deltoyt

Дельтоид
Выполнила работу ученица 9 Б класса
МБОУ г.Астрахани «Лицей № 3»
Тухтаева Лейла
Руководитель:
Левина Елена Геннадьевна
Актуальность.
Квадрат,
прямоугольник,
параллелограмм,
ромб, трапеция выпуклые четырехугольники,
которые изучаются в школьной программе. Но
четырехугольник
дельтоид
не
рассматривается. Хотя в экзаменационных
заданиях ОГЭ и ЕГЭ
задачи, которые
решаются через дельтоид присутствуют.
Уточнение:
При изучении темы:
«Четырёхугольник» дельтоид,
как геометрическая фигура, не
рассматривается.
Привычные школьные
учебники таких авторов как:
Л.С. Атанасян, И.М. Смирнов,
А.Г.Мерзляк, Бутузов В.Ф,
Александров А.Д, Шарыгин
И.Ф, Погорелов А.В. И др.
не содержат никаких
сведений о дельтоиде .
Однако в учебнике Муравина Г.К «Математика 5 класс»
упоминается о дельтоиде:
Цель:
Изучить дельтоид , его свойства и признаки, рассмотреть применение их к
решению задач.
Для выполнение этой цели были поставлены следующие задачи:
1.Определение дельтоида.
2.Исследовать дельтоид в окружающем мире и историю его изучения.
3.Изучить свойства и признаки дельтоида
4.Рассмотреть задачи которые решаются через дельтоид , задачи
экзаменационных заданий ОГЭ и ЕГЭ .
5.Вывод.
Гипотеза: можно предположить, что решение задач школьной программы, а
также задач из открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ возможно, используя
геометрию дельтоида и зачастую гораздо быстрее приводит к получению
необходимого результата т.е. является более рациональным.
Объект исследования: Дельтоид.
Предмет исследования: Свойства и признаки (геометрия) дельтоида.
Метод исследования включает в себя изучение свойств, признаков и задач на
дельтоид.
Работа носит теоретический характер.
Теоретическая значимость расширить кругозор и использовать этот
материал для подготовки к экзаменам.
Практическая значимость применение изученного материала в решение
задач и подготовке к экзаменам, а так же использование исследовательской
работы в школьном материале.
Определение:
Дельтоид - выпуклый
четырёхугольник, у
которого есть только две
пары равных смежных
сторон.
Я́коб Ште́йнер ( 1796 — 1863) — швейцарский математик, основатель
синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших
порядков.
Название кривая получила за сходство
с греческой буквой Δ. Её свойства
впервые изучались Л. Эйлером в XVIII
веке, а затем Я. Штейнером в XIX.
Дельтоид в окружающем мире.
Дельтоидом также называют мышцы плеча.
1)Передние волокна дельтоида начинаются на внешней части
ключичной кости,3) задние - на верхней и задней частях лопаточной
кости, а 2)средние - между двумя вышеупомянутыми на акромиальном
отростке лопатки. Все волокна, сходясь вместе, крепятся в районе
верхней/передней части плечевой кости.
Соединённые человеческие руки
Крона дерева туя
Лист дерева
Тело рыбы.
Человеческий мозжечок
имеет рисунок, который
ученые называют(деревом
жизни),составной частью
которого являются
дельтоиды.
Свойства и признаки дельтоида
Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных
треугольника
Дано: ABCD- дельтоид,
AC- неглавная диагональ
Доказать:
∆ABC и ∆ ADC - равнобедренные
Доказательство:
1) По определению, дельтоид - это
четырёхугольник, у которого есть только две пары
равных смежных сторон, следует AB=BC, AD=DC.
2) Треугольник называется равнобедренным, если
две его стороны равны, AB=BC, значит
ABC- равнобедренный; AD=DC, значит ADCравнобедренный.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали
равны.
Дано: ABCD- дельтоид,
BD-главная диагональ
Доказать: ∠ A= ∠ C
Доказательство:
1) По определению дельтоида - выпуклый
четырёхугольник, у которого есть только две пары
равных смежных сторон. Значит AB=BC, AD=DC.
2)∠А является углом ∆BAD, ∠C является углом ∆
BCD.
