10 - МБОУ СШ №37, г. Ульяновск
advertisement
Проектная работа по теме «Теорема о трех перпендикулярах» МБОУСОШ №1 р.п. Новоспасское Ульяновской области • Автор проекта : учащиеся 10 а класса • Руководитель : Долгополова С.И. – учитель первой квалификационной категории • Собрать информацию об истории теоремы о трех перпендикулярах • Найти различные способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах • Найти примеры использования этой теоремы для доказательства различных свойств геометрических фигур • Привести примеры решения различных задач с использованием этой теоремы Цели проекта : • Формирование групп для работы над различными вопросами проекта 12.01.2015 • Сбор и изучение информации группами 13.01.201515.01.2015 Этапы работы над проектом • Выступление каждой группы с подготовленными вопросами на уроке геометрии 16.01.2015 • Подготовка презентации проекта(обобщение материала всех групп) 17.01.15-23.01.15 • Выставление данной работы на школьный сайт 26.01.15 • Защита работы на школьной научно-практической конференции Форма представления результатов • Литература • Из истории доказательства теоремы о трех перпендикулярах • Различные способы доказательства теоремы • Применение теоремы для доказательства различных свойств пространственных фигур Свойство диагонали куба Свойство ребер тетраэдра • Различные задачи, в решении которых применяется теорема о трех перпендикулярах Содержание • Глейзер Г.И. История математики в школе 9-10 классы/Г.И. Глейзер.-М.:Просвещение, 1983. • Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. • Стройк Д.А. Краткий очерк истории математики, 1984 • Белл Б.В. Очерки по истории математики . Книга для учителя – пер. с английского –М. Просвещение 1979. • Интернет ресурсы . Литература Из истории доказательства теоремы о трех перпендикулярах Имеющая большое значение в настоящее время, теорема о трех перпендикулярах была доказана математиками Ближнего и Среднего Востока: ее доказательство имеется в «Трактате о полном четырехстороннике» Насир ад-Дина ат-Туси. Доказательство теоремы на Востоке Дата рождения: • 18 февраля 1201 Место рождения: Тус Дата смерти: 26 июня 1274 (73 года) Место смерти: Марага Научная сфера: астрономия, математика, философия, география, музыка, оптика, медицина, минералогия Восточный вариант: Насир ад-Дин ат-Туси (Насир ад-Дин Абу Джа`фар Мухаммад ибн Мухаммад ат-Туси) — арабский математик и астроном. Персидский математик, механик и астро ном XIII века, ученик Камал ад-Дина ибн Юниса, чрезвычайно разносторонний учёный, автор сочинений по философии, географии, музыке, опти ке, медицине, минералогии. Был знатоком греческой науки, комментировал труды Евклида, Архимеда, Автолика, Феодосия, Менелая, Аполлония, Аристарха, Гипсикла, Птолемея. Биография • Среди математических трудов Туси особенно значителен «Трактат о полном четырёхстороннике» (в другом переводе — «Трактат о фигуре секущих»). Трактат был написан по-персидски во время пребывания ат-Туси в Аламуте и по-арабски, в несколько сокращенном виде, в Мараге (1260). В качестве своего основного предшественника ат-Туси указывает на ал-Бируни с его «Книгой ключей науки астрономии о том, что происходит на поверхности сферы». Фактически именно благодаря научному вкладу ат-Туси тригонометрия стала самостоятельной наукой. Ат-Туси принадлежит ряд сочинений, посвящённых учению о параллельных. Математика • В «Сборнике по арифметике с помощью доски и пыли» (1265) ат-Туси подробно описал приём извлечения корней любой степени. Ат-Туси приводит здесь таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника, известного ныне как треугольник Паскаля. • Ат-Туси комментировал также труды Архимеда «Об измерении круга» и «О шаре и цилиндре». Математика • Теоретические достижения ат-Туси имели для механики большое значение, позволяя преодолеть господствовавшее со времён Аристотеля противопоставление двух видов движений: свойственных небесным телам равномерных круговых движений и свойственного земным