Элементы теории вероятностей (часть 1)

Элементы теории вероятностей
(часть 1)
• Классическое определение вероятности
• Геометрическое определение вероятности
• Свойства вероятности
• Теорема умножения вероятностей
• Формула полной вероятности
• Формулы Бейеса
• Формула Бернулли
1
1. Достоверные события.
1) Наступление ночи каждые сутки.
2) Появление листьев на деревьях с приходом весны
3) Получение двойки за экзамен по математике,
если вы за семестр набрали меньше 350 баллов
2. Невозможные события.
1) Если в кармане лежит только 100 рублей, событие,
что вы вытащите из этого же кармана 1000 рублей
2) Превращение воды в лёд при нагревании
3. Случайные события.
1) Сдача экзамена с первого раза
2) Выпадение решки при бросании монеты
3) Опоздание преподавателя на лекцию
2
Основные формулы комбинаторики
Пусть имеется множество М из n элементов,
причём неважно какой природы эти элементы:
x1, x2, … , xn
1. Перестановками называются комбинации, состоящие из всех элементов множества и отличающиеся
только порядком их расположения.
Пример. n=5
x1, x2, x3, x4, x5
x5, x4, x3, x2, x1
x3, x1, x5, x2, x4
…
3
Число всех возможных перестановок:
Pn  n !
Примеры.
1) Сколько чисел можно составить из цифр 2, 3 и 5,
если каждая цифра входит в число только один раз?
2) Сколькими способами можно рассадить 6 человек
на 6 стульях?
4
2. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются либо составом элементов, либо
их порядком.
Пример. n=6
x1, x2, x3, x4, x5 , x6
m=4 x1, x2, x3, x4
x2, x3, x4, x5
x3, x2, x4, x5
x5, x4, x3, x2
…
5
Число всех возможных размещений из n элементов
по m элементов:
Anm
n!

(n  m)!
Примеры.
1) Имеется 5 карточек, на первой написана цифра 1,
на второй – цифра 2, и т.д. Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью этих карточек?
2) Сколькими способами награды за I, II, III места
могут быть распределены между 10 участниками
соревнований?
6
2. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом.
Пример. n=6
x1, x2, x3, x4, x5 , x6
m=4 x1, x2, x3, x4 = x4, x3, x2, x1 = x3, x4, x2, x1
x2, x3, x4, x5
x1, x2, x4, x5
x5, x6, x3, x2
…
7
Число всех возможных сочетаний из n элементов по
m элементов:
Cnm
n!

m!(n  m)!
Примеры.
1) Сколькими способами можно выбрать 3 шара из 5
имеющихся?
2) Сколькими способами можно составить букет из 5
цветков, если всего имеется 10 цветков?
8
Вероятность – это число, характеризующее степень
возможности появления события.
1. Классическое определение вероятности:
m
p( A) 
n
n – общее число случаев,
m – число случаев, благоприятствующих событию A,
т.е. при которых событие А имеет место.
Примеры.
2)
число
отшара.
1 дос 10,
выбран1) С
3)
В
В какой
коробке
одномвероятностью
ящике
3 белых
лежат
и 4 чёрных
6 карточек
С
цифрами
какой
вероот 1
ное
окажется
на
ятностью
до
6,наугад,
а во наугад
втором
выбранный
– 7 делящимся
с цифрами
шарот
окажется
33?до 9. Из
белым?
каждого ящика достают по одной карточке. Какова вероятность, что на карточках будут одинаковые цифры? 9
2. Геометрическое определение вероятности.
Отрезок l – часть отрезка L,
на отрезок L поставлена наудачу точка
l
L
длина l
p
длина L
Плоская фигура g – часть фигуры G
g
G
площадь g
p
площадь G
Пример. В квадрат со стороной 8 см наудачу брошена
точка. Какова вероятность, что эта точка окажется
внутри вписанного в квадрат круга?
10
Свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна 1.
m
p
n
mn

