Применение интеграла в науке и технике

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
Выполнил студент 1 курса
Группы И3-14
Ильин Андрей Владимирович

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами
интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл
изучают, в основном, ученые–математики, но и физики
внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула
физики не обходится без дифференциального и
интегрального исчислений.
ВВЕДЕНИЕ

1. Вычисление пути по известным законам изменения скорости.
ИНТЕГРАЛЫ В ФИЗИКЕ

Тело движется прямолинейно со скоростью, которая изменяется по
закону v=2t+1(м/с). Найти путь, который пройдёт тело за интервал
времени от t 1 =1c, до t2 =3c.
ПРИМЕР ЗАДАЧИ В ФИЗИКЕ

Вычисление работы переменной силы
ИНТЕГРАЛЫ В ФИЗИКЕ

Вычислить работу, которую надо выполнить, чтобы откачать
воду из ямы глубиной 4м, имеющей квадратное сечение со
стороною 2м. Плотность воды ρ=103 кг/м3 .
ПРИМЕР

Общую прибыль за время t1 можно найти по формуле:
ИНТЕГРАЛЫ В ЭКОНОМИКЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР И
ОБЪЁМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Сделать приблизительный график заданных функций,
ограничивающих площадь плоской фигуры.

Найти пределы интегрирования.

Выяснить какой формулой площади плоской фигуры удобно
пользоваться в данном случае.

Вычислить площадь заданной фигуры.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ
ФИГУРЫ
b
S
 f ( x)dx
a
b
S 

f ( x )dx
a
b
S
 ( f ( x )   ( x )) dx
a
с
b
a
с
S   ( ( x )  f ( x )) dx   ( f ( x )   ( x )) dx
c
c
a
b
c
b
a
c
S   f ( x )dx    ( x )dx
S   f ( x )dx    ( x )dx

Сделать приблизительный график заданных функций,
ограничивающих плоскую фигуру, при вращении которой
образуется тело.

Найти пределы интегрирования.

Выяснить какой формулой объёма тела вращения удобно
пользоваться в данном случае.

Вычислить объём тела вращения.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ.
y
y
y = f(x)
d
a
b
x
c
b
Vx    f ( x )dx
2
a
x
d
V y    g ( y )dy
c

Объём — количественная характеристика пространственного тела. За
единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и
т.д.).

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

n

x0,

SkSk+1

Vц=SоснH.
V =  S(x)dx
В ГЕОМЕТРИИ

Пример 1:

Найти объем трехосного эллипса
x2 y2 z 2

 1
a 2 b2 c2

Решение:

Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее
от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс
x2 z 2
h2


1

;
a2 c2
b2

с полуосями
a1 

x2 z 2
 2  1,
2
a1 c1
и
c1 
a 2
b  h2
b
c 2
b  h2
b

Найдем площадь этого сечения

Найдем объем эллипса:
2ac
2ac
h3 b 4
V  2  (b 2  h 2 )dh  2 (b 2 h 
)  abc
b 0
b
3 0 3
b

Ответ:
V
4
abc
3
ПРИМЕР
S (h)  a1c1 
ac
b2
(b 2  h 2 )

Пропорционально-интегро-дифференцирующий (ПИД) регулятор —
устройство в управляющем контуре с обратной связью. Используется в
системах автоматического управления для формирования
управляющего сигнала с целью получения необходимых точности и
качества переходного процесса. ПИД-регулятор формирует
управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из
которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала
обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интеграл сигнала
рассогласования, третье — производная сигнала рассогласования.

В ПИД регуляторе есть интегральная составляющая. Она позволяет
регулятору со временем учесть статическую ошибку.
В ТЕХНИКЕ

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия,
математика и других науках. При помощи интеграла
вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь
пройденный материальной точкой. В геометрии используется
для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой
и др.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