телам «местного» прямолинейного движения. Получив прямолинейное движение как результат сложения двух круговых, ат-Туси перебросил мост через эту пропасть и показал, что в движении небесных тел прямолинейное движение участвует равноправно с круговым. В результате небесная и земная кинематика оказывались объединёнными в единую науку с законами, универсальными для всех изучаемых тел. Механика В 1259 ат-Туси основал крупнейшую в то время в мире Марагинскую обсерваторию близ Тебриза. Обсерватория была оснащена многочисленными инструментами новой конструкции, наибольшим из которых был стенной квадрант радиусом 6,5 м. В обсерватории имелись также армиллярные сферы и инструмент с двумя квадрантами для одновременного измерения горизонтальных координат двух светил. Сотрудниками обсерватории в Мараге были ас-Самарканди, ал-Казвини, ал-Магриби, аш-Ширази и многие другие известные учёные. Марагинская обсерватория оказала исключительное влияние на обсерватории многих стран Востока, в том числе на обсерваторию в Пекине. Итогом 12-летних наблюдений марагинских астрономов с 1259 по 1271 год были «Ильханские таблицы». В этом зидже содержались таблицы для вычисления положения Солнца и планет, звёздный каталог, а также первые шестизначные таблицы синусов и тангенсов с интервалом 1′. На основании наблюдений звёзд ат-Туси очень точно определил величину предварения равноденствий (51,4″). Астрономия В Европе эта теорема была впервые сформулирована Луи Бертраном и доказана в «Элементах геометрии» Лежандра (1794 г.) Доказательство теоремы в Европе • Бертран сформулировал ее так: • Пусть прямая АР перпендикулярна Q, а точка Р –ее основание и пусть ВСпроизвольная прямая этой плоскости. Проведем из точки Р прямую PD перпендикулярно ВС и соединим точки А и D; тогда прямая АD тоже будет перпендикулярна к ВС. Формулировка теоремы Бертраном Бертран Жан Луи Дата рождения: 1731 Дата смерти: 1812 Страна: Швейцария Европейский вариант Бертран Жан Луи - ученик Л. Эйлера. Пользовался известностью его учебник «Новое изложение элементарной части математики» (Женева, 1778), включающий высшую тригонометрию». В этом учебнике Бертран пытался доказать пятый постулат Эвклида на основании сравнений бесконечных площадей. Занимался также теоремой Дезарга о перспективных треугольниках. Европейский вариант Различные способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной Формулировка теоремы Доказательство: 1.Проведем СА1 2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). 3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β. 4.с перпендикулярна СА, с перпендикулярна ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с перпендикулярна β, значит с перпендикулярна АС. Первое доказательство Доказательство. 1) СD ·CA = CD ·(CB+BA)=CD ·CB+CD ·BA 2) По условию CD CB. Значит, CD ·CB=0; CD BA, значит СD ·BA=0. Таким образом получаем: CD·CA=0,CD CA, c AC Второе доказательство Обратимся к рисунку, на котором отрезок АВ – перпендикуляр к плоскости π, АС – наклонная, m – прямая, проведенная в плоскости π через точку С перпендикулярно к проекции СВ наклонной. Докажем, что m перпендикулярна АС. Рассмотрим плоскость АСВ. Прямая m перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АВ и ВС, лежащим в плоскости АСВ(m ВС по π). Отсюда следует, что прямая m перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в частности m перпендикулярна АС. Теорема доказана. Третье доказательство От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SAмедиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN. Четвертое доказательство 3 способ доказательства теоремы о трех перпендикулярах. На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA Пятое доказательство Применение теоремы о трех перпендикулярах для доказательства свойств элементов различных пространственных фигур О диагонали куба О ребрах тетраэдра • Текстовые задачи, требующие при решении использования теоремы о трех перпендикулярах Различные задачи Задача 1 Задача 2 •The End