n
p  1
n
2. Вероятность невозможного события равна 0.
m
p
n
m0

0
p 0
n
3. Вероятность случайного события 0  p  1.
m
p
n
0 m n
0mn 
 
n n n
 0  p 1
11
Определение. Суммой А+В двух событий А и В
называют событие, состоящее в появлении события
А, события В или обоих этих событий одновременно.
А
В
Пример.
A – попадание при первом выстреле
B – попадание при втором выстреле
A+B – попадание при первом выстреле,
или при втором, или при обоих выстрелах
Аналогично вводится понятие суммы нескольких
событий: А1+А2+…+Аn.
12
Определение. События называются несовместными,
если появление одного из них исключает появление
остальных.
Примеры.
1. Из ящика с деталями извлечена наугад 1 деталь.
A – извлечена бракованная деталь
B – извлечена стандартная деталь
A и B – несовместные события
2. Брошена монета .
A – выпадение герба
B – выпадение решки
A и B – несовместные события
13
Теорема. Если A и B – несовместные события, то
p(A+B) = p(A) + p(B).
Доказательство.
Пусть m1 – число исходов, благоприятствующих A ,
m2 – число исходов, благоприятствующих B
m1  m2 m1 m2


 p(A) + p(B)
p(A+B) =
n
n
n
Следствие 1. Если A1, A2, … , An – несовместные, то
p(A1+A2+…+An) = p(A1)+p(A2)+…+ p(An)
Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных и
40 белых шаров. Найти вероятность того, что вытащенный шар – не белый.
14
Определение. Противоположными называют два
единственно возможных несовместных события.
А – событие, противоположное ему обозначают A.
Примеры.
1. Производится выстрел по цели.
А – попадание, A – промах.
2. Брошена монета.
А – выпала решка, A – выпал герб.
Следствие 2. p( A)  p( A )  p( A  A )  1.
Пример. Вероятность того, что студент сдаст экзамен
на «отлично» – 0.1, на «хорошо» – 0.3, на «удовлетворительно» – 0.4. С какой вероятностью этот студент
15
завалит экзамен?
Определение. Произведением АВ двух событий А и
В называют событие, состоящее в совместном
появлении, то есть совмещении, этих событий.
А
В
Пример.
Случайным образом выбирается некоторое число.
A – выбрано чётное число
B – выбрано число, делящееся на 5
AB – выбрано чётное число, делящееся на 5,
т.е. число, делящееся на 10
16
Определение. Условной вероятностью pA(B) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.
Пример.
В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё дважды
вынимают по одному шару, не возвращая их обратно.
A – первый шар оказался чёрным
B – второй шар оказался белым
Тогда pA(B) – вероятность появления вторым белого шара, если первый вытащенный шар – чёрный.
17
m
pA(B) =
n
m – число случаев, благоприятствующих наступлению
события B при условии, что A уже наступило 
благоприятствующих событиям A и B вместе

благоприятствующих событию AB
n – число всех случаев, но при условии, что A наступило
 число случаев, благоприятствующих событию A
Обозначим через N – число всех возможных случаев.
m / N p ( AB )
m


pA(B) =
n
n/ N
p ( A)

p( AB)
p A ( B) 
p( A)
18
Пример. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё
дважды вынимают по одному шару, не возвращая их
обратно. Найти вероятность появления вторым белого
шара, если первый вытащенный шар – чёрный.
A – первый шар оказался чёрным
B – второй шар оказался белым
p( AB)
p A ( B) 
p( A)
19
p( AB)
p A ( B) 
p( A)
Теорема (умножения вероятностей). Вероятность
совместного появления двух событий
p( AB)  p( A)  p A ( B)
Следствие 1. p( A1  A2  An ) 
p( A1 )  p A1 ( A2 )  p A1 A2 ( A3 )  p A1 A2 An1 ( An )
Пример. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров.
2) Найти вероятность того, что первый вытащенный
1)
шар ––чёрный,
чёрный,а второй
второй– белый.
– белый, третий – чёрный,
четвёртый – чёрный.
20
Определение. Событие B называют независимым от
события A, если появление события A не изменяет
вероятности события B, то есть если
p A ( B)  p( B)
Утверждение. Если В не зависит от А, то и А не зависит от В, то есть свойство независимости взаимно.
Доказательство.
По теореме умножения вероятностей
p( AB)  p( A)  pA ( B)  p( B)  pB ( A)
Но В не зависит от А, то есть p A ( B)  p( B) 
p( A)  p( B)  p( B)  pB ( A)  pB ( A)  p( A) 
А не зависит от В
21
Определение. События А и B называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.
Следствие 2. События А и В – независимы тогда и
только тогда, когда p( AB)  p( A)  p( B ).
Доказательство.
1) По теореме умножения вероятностей
p( AB)  p( A)  pA ( B)
Но A и B – независимы, т.е. p A ( B)  p( B) 
p( AB )  p( A)  p( B )
2) Пусть p( AB)  p( A)  p( B )
Но по теореме умножения вероятностей
p( AB)  p( A)  pA ( B)  p( A)  pA ( B)  p( A)  p( B) 
p A ( B)  p( B)  А и В – независимы.
22
Определение. События A1, A2,…, An называются
независимыми (независимыми в совокупности),
если вероятность каждого из них не зависит от
осуществления или неосуществления любого числа
остальных событий.
Следствие 3. Если A1, A2,…, An – независимые, то
p( A1  A2  A3   An )  p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )   p( An )
Пример.
Имеется 3 ящика по 10 деталей. В первом ящике 2
бракованные детали, во втором – 3, в третьем – 1. Из
каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три детали – не бракованные.
23
p(A+B) = p(A) + p(B)
Пусть события А и В – совместные.
Пример. Брошен игральный кубик.
A – выпало четыре очка
B – выпало чётное число очков
A и B – совместные события
А
В
I
II III
p(A+B) = p(I) + p(II) + p(III) =
= p(I) + p(II) + p(III) + p(II) – p(II) =
= p(A) + p(B) – p(AB)
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из
двух совместных событий
p(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB)
24
Определение. Несовместные события B1, B2,…, Bn
образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появится одно из этих событий .
p( B1 )  p( B2 )    p( Bn )  p( B1  B2    Bn )  1
Примеры.
1.
чёрные,
жёлтые
и белые
шары.
2. В ящике
вазе лежат
яблоки,
сливы,
груши
и персики.
Из него наудачу вынимается один шар.
фрукт .
В1 – достали
выбрано чёрный
яблоко шар
достали жёлтый
В2 – выбрана
слива шар
В3 – достали
выбрана белый
груша шар
В
персик
B41,–Bвыбран
2, B3 образуют полную группу
B1, B2, B3 , B4 образуют полную группу
25
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных
событий.
И пусть событие A может наступить при условии появления одного из событий B1, B2,…, Bn.
Пример. В
ящике 8 чёрных,
жёлтых
l1и 7 l2белых шаln
l1  l210

