podgotovka_OGE

5
Подготовка учащихся к государственной
итоговой аттестации по геометрии в
форме ОГЭ
Учитель математики
МБОУ «Шуруповская ООШ»
Давудова С.В.
1. Окружности, углы, хорды.
2. Треугольники.
3. Четырехугольники.
4. Треугольники и окружность.
5. Четырехугольники и окружность.
davudovasv
5
Теорема 1. Диаметр окружности,
проходящий через середину хорды,
перпендикулярен ей (верно и
обратное)
davudovasv
5
Задача 1. Доказать, что если пересечь два
концентрических круга секущей, то части
секущей, лежащие между окружностями,
равны.
Е
Доказать: АС = DB
D
А
С
5
В
Доказательство:
1. Проведем диаметр большей окружности
ЕМ
АВ
АК = ВК и СК = DК
К
2. Вычтем почленно АК – СК = ВК – DК
АС = DВ
М
Ч. Т. Д .
davudovasv
Задача 2. В окружности с центром О проведена
хорда АВ, пересекающая диаметр в точке М и
составляющая с диаметром угол 60°. Найти ОМ,
если АМ = 10, ВМ = 4
А
Найти: ОМ
С
Решение:
N
М
В
5
1. Проведем диаметр окружности CD
⇒ АN = ВN = 7
Тогда MN = BN – BM = 7 – 4 = 3
О
D
АВ
2. ∆MNO – прямоугольный, ∠NOM = 30°
1
⟹ MN = MO т.е. ОМ = 2МN = 2 · 3 = 6
2
Ответ: ОМ = 6
davudovasv
Теорема 2. Отрезки касательных,
5
проведенных из одной точки, равны.
Теорема 3. В треугольнике с вписанной окружностью
отрезок касательной равен полупериметру треугольника
минус противолежащая сторона.
С
А
В
АМ = р – ВС
А
М
О
С davudovasv
В
Задача 3. В треугольнике со сторонами 6; 10; 12
вписана окружность. К которой проведена
касательная, пересекающая две большие стороны
треугольника. Найти периметр отсеченного
треугольника.
Найти: РQAL
Решение:
1. PQAL = QA + AL + QL
С
10
QL = QK + KL = QM + LN
6
М
Р
PQAL = QA + AL + QM + LN = (QA + QM) +
Q
К
(AL + LN) = AM + AN = 2AM
2. PABC = AC + AB + BC = (AM +CP) +
(AN+BP) + BC = 2 AM + 2BC
В
N
12
L
А ⇒ 2AM = PABC - 2BC ⇒ AM = pABC - BC
davudovasv
5
Теорема 4. Угол, вершина которого лежит вне
5
(внутри) окружности, измеряется полуразностью
(полусуммой) дуг, заключенных внутри угла.
Теорема 5. Угол между касательной и хордой,
проведенной в точку касания, равен половине дуги,
заключенной между его сторонами.
В
1
2
∠АВС = (ᵕАС – ᵕМК)
М
К
1
2
∠АВС = ᵕАВ
1
2
А
∠АРС = (ᵕАС + ᵕМК)
Р
О
А
С
davudovasv
В
С
Задача 4. На окружности даны точки А,В,С,D, в
указанном порядке. Точка М – середина дуги АВ,
точки N и К – точки пересечения хорд МС и МD с
АВ. Доказать, что чет-ник СDKN – вписанный.
А
Доказать: СDKN – вписанный
Доказательство:
М
К
D
1
1. ∠C – вписанный ⇒ ∠С = 2 (ᵕАD + ᵕАМ)
N
О
В
2. ∠К =
1
2
(ᵕАМ + ᵕDB) =
3. ∠С + ∠К =
1
2
т.е. ∠С + ∠К =
С
5
1
2
(ᵕВМ + ᵕDB)
(ᵕАD + ᵕАМ + ᵕМВ + ᵕDB)
1
2
· 360° = 180 °
⇒ СDKN – вписанный
Ч. Т. Д .
davudovasv
Теорема 6. Пусть прямая пересекает треугольник АВС,
причем С1 – точка ее пересечения со стороной АВ, А1–
точка ее пересечения со стороной ВС, и В1 – точка ее
пересечения с продолжением стороны АС. Тогда…
В
АС1
С1В
А1
С davudovasv
СВ1
1
1
· АС· ВА=1
С1
А
ВА1
В1
5
Задача 5. В треугольнике АВС на медиане ВМ отмечена
точка К так, что ВК : КМ = 4 : 1. Прямая АК пересекается
с ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника
АВК к площади четырехугольника КРСМ
Найти: SAВК : SКРСМ
Решение:
1. т.к. ВК : КМ = 4 : 1, то КМ = t, BK = 4t
т.к. ∆АКМ и ∆АКВ имеют общую высоту,
то SAКМ = S, а SАКВ = 4S
2. КМ – медиана ∆АКС, то SAКМ = SМКС = S
В
2z
4t 2Q
Р
4S
К
S
А
Q
t
S
М
5
z
СР
3. по теореме Менелая РВ
СР = 1
⇒ РВ 2
·
ВК
КМ
·
МА = 1
АС
⇒ СР = z, PB = 2z
4. т.к. ∆КВР и ∆КРС имеют общую высоту,
С
то SКРС = Q, а SКВP = 2Q
davudovasv
Задача 5. В треугольнике АВС на медиане ВМ отмечена
точка К так, что ВК : КМ = 4 : 1. Прямая АК пересекается
с ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника
АВК к площади четырехугольника КРСМ
5. т.к. ВМ – медиана ∆АВС, то SAВМ = SМВС
В
4
3
те. 5S = S + 3Q
6. SAВК : SКРСМ = 4S : (S + Q)
2z
4t 2Q
К
S
А
SAВК : SКРСМ
Р
4S
Q
t
SAВК : SКРСМ
z
4
= 4S : (S + S)
3
7
= 4S : S
3
SAВК : SКРСМ =
S
М
⇒ Q= S
С
12
7
Ответ:
davudovasv
12
7
5
davudovasv
http://ou3ik8.omsk.obr55.ru/files/2015/05/%D0%B3%D0%B8%D0%B01.jpg
http://ion.ranepa.ru/upload/medialibrary/ac7/ac7252f6e0ff711f0cbc536820b4
e652.jpg
davudovasv