Тема урока: Построение сечений многогранников с использованием аксиом стереометрии

Тема урока:
Построение сечений многогранников
с использованием
аксиом стереометрии
Первый урок по теме
Преподаватель математики
Майкопского государственного гуманитарно-технического колледжа
ФГБОУ ВПО «Адыгейский государственный университет»
Плохотникова Л.П.
Этапы решения задачи на
построение
1.
2.
3.
4.
Построение сечения
Доказательство
Анализ
Вычисление требуемых параметров
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Построение начинаем с ответа
на вопрос:
Какие две точки искомого
сечения лежат в одной
плоскости?
N
A
C
P
B
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
Построение
1. Точки М и N лежат в  и
плоскости ACD, то  ACD=MN.
M
N
A
C
P
B
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
Построение
1. Точки М и N лежат в  и
плоскости ACD, то
 ACD=MN.
M
Третья точка P лежит в плоскости
ABC.
Какая прямая является общей для
плоскости ABC и плоскости ACD?
N
A
C
P
B
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
B
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
B
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
B
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
Построение
1. Точки М и N лежат в  и
плоскости ACD, то  ACD=MN.
2. MNAC=Q.
M
N
A
C
P
B
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Какие две точки искомого
сечения лежат в одной
плоскости?
N
A
C
P
B
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
B
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Построение
1. Точки М и N лежат в  и
плоскости ACD, то  ACD=MN.
2. MNAC=Q.
3. Точки P и Q лежат в  и
плоскости ABC, то  ABC=PQ.
N
A
C
P
B
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Построение
1. Точки М и N лежат в  и
плоскости ACD, то  ACD=MN.
2. MNAC=Q.
3. Точки P и Q лежат в  и
плоскости ABC, то  ABC=PQ.
4. PQBC=E, PQAB=F.
N
A
C
P
F
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Какие две точки искомого
сечения лежат в одной
плоскости?
N
A
C
P
F
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
F
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Построение
1. Точки М и N лежат в  и
плоскости ACD, то  ACD=MN.
2. MNAC=Q.
3. Точки P и Q лежат в  и
плоскости ABC, то  ABC=PQ.
4. PQBC=E, PQAB=F.
5. Точки N и E лежат в  и
плоскости BCD, то  BCD=NE.
N
A
C
P
F
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Какие две точки искомого
сечения лежат в одной
плоскости?
N
A
C
P
F
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
N
A
C
P
F
B
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
D
M
Построение
1. Точки М и N лежат в  и плоскости
ACD, то  ACD=MN.
2. MNAC=Q.
3. Точки P и Q лежат в  и плоскости ABC,
то  ABC=PQ.
4. PQBC=E, PQAB=F.
5. Точки N и E лежат в  и
плоскости BCD, то  BCD=NE.
6. Точки M и F лежат в  и
плоскости ABD, то  ABD=MF.
N
A
C
P
F
B
E
Q
D
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
M
Построение
1. Точки М и N лежат в  и плоскости ACD,
то  ACD=MN.
2. MNAC=Q.
3. Точки P и Q лежат в  и плоскости ABC,
то  ABC=PQ.
4. PQBC=E, PQAB=F.
5. Точки N и E лежат в  и
плоскости BCD, то  BCD=NE.
6. Точки M и F лежат в  и
плоскости ABD, то  ABD=MF.
7. MNEF - сечение
N
A
P
F
B
C
E
Q
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
Доказательство
MNEF – искомое сечение по
построению и аксиомам
стереометрии (аксиоме плоскости,
аксиоме прямой, аксиоме
пересечения двух плоскостей).
Задача №1
Дано:
ABCD – тетраэдр;
M, N, P лежат в ;
MAD; NCD; PABC.
Построить .
Анализ
Данная задача имеет единственное
решение, т.к. по аксиоме плоскости
через три точки не лежащие на
одной прямой можно провести
плоскость и притом только одну.
Выводы
 Построение линии сечения производим через две
точки, лежащие в одной плоскости (грани)
 Каждая линия сечения рассекает грань на две части
(если не совпадает с ребром многогранника)
 В одной грани нее более одной линии сечения