Матричная теория Гауссовой оптики Основы оптики кафедра

Матричная теория
Гауссовой оптики
Основы оптики
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Координаты лучей в пространстве
предметов и изображений
Опорная плоскость – это некоторая произвольно
выбранная плоскость, перпендикулярная оптической оси


y
y
ОП
ОП 
Направляющий косинус оптического лучевого вектора:
Y  n  cos  y  n  sin   n  

где  y– угол между лучом и осью , n   – приведенный угол
3
Координаты лучей в пространстве
предметов и изображений
Для лучей в меридиональной плоскости:
X 0
Луч описывается линейной координатой y и угловой
координатой Y  n   :
 y
 
Y 
Луч в пространстве изображений описывается линейной
координатой y и угловой координатой Y   n   :
 y 
 
Y 
4
Преобразование координат
оптических лучей
Действие оптической системы заключается в
преобразовании координат лучей:
 y
 y
   ОС    
Y 
Y 
Разложим выходные координаты луча в ряд:
y   a0  a1 y  a2Y  a3 y 2  a4 yY  a5Y 2  ...
Y   b0  b1 y  b2Y  b3 y 2  b4 yY  b5Y 2  ...


если оптическая система центрированная, то a0  b0  0
все члены ряда, начиная с a 3 и b3 , стремятся к нулю
Для идеальной оптической системы:
y   Ay  BY
Y   Cy  DY
5
Общий вид матрицы
преобразования (ABCD-матрица)
Преобразование координат луча оптической системой в
матричной форме:
 y   A B   y 
   
   
Y   C D  Y 
или:
b  G  b

где b – вектор-столбец входных координат, b – вектор-столбец выходных
координат, G – матрица, описывающая оптическую систему
Матрица преобразования лучей (гауссова матрица,
ABCD-матрица):
 A B
G  

C D
6
Геометрический смысл элементов
матрицы преобразования
Рассмотрим луч с координатами y  1, Y  0
ОП 
ОП
y
y

S F 
f
Выходные координаты этого луча:
y   Ay  BY  A
Y   Cy  DY  C
F
7
Геометрический смысл элементов
матрицы преобразования
Из рисунка видно, что:
y
f

y
S F  

Отсюда с учетом того, что y  1:
S F 
f
n
Y   n   
f
y   S F     
Два элемента матрицы преобразования:
S F 
f
n
C    
f
A
8
Геометрический смысл элементов
матрицы преобразования
1
Рассмотрим луч с входной координатой Y  1 (    ) и
n
выходной координатой Y   0 (    0)
ОП
F

– SF
–f
Выходные координаты этого луча:
y   Ay  BY  Ay  B
Y   Cy  DY  Cy  D  0
ОП 
y
y
9
Геометрический смысл элементов
матрицы преобразования
Входная и выходная линейные координаты:
f
n
S
y    (  S F )   F
n
y     (  f )  
Два элемента матрицы преобразования:
 n   S F  n
D  Cy       

 f   n  f
f S F   S F 

B  y  Ay   
  

n
f  n 

SF SF

n
f
S F  S F  f S F  S F   f  f 
 

n f
n
n f 
10
Геометрический смысл элементов
матрицы преобразования
Матрица преобразования:
S F 


f
G
     n

f


S F  S F   f  f  

n f 

SF


f

элемент матрицы C зависит только от параметров оптической системы, а
элементы A, B и D зависят еще и от выбора опорных плоскостей
11
Определитель матрицы
преобразования
Определитель матрицы преобразования любой
оптической системы равен единице:
det G  AD  BC  1
12
Обратная матрица преобразования
Для обратной матрицы:
G 1G  GG 1  I

 1 0
где I  
 – единичная матрица
 0 1
Обратная матрица преобразования описывает
преобразование из выходных координат во входные:
b  G 1  b
или

 y
1  y 
   G   
Y 
Y 
Обратная матрица преобразования:
G
1
 D  B
 

C A 
13
Условие сопряжения опорных
плоскостей
Для сопряженных опорных плоскостей:
B0
A 
D  A1
14
Матрица преломления
Опорные плоскости сопряжены:
B0
y   Ay
ОП ОП 
Тогда A  1
Поскольку det G  AD  BC  1 :
y
D 1
Матрица преломления:
 1 0
R  

   1
У луча изменяется только угловая координата:
y  y
Y    y  Y
y
15
Матрица переноса
При переносе луча изменяется только линейная
координата:
y   y      d  y 
Y Y
Y
d
n

Матрица переноса:

1
T 

0
d
 где
n
 
d

n
1
y
y
d
ОП
ОП 
– приведенное расстояние между опорными плоскостями
16
Матрица одной преломляющей
поверхности
n
–
K
n
–
y
O

–
M
C
r
Из треугольников OKC и CKO :
     
       

O
17
Матрица одной преломляющей
поверхности
Домножим оба выражения на n и n :
 n  n  n
 n   n   n
Из закона преломления n  n  , следовательно:
 n  n  n   n
Из КМC :

y
r
Тогда, с учетом того, что  n  Y ,  n   Y :
y
Y   Y  ( n  n )
r
или
Y   Y  y    ( n  n )

где  – кривизна поверхности
18
Матрица одной преломляющей
поверхности
Поскольку Y   Y  Cy , элемент матрицы:
C     ( n  n )
Поскольку C  , оптическая сила сферической
преломляющей поверхности:
    ( n  n )

опорные плоскости совпадают с главными плоскостями, и составляют
одну плоскость, касательную к поверхности
Матрица преломления сферической поверхности:
1
0

