СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ; МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Лекции: Кориков Анатолий Михайлович Пр. занятия: Ефремов Александр Александрович Томск, 2015 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Литература: Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд, стереот.. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Кориков А.М. Основы теории управления: 2-е изд. – Томск: Изд-во НТЛ, 2002. Интегральные преобразования Метод интегральных преобразований – мощное средство решения дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность. Интегральные преобразования задаются формулой: где функции f, Tf называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства L , при этом функция K называется ядром интегрального преобразования. Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием: Свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором. Линейные интегральные уравнения Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно: (1) где (x ) — искомая функция, K(x,s), f(x)— известные функции, — параметр. Функция K(x,s) называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения (1) можно разделить еще на несколько видов. Уравнения Фредгольма 2-го рода Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Ядро K(x,s) и f(x) либо непрерывны, либо удовлетворяют условиям Уравнения Фредгольма 1-го рода Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла: при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода. Уравнения Вольтерра Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным: Нелинейные интегральные уравнения Многообразие нелинейных уравнений велико, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Укажем некоторые типы таких уравнений, имеющие большое теоретическое и прикладное значение: 1. Уравнение Урысона 2. Уравнение Гаммерштейна Нелинейные интегральные уравнения (продолжение) 3. Уравнение Ляпунова — Лихтенштейна 4. Нелинейное уравнение Вольтерра Формулы обращения Фурье Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x) Решение её получил Фурье в 1811 г. Примеры ( s ) e its ds 2 e i ( s) e e i its 2 dt 2 1 s Пример К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра приводит задача Коши для ОДУ Это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t: Решение начальной задачи для ОДУ приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. ЭЛЕМЕНТЫ ТФКП Приложение 1 (с.445-472) из [Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969]. 1. Комплексные числа. Функции и пределы. 2. Ряды с комплексными членами. Некоторые элемент. функции. Теорема 1 (Абеля).Если ряд a n ( z z 0 ) n0 сходится при z=z0, то он сходится при всяком z таком, что |z-a|<|z0-a|. n 3. Производная. Аналитические функции f ( z ) lim ' z 0 f ( z z ) f ( z ) z Теорема 2. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была дифференцируемой в некоторой точке z=x+iy, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия: 1. Функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке (x,y). 2. В этой точке выполняются условия Коши-Римана u v u v ; . x y y x 4. Интеграл функции комплексного переменного. Основная теорема Коши ~ L L x x(t ), y y (t ) (t 0 t T ) z 0 , z1 , ... , z n z k , z k 1 k k i k n 1 S n f ( k )z k (4.1) f ( z )dz ( 4. 