Логические основы построения компьютера Логика – наука, изучающая законы и формы мышления. Формы мышления Основные формы мышления: Понятие; Высказывание (суждение); Умозаключение. Понятие Понятие – это форма мышления, отражающая наиболее существенные признаки объекта, отличающие его от других объектов. Понятие характеризуется объемом. содержанием и Содержание понятия – это совокупность существенных признаков объекта, отраженных в понятии. Пример 1: Понятие «Квадрат». Содержание: - все углы прямые - все стороны равны Объем понятия – это совокупность (множество) объектов, которым присущи признаки, составляющие содержание понятия. Пример 2: Понятие «Источник информации». Объем: - книги - газеты - журналы - телепередачи и т.д. Пример 3: Понятие «Компьютер». Содержание: - электронное устройство - предназначен для хранения, обработки и передачи информации - обладает монитором и клавиатурой Объем: - персональный компьютер - лэптоп - ноутбук - палмтоп Отношения между объемами понятий представляются в виде диаграмм (кругов) Эйлера-Венна: 1. Отношение «тождество» – одного понятия объему другого. A=B объем равен 2. Отношение «пересечение» – объемы двух понятий совпадают частично, т.е. содержат общие элементы. A F B 3. Отношение «подчинение» – объем одного понятия полностью входит в объем другого понятия, но не исчерпывает его. B A 4. Отношение «соподчинение» – объемы нескольких понятий принадлежат более общему понятию и не пересекаются. B A C D F E 5. Отношение «противоположность» – антонимы, объемы понятий разделены объемом третьего понятия. A F B 6. Отношение A «противоречие» отрицание. B – Задание: отобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна соотношение между объемами понятий. 1) A – «натуральные числа» B – «четные числа» 2) A – «конструктор» B – «игрушка» С – «заводная игрушка» D – «заводной автомобиль» 3) A – «птица» B – «воробей» С – «перелетная птица» D – «ласточка» E – «аист» 4) A – «вселенная» B – «Земля» С – «Марс» D – «Солнце» E – «планета» F – «Солнечная система» Высказывание Высказывание – это форма мышления, выраженная в виде повествовательного предложения, в котором чтолибо утверждается или отрицается об объектах, признаках или отношениях объектов. Высказывание может быть истинным ложным (истина – 1, ложь – 0). или Установите какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие – нет (объясните почему): Солнце есть спутник Земли 6:2+9 Санкт-Петербург расположен на Неве как вас зовут? музыка Баха очень сложна запишите в тетради определение если сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то это прямоугольный треугольник Даны логические высказывания. Определить истинны они или ложны. Земля – планета Солнечной системы за зимой наступает весна 3+6 > 10 квадрат это ромб в городе Иваново живут только граждане России после вторника будет воскресенье все мальчики любят играть в футбол Простое высказывание – это высказывание, которое содержит только одну простую мысль. Например: Все квадраты являются прямоугольниками. Сложное высказывание – это высказывание, которое состоит из простых высказываний, соединенных логическими операциями. Например: Лил дождь, и дул холодный ветер. Если ласточки летают низко, то скоро будет дождь. Умозаключение Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание (вывод) по определенным правилам логического вывода. Умозаключения бывают: 1) дедуктивными – рассуждение ведется от общего к частному 2) индуктивными – рассуждение ведется от частного к общему 3) аналогичными – рассуждение ведется от общности одних свойств и отношений у сравниваемых объектов к общности других свойств и отношений. Алгебра логики Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами. Алгебра логики – это наука об операциях, выполняемых над логическими высказываниями. Простые высказывания в алгебре логике обозначаются прописными латинскими буквами. Логические операции Значения логических таблицами истинности. операций задаются Таблица истинности – это таблица, в которой перечислены все возможные значения входящих простых логических высказываний и соответствующие им значения сложного логического высказывания Количество строк (q) в таблице можно определить по формуле: q = 2n, где n – это количество простых высказываний, входящих в сложное высказывание 1. Инверсия (логическое отрицание) – если высказывание истинно, то инверсия ложна и наоборот, если высказывание ложно то инверсия истинна. Обозначение: Таблица истинности: не A, not A, A, A Логическая схема: Инвентор A F=A A 0 1 A 1 0 2. Конъюнкция (логическое умножение) – конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначение: и, &, and, ×, ·, Логическая схема: Конъюнктор A B & F=A·B Таблица