2
 x 2  2 x  9  0,
 2
 x  x  1  0,
 2
 x  x  1  1,
x  1  0 /

1.ОДЗ




(1+
10
; +∞).


2
lg x 2  2 x  9
lg x  1
lg x  2 x  9  lg x  1


0
,
 0,
2
lg x 2  x  1 lg x 2  x  1
lg x  x  1
lg x



 2 x  9  lg x  1
 0,
2
lg x  x  1  lg 1
2


x 2  3 x  10
 0,
2
x  x2
x
2



 2 x  9  x  1
 0,
2
x  x 1 1


(-∞;-2)U(-2;1)U[5;+∞) .
С учётом ОДЗ: [5;+∞).
Решите неравенство
1  3х  1
1. ОДЗ: 1  3 х  0, [-2;
1

2  х 1
2  х  0,

 2  х  1  0.
1  3х  1
 1  0, 1  3х 1  2  х  1  0
2  х 1
2  х 1
ПРИМЕР 3
1  3х  2  х
 0,
2 х  1
1  3х  2  х
 0,
2  х 1
С учётом ОДЗ: [-2;-1)U[- 1;
4
1
3
].
1
]
3
1
(-∞;-1)U[- 4;+∞).

x4
0
ПРИМЕР 4 Решить систему неравенств log 6  x 2

x  12 x  36

х 1
х2
25

0
,
5

2
х2


0
,
5
,
х2
х

Решим первое неравенство
2
4

ОДЗ: (-∞;-5)U(-5;0)U(0;6).


lg х 4  lg x 2  12 х  36
 0,
lg 6  х   lg 1


2
х 4  x 2  12 х  36
х 4  x  6
 0,
 0,
5 x
6  х 1
[-3;2]U(5;+∞).
Решим второе неравенство
25  2 х1  2 х2  х2
 2  0.
х2
2х
2 2
25  2 х1  2 х2  20  2 х2
 х 1
0
log 25 ,то
Так
как
25
=2
25

2

2
2
 0.
х2
2х
 0. получим:
х2
2х
2 2
2 2
 х 1 log 25
0
2
2
 x  1  log 2 25
(-∞;2)U[log250;+∞)

0
.

0
.
х2
2х
2 2
x  2  2x
2
Решение системы с учётом ОДЗ: [-3;0)U(0;2)U(5;6].
Алгоритм
1. Перенеси всё в левую часть.
2. Приведи к общему знаменателю, если это
нужно.
3. Если неравенство логарифмическое или
показательное, приведи его к одному
основанию.
4. Получи в числителе и знаменателе разность.
5.Замени неравенство на рациональное
6.Реши его.
7.Найди пересечение его решения с областью
определения.
Пример 1.
Решить неравенство:
ОТВЕТ: (-∞;-2)U(1;2)
Пример 2.
Решить неравенство:
Решение:
ОДЗ: (-1;1)
ОТВЕТ: (-1;0) U(0;1)
Решить неравенства:
Пример 3.
ОТВЕТ
Пример 4.
ОТВЕТ
Пример 5.
ОТВЕТ
Пример 6.
ОТВЕТ
Пример 7.
ОТВЕТ
Пример 8.
ОТВЕТ
Пример 9.
ОТВЕТ
Решить неравенство
(из сборника МИОО):
Пример 3
-
+
1/2
-1
+
2
3
0
ОТВЕТ:
НАЗАД
Пример 4
+
1
-
+
+
6
2
3
9
ОТВЕТ:
НАЗАД
Пример 5
+
ОТВЕТ:
-
-
+
-1
0
-1
0
1
+
3
2
(2;3)
НАЗАД
Пример 6
-
-
+
-2
-1
-1
+
1
0
ОТВЕТ:
НАЗАД
Пример 7
+
-
+
-3
-1
-1/2
0
+
1
4
ОТВЕТ:
НАЗАД
Пример 8
+
+
-
3
1
1
+
2
ОТВЕТ:
НАЗАД
Пример 9
0
3/2
5/4
ОТВЕТ:
НАЗАД