 ln
A (l1) В1 (m1)
A)  2 с дефектом,
 жёлтых
 
 среди
ров. Среди чёрныхp(шаров
N N
N
N
В
(m
)
2
2
A (l
–
4,
среди
белых
–
1.
Наудачу
вынимается
один
шар.
2)
m
l
m
l
m
l
N
 1  1  2  2  n  n 
…
В1 – достали чёрный
N m1шарN m2
N mn
В2 – достали
жёлтый шар
В
(m
)
n
n
A (ln)
 p( B1 ) pB ( A)  p( B2 )  pB ( A)   
В3 – достали белый шар
  p( Bn )  pB ( A)
А – появление шара с дефектом
1
2
n
p( A)  p( B1 ) pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)    p( Bn )  pBn ( A)
– формула полной вероятности
26
p( A)  p( B1 ) pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)    p( Bn )  pBn ( A)
Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 деталей, во втором – 20. Вероятность бракованной детали в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется
бракованной.
27
Формулы Бейеса
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий, A – событие, которое может наступить при условии появления одного из событий B1, B2,…, Bn.
Найдём вероятность события B1, при условии, что соl1
бытие A наступило.
N

A (l1)
В1 (m1)
A (l2)
В2 (m2)
A (ln)
Вn (mn)
…
l1
N

pA ( B1 ) 

l1 l2
ln
l1  l2    ln
 
N N
N
m1 l1

N m1


m1 l1 m2 l2
mn ln
 



N m1 N m2
N mn
p( B1 )  pB1 ( A)
p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)    p( Bn )  pBn ( A)
28
p A ( Bi ) 
p( Bi )  pBi ( A)
p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)    p( Bn )  pBn ( A)
– формулы Бейеса
Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 деталей, во втором – 20. Вероятность бракованной детали в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Выбранная
наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она из первого ящика.
29
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в
каждом из которых событие A может появиться, либо
не появиться.
Пусть в каждом испытании вероятность события A
p(A) = p.
Найдём вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз.
Обозначим эту вероятность pn(k).
p7(3) – вероятность того, что при 7 испытаниях
событие A появится ровно 3 раза
30
Пример.
Имеется 5 ящиков деталей, вероятность брака в каждом из них – 0.1. Какова вероятность, что три детали,
наугад выбранные по одной из разных ящиков, окажутся бракованные?
pn(k) – ?
A p
A p
1– p
1
1– p
2
…
A p
1– p
n
В общем виде аналогично получаем формулу:
pn (k )  p k  (1  p)n  k  Cnk
Обозначим через q  1  p . Тогда
pn (k )  p k  q n  k  Cnk – формула Бернулли
31