истинности: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 0 0 0 1 3. Дизъюнкция (логическое сложение) – дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны оба высказывания. Обозначение: или, or, +, v, | Логическая схема: Дизъюнктор A B 1 F=A+B Таблица истинности: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AvB 0 1 1 1 4. Импликация (логическое следование) – импликация ложна только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно. Обозначение: , => Таблица истинности: Логическая схема: A=>B = ¬ A v B A В ¬A 1 A 0 B 0 A => B 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 F=¬A v B 5. Эквивалентность (логическое тождество) – эквивалентность истинна только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны либо ложны. Обозначение: Таблица истинности: , <=>, =, ~, A B A B Логическая схема: A B = (¬AvB)&(¬BvA) A B ¬A ¬B ¬AvB 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 & ¬ВvА 1 0 F=(¬AvB)&(¬BvA) Задание 1: Запишите в виде логической формулы следующие высказывания: а) Если Иванов здоров и богат, то он здоров. б) Число является простым если оно делится только на единицу и само на себя. в) Произвольно взятое число либо делится на 2 либо делится на 3. г) Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку. Задание 2: Даны простые ЛВ. Определить значение сложных ЛВ. A={2x2=4}, B={2=3}, C={4<2} а) ¬A б) ¬(A&B) в) (AvB)&C => (A&C)v(B&C) г) (A&B)vC <=> (AvC)&(A&B) Задание 3: Найдите значение логического выражения не (X>Z) и не (X=Y) при: а) X=3, Y=5, Z=2 б) X=0, Y=1, Z=19 в) X=5, Y=0, Z=-8 г) X=9, Y=-9, Z=9 Задание 4: Определить при каких значениях числа X логическое высказывание не((X>8)или(X<-3)) примет значение: а) ложь б) истина Построение таблицы истинности сложных ЛВ: 1) определить число простых ЛВ (n) 2) определить число строк в таблице истинности (q=2n) 3) записать все возможные значения простых ЛВ 4) определить количество логических операций и их порядок 5) записать логические операции в таблицу истинности и определить для каждой значение Задание 5: Постройте таблицу истинности сложного ЛВ. а) X · Y v X v Y v X ЛВ является тождественно истинным, т.к. при всех значениях X и Y принимает значение истина. б) X v Y · (X · Y) ЛВ является тождественно ложным, т.к. при всех значениях X и Y принимает значение ложь. в) X v Y v X · Z ЛВ является выполнимым, т.к. в некоторых случаях принимает значение ложь, а в некоторых – истина. Задание 6: Постройте таблицы истинности сложных ЛВ и сравните их: 1) 2) 3) 4) 5) А и В или С и А (А или В) и (А или С) А и (В или С) А или (не В или не С) не (не A и не (B и C)) ЛВ, у которых таблицы истинности называются равносильными. совпадают, Задание 7: Определите с помощью таблиц истинности, какие из ЛВ являются тождественно-истинными или тождественно-ложными, а какие равносильными: 1) А и А или В и (А и В или В) 2) ((А или В) => В) и (А или В) 3) А и В <=> (A или B) 4) А и B и (А и В) 5) A и (B и (А или В)) Построение ЛВ по таблице истинности: 1) записать логическое умножение всех простых ЛВ для каждой строки, где сложное ЛВ = 1 (если значение простого ЛВ = 0, то берется его отрицание) 2) логически сложить, полученные выражения А) Задание 8: Составьте сложное ЛВ по таблице истинности A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 1 1 0 0 1 0 0 не A и не B и С не A и B и не С A и не B и С (не A и не B и С) или (не A и B и не С) или (A и не B и С) Б) A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 1 0 0 1 0 0 0 1 не A и не B и не С не A и B и С AиBиС (не A и не B и не С) или (не A и B и С) или (A и B и С) Построение логических схем по логическому высказыванию 1) определить число простых ЛВ 2) определить количество логических операций и их порядок 3) построить для каждой логической операции схему 4) объединить логические схемы в порядке выполнения логических операций Задание 9: Постройте логическую схему по логическому высказыванию. 1 3 2 1) (A v B) & не C A B С 1 А или В не С & (A или B) & не C 4 3 2 1 2) не (A v B & не C) А или В & не C A B & не C B 1 & С не С не (А или В & не C) 1 3 2 3) A & B v C & A С & СиА & AиВ A B 1 A и B или С и А 4 1 3 2 4) A v (не B v не C) A B С 1 не В не С 1 не B или не C А или (не B или не C) Построение логического высказывания по логической схеме 1) на выходе каждого логического элемента записать результат логической операции 2) записать получившуюся формулу на выходе последнего элемента Задание 10: Постройте ЛВ по логической схеме: 1) A B C & 1 B или C A и (B или C) 2) A или (не A и B) A не A не A и B 1 & & B не B (A или (не A и B)) и не B 3) X не X не X & не Y & & не Y Y (не X & не Y) & (XvZ) Z 1 XvZ 4) X Y Z не X не X v не Y 1 1 не Y & X & не Z не Z (не X v не Y) v (X & не Z)