3) Рассмотрим ∆ BAD и ∆ BCD:
1) AB=BC, по доказанному
2) AD=DC, по доказанному
3) BD - общая, значит ∆ BAD= ∆ BCD, по
трём сторонам (III приз.). Значит
∠ А= ∠ С.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида.
Дано: ABCD - дельтоид,
BD – главная диагональ.
Доказать: BD- биссектриса.
∠∠∠∠∠
Доказательство:
1) ∠ 1 и ∠ 3 входят в
2) Рассмотрим
∆ BAD, ∠ 2 и ∠ 4 входят в
∆ BAD и
1) АВ=ВС
∆ BCD.
∆ BCD:
по определению дельтоида
2) AD=CD
3) BD- общая, ∆ BAD= ∆ BCD, по трём сторонам(III приз.), значит
∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4, BD- делит углы пополам т.е. является биссектрисой.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с
главной диагональю, делится пополам.
Дано: ABCD- дельтоид,
AC-неглавная диагональ,
BD- главная диагональ.
Доказать: АО=ОС
Доказательство:
1) По свойству, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два
равнобедренных треугольника АВС и АDC: АВ=ВС, AD=DC
2) По свойству, главная диагональ дельтоида является биссектрисой: ∠ 1= ∠
2, ∠ 3= ∠ 4.
3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольника
является медианой , то АО=ОС.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD- дельтоид,
АС- неглавная диагональ,
BD- главная диагональ.
Доказать: АС
┴
BD
Доказательство:
1) По свойству, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных
треугольника АВС и АDC: АВ=ВС, AD=DC
2) По свойству, главная диагональ дельтоида является биссектрисой:
∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4.
3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольник
является медианой и высотой.
4) т.е. ВО ┴ АС следовательно АС ┴ BD.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Средние линии дельтоида образуют прямоугольник,
периметр которого равен сумме диагоналей данного
дельтоида.
Дано: ABCD- дельтоид,
L,E,F,M- середины сторон
( BL=LC, CE=ED, DF=FA,BM=MA)
Доказать: MLEF- прямоугольник.
РMLEF = СА + ВD
Доказательство:
1) MF//BD и LE//DB т.е. MF//LE
2) ML//CA и EF//CA т.е. ML//EF
3) СА┴ВD, значит и ML и ЕF ┴ MFи LЕ, отсюда следует, что ∠ M =∠ L ,∠ E
=∠ F , и ML+ ЕF= СА и MF+ LЕ= ВD.
4) Следует, что РMLEF = ML+ ЕF+ MF+ LЕ= СА + ВD.
Ч.T.Д.
Свойства и признаки дельтоида
В дельтоид всегда можно вписать единственную
окружность.
Дано: ABCD- дельтоид.
Вписать: окружность(о; r)
Доказательство:
1) Известно, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого
четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. (т.к.AB=CB
и AD=DC , то AB+DC=CB+AD)
2) По определению дельтоида, это выпуклый четырёхугольник, у которого
есть только две пары равных смежных сторон, следует. Значит АВ+ DC=
AD+ ВС.
3) Точка О пересечение биссектрис СО и АО углов С и А. Следует: в
дельтоид можно вписать окружность. Единственную.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Площадь дельтоида определяется по формуле:
S = 0,5 ·d1 · d2, где d1 и d2 - диагонали.
Дано: ABCD- дельтоид,
d1- главная диагональ,
d2- неглавная диагональ
Доказать: SABCD=0,5d1d2
Доказательство:
1) Рассмотрим DAС-равнобедренный, DО –высота. Площадь равна высота
умноженная на половину основания. SBAD= DO*0,5d2.
2) Рассмотрим BCА- равнобедренный, BО- высота. Площадь треугольника
равна произведению высоты на половину основания SВСD= BO *0,5 d 2.
3) S ABCD= SBAD+SBCD = DO*0,5 d 2 + AO*0,5d 2 =0,5d 2(AO+CO)= 0,5 d 2d1.
Ч.T.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Периметр дельтоида определяется по формуле:
Р= 2(а+в), где а и в смежные неравные стороны
дельтоида.
Дано:ABCD- дельтоид,
АВ=AD =а , ВС=DC=в
Доказать:РABCD =2(а+в)
Доказательство:
1) Действительно, по определению дельтоид - это выпуклый
четырёхугольник, у которого две пары неравных смежных сторон
равны.(AB=CB и AD=DC)
2) Значит AB=AD=a; BC=DC=в. Периметр- это сумма всех сторон данной
фигуры. Значит РABCD =2(а+в).