R  


   (n  n) 1 
19
Матрица отражающей
поверхности
Оптическая сила зеркальной
поверхности:
n
    n  n   2 n
Матрица преломления зеркальной
поверхности:
 1 0  1 0
R  
  

   1   2 n 1 
n = – n
Для плоского зеркала матрица отражения единичная:
 1 0
R  

 0 1

плоское зеркало не меняет хода луча
20
Матрица оптической системы из
нескольких компонентов
ОП
H 1
n1
H1
n0
H 2
H2
n2
Φ1
d0
I
n3
Φ2
d1
Φ3
d2
II
ОП 
H 3
H3
d3
III
Матрица оптической системы из нескольких компонентов:
G  T3 R3T2 R2 T1 R1T0  Rn Tn ...R1T1T0



 1
где Rn  
  n
dn 

0
1

 – матрицы преломления и переноса для
 , Tn 
n
n 

1

отдельных компонентов
0 1 
если d n  0 , то матрица переноса единичная Tn  I
если  n  0 , то матрица преломления единичная Rn  I
21
Пакет из плоскопараллельных
слоев
Если оптическая сила компонентов равна нулю:
d 2 
d1  

1
 1
 1
G  T2T1  
n2 
n1   
 0 1  0 1  


 0
 d1 d 2  
   
 n1 n2  

1

Общая приведенная толщина:
d1 d 2
dn
t  t1  t2  ...  tn    ... 
n1 n2
nn
Приведенная матрица переноса:
1 t 
T  

 0 1
n1
n2
d1
d2
22
Система с нулевыми расстояниями
между компонентами
Если расстояния между компонентами равны нулю:
 1
G  R2 R1  
  2
0  1
0 
1
0

  

1   1 1    1   2  1 
Оптические силы таких компонент складываются:
  1   2  ...   n
23
Двухкомпонентная оптическая
система
Матрица системы из двух компонентов :
G  R2 DR1
Оптическая сила:
d
  1   2  1 2
n
Частные случаи двухкомпонентной системы:
d  0 :   1   2
d
1
 t 
: второй компонент находится в заднем фокусе первого
n 1 компонента,   

1
d
1

: первый компонент находится в переднем фокусе второго
n  2 компонента,   
2
d 1   2
1
1


 t 
: 0
n
1 2
1  2
 t
24
Афокальные (телескопические)
системы
Афокальные или телескопические системы – это
системы из двух или более компонентов, оптическая сила
которых равна нулю:
C    0
Определитель матрицы афокальной системы:
det G  AD  BC  AD  1
Отсюда D  A,1 тогда матрица афокальной системы:
 A B  A B 
G  
  
1 

 0 D  0 A 
25
Афокальные (телескопические)
системы
Опорные плоскости сопряжены (B  0 ), следовательно:
A 0 
G  

 0  A
Координаты луча:
y   Ay  BY  Ay
Y   Cy  DY  A1Y
Для афокальной системы элемент матрицы А:
y

y
Y   n  n
1
A  
 W
Y
 n
n
A
26
Афокальные (телескопические)
системы
Линейное и угловое увеличение не зависят от положения
предмета и изображения:
y
 const  A
y

 const  A1

27
Афокальные (телескопические)
системы
Задний фокус первого компонента совпадает с передним
фокусом второго:
t
d
1
1


n 1  2
Линейное увеличение афокальной системы:
y f2
 
y
f 1
y
F 1=F2
f 1
– f2
– y
28
Матрица тонкой линзы
ОП 
ОП
Для линзы в воздухе T0  T2  I ,
следовательно:
n0  1
G  R2T1R1
n2  1
d
n
Матрица преобразования линзы:
1
0   1 d  
1
0

G  R2T1 R1  
 
 

n


   2 n  1 1   0 1    1 1  n  1 
r1
– r2
29
Матрица тонкой линзы
У тонкой линзы d  0 d  r1;r2 
Матрица преобразования тонкой линзы:
 1 0
G  

   1

где   1   2 n  1 – оптическая сила тонкой линзы,
1 ,  2 – кривизны поверхностей
30
Расчет параксиальных лучей
через оптическую систему
Нулевые лучи – это лучи, которые преломляются по
законам параксиальной оптики, но имеют произвольно
большие координаты
Расчет нулевых лучей через оптическую систему:
d
Y
n
Y  Y  y
y y
d0
 Например, y1  y0 
Y0 – перенос до первого компонента,
n0
после первого компонента
Y1  Y0  1 y0 – преломление
Этапы расчета нулевых (параксиальных) лучей:



определение входных координат луча
последовательное определение координат луча на всех компонентах
определение выходных координат луча
31
Пример из тестов
Формула преломления нулевых лучей:

Y d
n
Y Y  y

y  y Y 

Y  y Y d n

y Y  y

y y
32
Пример из тестов
Элементы "A" и "D" матрицы преобразования лучей
оптической системы равны 0, в случае, если:





опорные плоскости сопряжены
опорные плоскости расположены в фокусах
опорные плоскости совпадают с главными
система телескопическая
увеличение равно –1
Элементы "A" и "D" матрицы преобразования лучей
оптической системы равны -1, в случае, если:





опорные плоскости сопряжены
опорные плоскости расположены в фокусах
опорные плоскости совпадают с главными
система телескопическая
увеличение равно –1
33
Решение задач
Решение задач на расчет характеристик оптической
системы с использованием матриц преобразования
рассматривается в практическом занятии "5. Расчет
характеристик системы с использованием матричной
оптики".