Лекция 1. Теория множеств 2008 г. Дискретная математика.

И
О
П
МИФИ
Дискретная математика.
Математическая логика
Лекция 1. Теория
множеств
2008 г.
Проф., д.т.н. Гусева А.И. ,
доцент Порешин П.П.,
аспирант Цыплаков А.C.
.
Понятие множества
Множество – совокупность
объектов, хорошо различимых
нашей интуицией или мыслью,
обладающих неким сходством и
объединенных в одно общее
Элемент a принадлежит множеству A,
в противном случае
a A
a A
Мощность множества
Количество элементов в множестве
называется мощностью, или
кардинальным числом
Мощность множества M={a,b,c} │M│=3
Множества конечные и бесконечные
Пустое множество

Мощность пустого множества равна 0
Равномощность множеств
Множества равномощны, если их
мощности равны
Множества D= {{синий, красный
зеленый}, {шар, куб, цилиндр,
пирамида}} и К={a,b}
равномощны
Множества конечные и
бесконечные
Конечное множество – множество,
состоящее из конечного числа
элементов, т.е. его мощность
представима кардинальным
числом, совпадающим с одним из
натуральных чисел
В противном случае, множество
называется бесконечным
Множества счетные и
несчетные
Множество счетно, если оно состоит
из конечного числа элементов, т.е.
его кардинальное число совпадает с
одним из натуральных чисел
Множество счетно-бесконечно, если
оно равномощно множеству
натуральных чисел
Множество несчетное, если оно
бесконечно и неравномощно
множеству натуральных чисел
Подмножества и
собственные подмножества
Множество A называется подмножеством B, если
каждый элемент из A, ai  A , принадлежит
одновременно и множеству B, ai  B , A  B
Если в множестве B найдется хотя бы один
элемент , который не принадлежит A , xi  B, xi  A
то A собственное подмножество B, A  B

Пустое множество
всегда является
подмножеством любого множества А
Равные множества
Множества A и B равны, если
являются подмножествами
(надмножествами) друг
друга
Универсум и булеан
Для каждого множества М можно
построить новое множество,
элементами которого являются все
подмножества М и только они
Тогда множество М называют
универсумом I, а множество всех
его подмножеств – булеаном
Если мощность универсума равна m,
то мощность его булеана всегда
m
равна B( I )  2
Пример
Возьмем в качестве универсума I
множество натуральных чисел
на отрезке [1, 3], I={1, 2, 3},
тогда булеан
B(I)={ ,{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,
3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Способы задания множеств

Перечислить элементы
множества, M= {1, 2, 3, 4, 5}

Использовать
характеристический предикат
M= {x / x N и x<6}

С помощью производящей
функции M= {x / for I:=1 to 5
do x:= i}
Декартово произведение
Декартовым произведением двух
множеств А и В является новое
множество С, элементами
которого являются все пары
(a,b), С  A  B  {(a , b) / a  A, b  B}
Порядок в паре очень важен, в
общем виде A  B  B  A
Операции над множествами
(1)
Объединением двух множеств А и В
называется новое множество С,
элементы которого удовлетворяют
следующему условию:
C  A  B  { x / x  A _ или _ x  B}
Пересечением двух множеств А и В
называется новое множество С,
элементы которого удовлетворяют
следующему условию:
C  A  B  { x / x  A _ и _ x  B}
Операции над множествами
(1)
Дополнением множества А называется
новое множество С, элементы которого
удовлетворяют следующему условию:
C  A  { x / x  A}  I \ A
Операции над множествами
(2)
Разностью двух множеств А и В называется
новое множество С, элементы которого
удовлетворяют следующему условию:
C  A \ B  { x / x  A _ и _ x  B}
Симметрической разностью двух множеств
А и В называется новое множество С,
элементы которого удовлетворяют
следующему условию:
C  AB  { x /( x  A _ и _ x  B ) _ или _( x  A _ и _ x  B )}
Диаграммы Эйлера-Венна
1
А)
1
Б)
1
В)
А) A
Б)A
В) A
Г )B
1
Г)
 B
 B
\ B
\ A
Д )A
1
Д)
Свойства операций над
множествами (1)
Идемпотентность
A A  A
A A  A
Коммутативность
A B  B  A
A B  B  A
Ассоциативность
A  B  С  ( A  B)  С 
 A  (B  C )
A  B  С  ( A  B)  С 
 A  (B  C )
Свойства операций над
множествами (2)
Дистрибутивность
A  B  С  ( A  B)  ( A  С )
A  (B  С )  A  B  A  С
Поглощение
( A  B)  A  A
( A  B)  A  A