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Если в четырехугольнике одна из двух, взаимно перпендикулярных
диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов,
а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот
четырехугольник- дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABDC,
d 1-биссектриса (∠ 1= ∠ 2),
d 2- не является биссектрисой, d 1 ┴ d 2, В= D
Доказать: ABDC- дельтоид
Доказательство:
1. АD входит в
АОD, АВ входит в
2. Рассмотрим
АОD и АОВ:
АОВ и AO ┴DB.
1) АО - общая
2)
∠
1=
∠ 2, т.к. d 1-биссектриса по условию,
АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ.
3. DС входит в СОD, ВС входит в
СОВ и CO ┴BD.
4. Рассмотрим СОD и СОВ:
1) ОС - общая
2)
∠
3=
∠ 4, т.к. d 1-биссектриса по условию,
СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС.
5. АDС не равнобедренный, т.к. АD=DС. ABDC- дельтоид по определению.
Ч.Т.Д.
Свойства и признаки дельтоида
Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой
пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна
ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABDC,
d 1 ┴ d 2 , АО=ОС
Доказать: ABDC- дельтоид
Доказательство:
1. АD входит в
АОD, АВ входит в АОВ и AO ┴DB.
2. Рассмотрим
АОD и АОВ:
1) АО - общая
2) ∠ 1= ∠ 2, т.к. d 1 -по первому признаку,
АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ.
3. DС входит в
СОD, ВС входит в СОВ и CO ┴DB.
4. Рассмотрим СОD и СОВ:
1) ОС - общая
2) ∠ 3= ∠ 4 , т.к. d 1 -биссектриса по свойству 3.1,
СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС.
5. Биссектриса равнобедренного треугольника проведенная из вершины равнобедренного треугольника
является и медианой, следует, АО и СО - медианы, значит DО=ОB.
6. DО- перпендикуляр, не является медианой т.к. АDС не равнобедренный.
ABDC- дельтоид по определению.
Задача №1
Дано:ABCD-параллелограмм;
АС=2АВ;
т. К принадлежит ВС; ADB= KDB
ВК
Найти:КС=?
Решение:
1) О – точка пересечения диагоналей АС и BD .Так как KBD = ADB = KDB,
то BK = DK, то есть KO – высота равнобедренного треугольника BKD.
2)AO = AB. Проведем высоту AN равнобедренного ВАО и продолжим ее до
пересечения с прямой ВС в точке М. Так как N – середина ВО и MN || KO, то BM =
MK (по теореме Фалеса). Аналогично, так как О – середина АС и OK || AM, то MK
= KC. Следовательно,
Задача №2
Дано:ABCD-параллелограмм;
АС=2АВ;
т. К принадлежит ВС; ADB= KDB
ВК
Найти:КС=?
Решение:
1) О – точка пересечения диагоналей АС и BD .Так как KBD = ADB = KDB,
то BK = DK, то есть KO – высота равнобедренного треугольника BKD.
2) AO = AB. Проведем высоту AN равнобедренного ВАО и продолжим ее до
пересечения с прямой ВС в точке М.
3) AN перпендикулярен BO ;ВА=АО; следует четырехугольника АВМО
дельтоид. По свойству дельтоида АМ ┴ ВО (медианы AN и MN равнобедренных
треугольников ВАО и ВМО являются и их высотами). Так как KO ┴ BD и MN ┴
BD, то MN || KO, то есть KO – средняя линия треугольника АМС, поэтому BM =
MK = KC.
Задача №3
Задача №3
F
Дано: четырехугольная
правильная пирамида
MABCD;
М-вершина;
AB=BC=CD=DA=6;
DM=AM=CM=BM=12-боковые
ребра;
Найти:
построить сечение; Sсечения =?