2 ) k 0 L f ( k ) u ( k , k ) iv ( k , k ), z k x k iy k . n 1 S n [u ( k , k ) iv ( k , k )]( x k iy k ) k 0 n 1 [u ( k , k )x k v( k , k )y k ] k 0 n 1 i [v( k , k )x k u ( k , k )y k ]. (4.3) f ( z )dz [udx vdy] i [vdx udy] (4.4) k 0 L L L z (t ) x(t ) iy (t ) f ( z )dz [udx vdy] i [vdx udy] L L L [ux vy ] dt i [vx uy ] dt L T L (u iv )( x iy )dt t0 T f ( z (t )) z (t )dt t0 (4.5) z z 0 re C dz z z0 it 2 (0 t 2 ) it rie 0 re it dt 2i (4.6) Теорема 3 (Коши). Если функция f(z) аналитическая в односвязной области G, то интеграл от функции f(z) по всякому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области G, равен нулю. Обобщение теоремы Коши Теорема 4.Если функция f(z) аналитическая всюду внутри многосвязной области G и на её границе, то интеграл по границе области равен нулю, в предположении, что граница области G обходится по следующему правилу: положительным направлением при движении по границе считается такое направление, при котором часть области, непосредственно примыкающая к границе, находится слева. Следствие. Если замкнутый контур лежит внутри замкнутого контура Г, а функция f(z) аналитическая между этими контурами и на них, то f ( z)dz f ( z)dz. L z f ( z )dz f ( z )dz F ( z ). F ( z ) f ( z ) z0 ( z ) F ( z ) C z f ( z )dz ( z ) ( z z0 0 ) 5. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши и производные от аналитических функций Теорема 5. Если функция f(z) аналитическая внутри односвязной области G и на её границе Г, а z – внутренняя точка области G, то 1 f ( ) f ( z) d 2i z (5.1) Формула (5.1) называется интегральной формулой Коши. 1 f ( ) F ( z) d k 2i L ( z ) (5.2) 1 kf ( ) F ( z ) d k 1 2i L ( z ) (5.3) F (n) k (k 1)...( k n 1) f ( ) ( z) d kn 2i L ( z ) (5.4) Теорема 6. Если функция f(z) аналитическая внутри области G и на её границе Г, а z – внутренняя точка области G, то f(z) имеет производные всех порядков в области G и производная порядка n в точке z может быть вычислена по формуле f (n) n! f ( ) ( z) d n 1 2i ( z ) (5.5) 6. Ряды аналитических функций. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки Теорема 7. Если ряд n1 f n ( z ) сходится равномерно на кусочно-гладкой дуге L, а члены этого ряда непрерывные на L функции, то сумма ряда будет непрерывной на L функцией и ряд этот можно интегрировать почленно: f n ( z )dz f n ( z )dz L n 1 n 1 L f n 1 n ( z) f ( z) (6.1) (6.2) Теорема 8 (Вейерштрасса). Если члены ряда (6.2) являются аналитическими функциями в области G и ряд (6.2) сходится равномерно на всякой области G*, целиком лежащей в области G, то 1. Сумма ряда (6.2) является аналитической функцией в области G. 2. Ряд, составленный из производных членов ряда (6.2), также будет сходиться равномерно на всякой области G*, целиком лежащей внутри области G, к производной от суммы ряда (6.2). n a ( z z ) n 0 (6.3) n0 Из теоремы 1 следует, что этот ряд сходится | z z 0 | r R. равномерно на всяком круге Если f(z) аналитическая в круге | z z 0 | R. функция, то она может быть разложена в степенной ряд вида (6.3), причем радиус сходимости этого ряда будет не