ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

Движение свободной частицы
в отсутствие внешних полей
U x   0
d 2  2m
 2 E  0
2
dx

x   A exp ikx,
ãäå A  const
è
k  const
2k 2
собственные значения энергии
E 
2m
Энергия свободной частицы может принимать любые
значения, энергетический спектр свободной частицы
является непрерывным.
Свободная квантовая частица описывается плоской
монохроматической волной де Бройля
 i

 x, t   A exp   Et  p x x   A exp  iwt  ikx
 

px
E
w
k


ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ СКВОЗЬ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
U 0 , 0  x  l
U x   
0, x  l , x  0
E
1
2
3
U=U0
0
U=0
l
E  U0
x  0, x  l
U 0
d 2  2m
 2 E  0
2
dx

0 xl
U  U0
d 2  2m
 2 ( E  U 0 )  0
2
dx

Решение уравнений для различных областей
1

2mE

i x
 i x
1  A1e  B1e
для области 1
3  A3 e i x  B3 e i x
для области 3
1

2mU 0  E 

2  A2 e  x  B2 e   x
для области 2
В ОБЛАСТИ 3 ВОЛНА РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ ТОЛЬКО ВДОЛЬ
ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ ОСИ X, ПОЭТОМУ
B3  0
3  A3 e i x
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ДОЛЖНА БЫТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ
1 0  2 0
2 l   3 l 
1
2
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ДОЛЖНА БЫТЬ ГЛАДКОЙ


1 0   2 0


2 l   3 l 
3
4
КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ
(КОЭФФИЦИЕНТ ПРОЗРАЧНОСТИ) определяет вероятность
прохождения частицы через барьер
D
A3
A1
2
2
 a3
2
A1  амплитуда падающей волны
А3  амплитуда прошедшей волны
Коэффициент прохождения частицы через барьер
прямоугольной формы
 2

D  exp  
2mU 0  E  l 
 

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
Коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы
 2b
D  exp   
 a

2mU  E  dx 

Частица в одномерной бесконечно
глубокой потенциальной яме
0, при 0  x  l
U 
, при x  0, x  l
0  l   0
2 2


2
En  n
2ml 2
x  
d 2  2m
 2 E  U   0
2
dx

2  n 
sin 
x
l
 l 
(n  1,2,3....)
n  1,2,3...
Трехмерная потенциальная яма (потенциальный ящик)
U  x, y, z   U1  x   U 2  y   U 3 z 
nx ,ny ,nz 
  nx x    n y y    nz z 
8
 sin 

 sin 
sin 

 d 
d x d ydz
d
 x   y   dz 

   n x


2 m e  d x

2
E nx ,ny ,nz
2
  n y   nz  
       
 
  d y   d z  
2
2
2
Трехмерная потенциальная яма
• Чем больше размеры ящика, тем меньше интервал между
энергетическими уровнями. Кинетическая энергия
микрочастицы, помещенной в ограниченное пространство, не
может быть равна нулю. Минимальное значение энергии
(основное состояние) соответствует условию n x  n y  n z  1
Это состояние является невырожденным. Значения энергии,
соответствующее возбужденным состояниям, могут быть
получены при различных комбинациях квантовых чисел. Для
кубического прямоугольного ящика одно и тоже значение
энергии может быть получено при трех различных комбинациях
квантовых чисел: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1). В этом случае имеет
место трехкратное вырождение энергетического уровня.
6 
E
2
2 me a
2
2
Частица в периодическом потенциальном поле