1)Строим сечение по условию
задачи; получается фигура
NFKC; докажем , что это
дельтоид; Треугольники NDC и
KBC равны (по двум сторонам
ND=KB;QC=CB и по равным
углам KBC=NDC;=>NC=KC;
аналогично доказывается , что
FN=FK
1
𝑆дельтоида = ∗ 𝑁𝐾 ∗ 𝐹𝐶
2
Находим диагонали дельтоида;
2)ABCD-квадрат ; СА=6 2=DB;
AMCравнобедренный(АМ=МС=12);
МО-медиана;
2
МО= 122 − (3 2) =
144 − 18=3 14;
Задача №3
3) АМО;cos
3 2
А=
12
=
2
4
2
AFC;по т. Косинусов:а = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∗
𝑐𝑜𝑠α ; 𝐹𝐶 2 = 72 + 36 − 2 ∗ 6 ∗ 6 2 ∗
2
4
; 𝐹𝐶 2 =72=72=144;
FC=12;
4)MO,CF-медианы=>Q-т.пересечения
медиан;
2
1
МО=3 14;MQ= *3 14=2 14;QО= MO= 14;
3
М
Sдельтоида =
= 𝟐𝟒 𝟐
F
Q
А
О
3
MNK ᷉ MDB(по 2 углам)
𝑁𝐾 MQ
6 2∗2 14
=
⇒ 𝑁𝐾 =
=4 2; MCB6 2 MO
3 14
равнобедренный(МС=МВ=12)
С
𝟏
𝟏
∗ 𝑭𝑪 ∗ 𝑵𝑲 = ∗ 𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟐
𝟐
𝟐
Задача №4
1
2
3
Задача №4
Дано: окружность с центром О, вписанная в равнобедренную трапецию
АВСD;AB=CD;точки M,H,N,K-точки касания окружности с трапецией;
четырехугольник КLMN вписанный в окружность;R=3;S 𝐾𝐿𝑀𝑁 =12.
Найти:𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =?
Решение:1) МСО= NСО-как углы заключенные между отрезками
касательных и прямой проходящей через т.С и центр окружности;
Аналогично
МВО=
LВО
LBM=
NCM (углы при основании равнобедренной трапеции )
и LBM = 1 + 2 , где
1= 2;
NCM= 3+ 4 , где
3= 4;
Значит 1= 2= 3= 4;
4
О
2) LBM= NCM(по двум сторонам и углу между ними: МС=ВМ и
ВН=СN- отрезки касательных; В= С так, как трапеция
равнобедренная)=>LM=MN;
аналогично доказывается , что НК=NK=>HMNK- дельтоид.
1
S= 2 LN*MK LN=x
6) KFN;FN=2;FK=3+ 𝟓
KN= 𝟒 + (𝟑 +
𝟐
𝟓) =
1
𝟒+𝟓+𝟗+𝟔 𝟓=
𝟏𝟖 + 𝟔 𝟓 = 𝟏𝟓 + 𝟑
7) ONP ; ON=3; PN=0,5( 𝟏𝟓 + 𝟑)
OP= 9 − (
15+ 3 2
) =
4
36−15−2 45−3
=
4
18− 180
4
0,5( 𝟏𝟓 − 𝟑)
8) ONP;ON=3;OP=0,5 ( 𝟏𝟓 − 𝟑)
ON 𝟐 = 𝑶𝑷 ∗ 𝑶𝑫
𝟗∗𝟐
𝟏𝟖
9=0,5 ( 𝟏𝟓 − 𝟑)*OD;OD=
= 𝟏𝟐 ( 𝟏𝟓 +
𝟏𝟓− 𝟑
𝟑
𝟑)= 𝟐 ( 𝟏𝟓 + 𝟑)
1
𝑺 𝑶𝑲𝑫𝑵 = 2 ( 𝟏𝟓 + 𝟑)( 𝟏𝟓 +
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑) 𝟐 = 𝟒 (18+6 𝟓)= 𝟐 (9+3 𝟓)
𝑺 𝑨𝑩𝑪𝑫
𝑺 𝑨𝑳𝑶𝑵𝑫 =3 (9+3 𝟓)
=3 (9+3 𝟓)+3 (9-3 𝟓)=27+27=54
12= 2 x*6=>x=4=>LF=FN=2.