меньше чем R. Пусть z – произвольная точка внутри круга | z z 0 | R. | z z 0 | r. С – окружность 1 f ( ) f ( z) d 2i C z (6.4) 1 1 z z0 z0 z 1 z z0 ( z 0 )(1 ) z0 z z0 z z0 n 1 [1 ... ( ) ...] (6.5) z0 z0 z0 f ( z) сn ( z z 0 ) n (6.6) n0 1 f ( ) сn d n 1 2i C ( z ) сn f (6.7) (n) ( z0 ) M . | c n | n . n! R f ( z 0 ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) ..... f ( n 1) ( z 0 ) 0, f n ( z 0 ) 0. y Г z z0 x 0 r | z z 0 | R f ( z) сn ( z z 0 ) n n0 n 1 сn ( z z 0 ) n (6.8) 1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) d d 2i z 2i z 1 f ( ) n d с n ( z z 0 ) 2i z n0 (6.9) 1 f ( ) сn d n 1 2i ( z ) (6.10) (6.11). c m c 1 c 2 ... 2 z z0 ( z z0 ) ( z z0 ) m lim f ( z ) lim [ c n ( z z 0 ) n ] c0 z z0 z z0 n0 sin z z0 z 2 2n sin z z z n 1 ... (1) ... z 3! (2n 1)! sin z z 0; 1 z 0 / z c m c 1 f ( z) ... c0 c1 ( z z 0 ) ... m z z0 ( z z0 ) ( z) ( z z0 ) m . (6.12) f ( z 0 ) c m 0 lim ( z ) c m z z0 lim f ( z ) z z0 Теорема 9 (Сохоцкого). Если z0 – существенно особая точка функции f(z), то каково бы ни было комплексное число w, существует такая последовательность точек zn, стремящаяся к z0, что Lim f(z)=w n Теорема 10. Если функция f(z) имеет в точке z0 нуль порядка m, то функция 1/f(z) имеет в точке z0 полюс порядка m. 7. Вычеты. Логарифмический вычет и принцип аргумента 1 c 1 Выч f ( z ) f ( )d 2i C z0 (7.1) N f ( z)dz 2i Выч f ( z) k 1 zk 0 (7.2) Теорема 11. Пусть функция f(z) аналитическая на замкнутом контуре Г и всюду внутри этого контура, за исключением конечного числа изолированных особых точек z1 , z 2 , ... , z N . Тогда N f ( z)dz 2i Вычf ( z k 1 zk k ). (7.3) Теорема 12. Если функция f(z) аналитична на замкнутом контуре Г и не обращается на этом контуре в нуль, а внутри контура Г имеет конечное число полюсов и нулей, то число оборотов вектора w=f(z) вокруг начала координат, когда z пробегает контур Г в положительном направлении, равно разности между суммой кратностей всех нулей и суммой кратностей всех полюсов функции f(z) внутри контура Г Q=M-N (7.4) Операционное исчисление Приложение 2 (с.472-502) из [Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969]. f (t ) Re p s0 f (t ) F ( p) F ( p) Преобразование Лапласа F ( p) f (t )e pt dt (1) 0 F ( p) f (t )e pt dt (1, а ) c i 1 pt f (t ) F ( p ) e dp 2 i c i (2) p c i F ( p) L[ f (t )] 3 1 f (t ) L [ F ( p)] ( p) p f (t )e pt dt 0 ct | f ( t )| e dt 0 ( p) pF ( p) (4) c i 1 ( p) f (t ) dp 2 i c i p Наименование Свойство(Flim ff ((F t ppfF )(t(pt ))p)()fF pF aat tF ) F p))p()(at )p;) A eA p1 (f) )apt( линейности n(ap nt) 1 p0 22 Теорема подобия Оригинал f (t ) f1(t ) f2 (t ) A F ( p) F1( p) F2 ( p) f (at ) Теорема запаздывания Теорема смещения в комплексной плоскости Правило дифф-вания при нулевых н. у. Теорема о конечном Изображение Лапласа (1 a)F ( p a) e ap F ( p) f (t a) et f (t ) f ( n) (t ) f ( ) F ( p ) pnF ( p) lim pF ( p) p0 Теорема запаздывания (смещения) f (t a) F ( p) L [ f (t )] L [ f (t a)] f (t a)e pt dt f ( )e 0 p( a ) f ( )e p( a ) d a d e apF ( p) 0 f f f(t) f(t-a) a 0 0 t t Теорема об установившемся (конечном) значении lim f (t ) lim pF ( p) lim ( p) (5) t p 0 p 0 df pt 0 dt e dt ( p) f (0) (6) df pt ( p) f ( 0) 0 dt e dt lim p0 lim f (t ) f ( 0) lim ( p) f ( 0) t p0 Теорема о начальном значении f (0) lim f (t ) lim pF ( p) lim ( p) t 0 t df pt 0 dt e dt p p (7) M df pt df pt 0 dt e dt M dt e dt , M 0 (8) M M df pt 1 df df pt pM e dt e dt ( 1 e ) 0 dt dt dt t M 0 t M p M df pt lim e dt 0 p dt 0 df pt pM e dt e M dt df pM dt e f () f ( 0) 0 dt Теорема свертки t L x(t ) x1 ( ) x2 (t )d X ( p) X 1 ( p) X 2 ( p) (9) 0 t [ x ( ) x 1 0 2 (t )d ]e pt dt 0 t 0 0 e pt [ x1 ( ) x 2 (t )d ]dt 0 d e pt x1 ( ) x 2 (t )dt 0 0 x1 ( )e p d x 2 (t )e (t ) p dt Правила дифференцирования в общем случае f (t )e pt dt 0 e pt f (t ) 0 p f (t )e pt dt 0 pF ( p) f (0) L f ( n) n 1 (t ) p F ( p) p n f (0) ... f ( n 1) (0) Пример: решение дифференциального уравнения Q ( p) y(t ) R ( p)u(t ) Q( p)Y ( p) Q0 ( p) R ( p)U ( p) R ( p)U ( p) Q0 ( p) Y ( p) Q ( p) Теорема разложения A ( p) F ( p) B ( p) B( p) ( p p1)( p p2 ) ... ( p pn ) n A( p) A1 An Ai F ( p) ... B ( p) p p1 p pn i 1 p pi A( p)( p pi ) A1 ( p pi ) A2 ( p pi ) B ( p) p p1 p p2 An ( p pi ) ... Ai ... p pn A ( p)( p pi ) Ai lim p pi B ( p) lim A( p) A( p) B ( p) B ( p) lim p pi p pi p p i p pi p pi d lim B ( p) p pi dp B ( p) lim B ( p) p p i p pi p p d i lim ( p pi ) p pi dp A( p ) Ai B ( p ) p pi 10 f (t ) Ai e F ( p) i 1 n i 1 n A( p ) pi t e B ( p ) i 1 p pi Ai p pi n pi t (11) p1 0 B( p) pB1( p) A( p) A( p) A1 A2 An F ( p) ... B ( p) pB1( p) p p p2 p pn A ( p) A (0) A1 B1 ( p) p0 B1 (0) A2 p An p pF ( p) A1 ... p p2 p pn n f (t ) A1 Ai e i2 pi t n A( p ) A(0) pi t e B1 (0) i 2 B ( p ) p p i 12 Вторая теорема разложения Пусть F(p) является изображением оригинала f(t) и выполнены следующие условия: 1. Существует такая последовательность дуг окружностей Cn | p | Rn , Re p a таких, что M n max | F ( p) | 0 n . Cn 2. В каждой области, ограниченной соседними дугами и отрезками прямой Re p = a, содержится C n , C n1 p1n , p2n , ..., pknn конечное число полюсов функции F(p). Тогда Вторая теорема разложения (продолжение) kn f (t ) n 1 1 f (t ) n 1 Выч[ F ( p)e pt ] pk( n ) Выч[ F ( p)e pn pt ] (11, a) Следствие. Если все особые точки функции F(p) – полюсы и n k кратность полюса p k k=1,2, …, m, то nk 1 m 1 d nk pt f (t ) lim [( p p k ) F ( p)e ] n 1 k p pk dp k 1 ( n k 1)! A ( p) F ( p) B ( p) A( pk ) 0, B( pk ) 0, B( pk ) 0, k 1,2,..., m A( p k ) pk t f (t ) e k 1 B ( p k ) m (11) Преобразование Лорана (z – преобразование) f (n), n 0,1,... F ( z ) f (n) z n n0 f (n) n 0 | f (n) | Mq n | z | q 1 n 1 f ( n) F ( z )z 2 i f (n) Выч[ F ( z ) z k zk (14) n 1 ] (15) (13) Оригинал z-преобразование f1 [n] f 2 [n] zfF Оригинал [(1zn1z[F ]n)fzf]([)([F F ()F (z] ) -преобразование lim znzn)]2)](zfF 1f( 2)[2n znz 0 1 f [ k ] f [ n k ] 1 2 k 0 lim f [n] n0 lim f [n] n f [k ] f [n k ] 1 k 0 2 F1 (z ) F2 (z ) lim F (z ) z lim F (z) z 1 F1 (z ) F2 (z ) Характеристические функции Пусть X – случайная величина с распределением F. Характеристической функцией распределения F (или случайной величины X) называется функция определенная для действительных формулой ( ) ix e F{dx} u( ) iv ( ), (1) где u ( ) cos xF{dx}, v( ) sin xF{dx} Для распределения F с плотностью f имеем ( ) ix e f ( x)dx (3) (2)