3)MF*FK=LF*FN; MF=x ; FK=(6-x);
x(x-6)=4
𝑥 2 -6x-4=0
𝑥1 =3+ 5Х 𝟐 3- 5=>MF=3- 5(FO= 5)
=
4)
MFN; F=90°(диагонали дельтоида) ;По теореме Пифагора:
MN= (3 − 5) 2 +2 2 = 9 − 5 + 5 + 4= 18 − 6 5= 18 − 180= 15 − 3
5) MOC-прямоугольный; МО=3; MH(высота проведенная из прямого
угла)
MH=0,5( 15 − 3)
OH= 𝑶𝑴 𝟐 + 𝑴𝑯 𝟐 =
9−(
15− 3 2
) =
2
0,5 18 + 180=0,5( 𝟏𝟓 + 𝟑)
𝑴𝑶 𝟐 =OH*OC
𝟏𝟖( 𝟏𝟓−
𝟗
𝟏𝟖
OC=
=
=
𝟏𝟐
𝟔,( 𝟏𝟓+ 𝟑)
1 𝟑
S= 2 ∗ 𝟐 ( 𝟏𝟓 −
𝟏𝟓+ 𝟑
𝟑)( 𝟏𝟓 −
𝟑)
𝟑
𝟑
36−15+2 45−3
4
= 𝟐 ( 𝟏𝟓 −
=
18+6 5
4
=
𝟑)
𝟑
𝟑
𝟑)= 𝟒 𝟏𝟓 − 𝟐 𝟒𝟓 + 𝟑 = 𝟒 (18-6 𝟓) = 𝟐 (9-3 𝟓) ⇒
Задача №5
α
a
Ɣ
β
b
9)Докажем , что LNR=
HCD;где
RN CD( как r проведённый в точку касания)
LN CH(CH AD и MK AD =>CH || MK и LN MK=>LN CH)
Вне трапеции выбираем т. Q и через нее проводим прямые Q𝑫𝟏 𝑪𝑫; 𝑸𝑯𝟏 𝑪𝑯; 𝑳𝟏 𝑸| 𝑳𝑵; 𝑹𝟏 𝑸 |𝑹𝑵
Пусть 𝑳𝟏 𝑸𝑹𝟏 =α; 𝑫𝟏 Q𝑯𝟏 =β; 𝑹𝟏 Q𝑯𝟏 =Ɣ;тогда
𝑳𝟏 𝑸𝑯𝟏 =90°= α+ Ɣ|
𝑹𝟏 Q𝑫𝟏 =90°= β+ Ɣ|=> α= β, значит LNR= HCD
10) RNH ᷉ DCH( N= C; H= L)
СН – диаметр ;пусть CN=a, ND=b
𝑪𝑯
𝑵𝑳
𝑪𝑫 𝟐𝒓
𝟒𝒓𝟐
𝒂+𝒃
= 𝑵𝑹 ; 𝑵𝑳 = 𝟐𝒓
Значит а+b= 𝑵𝑳
Но мы доказали , что МК NL
Значит S KLMN=
12=NL *r=> NL=
𝟒∗𝟑𝟐
𝟏
𝟐
𝟏𝟐
𝒓
𝟏
NL * MK = 𝟐 NL* 2r
=
𝟏𝟐
𝟑
=4
Значит a+b= 𝟒 = 9
Тогда BM= MC=a
Значит BC=2a, аналогично AD=2b
SABCD=
𝑩𝑪+𝑨𝑫
𝟐
∗ CH =
𝟐𝒂+𝟐𝒃
𝟐
∗ 𝟐𝒓 = (a+b) * 2r= 9 * 2 * 3= 54
Вывод:
Мною был изучен дельтоид, а так же
доказаны его свойства и признаки. Я решала
задачи из открытого бланка заданий ОГЭ и
ЕГЭ , а так же задачи из школьного курса
геометрии , и выявила , что более
рационально задачи решаются при помощи
геометрии дельтоида.
Список литературы.
• 1. http://gazpromschool.by.ru/projects/geometry/tr/tr312..
2. http://geometricheskie.narod.ru/3D/Vparallelepiped.html
3. http://dic.academic.ru/dic.nsf/business/8852
4. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И.
Юдина. Геометрия 7-9 классы.б Учебник. 15-е изд.
М.:"Просвещение", 2005.
5. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия 10-11
класс»; издательство «Просвещение», 1996.
6. О.В.Георгиевский. Начертательная геометрия ( сборник задач
с решением типовых примеров). АСТ; Астрель, 2002.
7. Я.И. Пелерман. Занимательная алгебра, геометрия. Изд-во:
Книга, 2005.