Цена риска в страховании М. Дакорона Москва, Россия, Апрель 23-24, 2008

Цена риска в страховании
М. Дакорона
Москва, Россия, Апрель 23-24, 2008
Важная оговорка
Although all reasonable care has been taken to ensure the facts stated herein are accurate and that the opinions contained herein are fair and
reasonable, this document is selective in nature and is intended to provide an introduction to, and overview of, the business of Converium. Where
any information and statistics are quoted from any external source, such information or statistics should not be interpreted as having been adopted or
endorsed by Converium as being accurate. Neither Converium nor any of its directors, officers, employees and advisors nor any other person shall
have any liability whatsoever for loss howsoever arising, directly or indirectly, from any use of this presentation.
The content of this document should not be seen in isolation but should be read and understood in the context of any other material or
explanations given in conjunction with the subject matter.
This document contains forward-looking statements as defined in the US Private Securities Litigation Reform Act of 1995. It contains forward-looking
statements and information relating to the Company's financial condition, results of operations, business, strategy and plans, based on currently
available information. These statements are often, but not always, made through the use of words or phrases such as 'expects', 'should continue',
'believes', 'anticipates', 'estimated' and 'intends'. The specific forward-looking statements cover, among other matters, the reinsurance market, the
outcome of insurance regulatory reviews, the Company's operating results, the rating environment and the prospect for improving results, the amount
of capital required and impact of our capital improvement measures and our reserve position. Such statements are inherently subject to certain risks
and uncertainties. Actual future results and trends could differ materially from those set forth in such statements due to various factors. Such factors
include general economic conditions, including in particular economic conditions; the frequency, severity and development of insured loss events
arising out of catastrophes; as well as man-made disasters; the outcome of our regular quarterly reserve reviews, our ability to raise capital and the
success of our capital improvement measures, the ability to exclude and to reinsure the risk of loss from terrorism; fluctuations in interest rates;
returns on and fluctuations in the value of fixed income investments, equity investments and properties; fluctuations in foreign currency exchange
rates; rating agency actions; the effect on us and the insurance industry as a result of the investigations being carried out by US and international
regulatory authorities including the US Securities and Exchange Commission and New York’s Attorney General; changes in laws and regulations and
general competitive factors, and other risks and uncertainties, including those detailed in the Company's filings with the US Securities and Exchange
Commission and the SWX Swiss Exchange. The Company does not assume any obligation to update any forward-looking statements, whether as a
result of new information, future events or otherwise.
Please further note that the Company has made it a policy not to provide any quarterly or annual earnings guidance and it will not update any past
outlook for full year earnings. It will however provide investors with perspective on its value drivers, its strategic initiatives and those factors critical to
understanding its business and operating environment.
This document does not constitute, or form a part of, an offer, or solicitation of an offer, or invitation to subscribe for or purchase any securities of the
Company. Any securities to be offered as part of a capital raising will not be registered under the US securities laws and may not be offered or sold in
the United States absent registration or an applicable exemption from the registration requirements of the US securities laws.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
2
План доклада
Простой пример
Риск и измерение риска
Капитал, основанный на риске, и экономический капитал
Методы оценки
Выводы
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
3
Простой пример оценки риска
Пусть страхователь хочет застраховать у страховщика
следующий риск:
 Он выплачивает $ 10, если при бросании игральной кости
выпадет шестерка, и $ 0 в противном случае.
 Кость бросается 6 раз (независимым образом).
Ответим на два вопроса:
1. Какова цена такого риска вне зависимости от прочих
обязательств страховщика?
2. Как изменится цена риска, если страховщик имеет дело с
множеством рисков такой природы?
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
4
Исходы при бросании кости
Второй бросок
Первый бросок
исх.
вер.
выпл
6
1/6
10
исх.
вер.
выпл
6
1/6
10
исх.
вер.
выпл
<6
5/6
0
Итого
Вер-сть Выплаты
1 1 1
 
6 6 36
5/36
20
10
И т.д. …
исх.
вер.
выпл
<6
5/6
0
исх.
вер.
выпл
6
1/6
10
исх.
вер.
выпл
<6
5/6
0
5/36
10
25/36
0
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
5
Распределение и функция распределения
вероятностей в нашем примере
Amount Probability
of Loss
of Loss
0
33.48%
10
40.17%
20
20.09%
30
5.36%
40
0.80%
50
0.06%
60
0.02%
Ожидаемый убыток = $ 10
Cumulative
Probability
33.48%
73.65%
93.75%
99.11%
99.91%
99.98%
100.00%
Сумма под риском (1%) = $ 30
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
6
Как правильно определить цену ?
Определение цены риска как средние выплаты (ожидаемый
убыток) плюс расходы ведет к опасности больших потерь
(шансы выплатить больше, чем математическое ожидание,
которое равно $ 10, равны 26%).
Имеется риск возникновения одной выплаты, которая
значительно превосходит средние потери.
Под риском мы понимаем выплаты, не равные средним.
Страховщик обязуется производить выплаты, превышающие
их среднее значение.
Поэтому необходимо иметь капитал, предназначенный для
покрытия указанного риска (капитал, основанный на риске,
или Risk-Based Capital, RBC).
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
7
Определение капитала, необходимого для
покрытия риска
Для численной оценки риска мы должны определить предельную
вероятность, с какой страховщик гарантирует свои выплаты
Это будет та доверительная граница, в пределах которой компания
желает действовать (выберем для примера “1 неудача на 100 лет
ведения бизнеса”)
Доверительная граница, выбранная таким образом, соответствует
выплате в $ 30
В этом примере “капиталом для покрытия риска” будет $ 20 (это
выплата в $ 30 из предыдущего пункта минус среднее значение,
равное $ 20)
Предполагаем, что капитал стоит денег – инвесторы требуют
дохода на инвестиции.
Пусть в нашем случае стоимость равна 15% до налогообложения.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
8
Вычисление величины премии
Премия
Компания
и капитал
Расходы
0.5
Рисковая
надбавка
3.0
0.15 * (30-10)
Модель выплат
Средняя
выплата
10
13.5
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
9
Риск в страховании
Риск описывает неопределенность, связанную с
последствиями управленческого решения и с ситуацией в
будущем.
Величина премии должна отражать структуру принятого на
страхование риска и диверсификацию страхового портфеля.
Страхование означает передачу риска от отдельного лица
компании (группе).
У всех нас имеется представление о результатах – но в
точности истинные исходы являются непредсказуемыми.
При моделировании возможные исходы можно адекватно
описать, вводя распределение вероятностей.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
10
Риск и измерение риска
Риск можно измерять в терминах распределений
вероятностей, но лучше пользоваться для этого числовой
характеристикой, называемой мерой риска.
Нам нужно выбрать такую меру, которая выразит риск в
терминах величины капитала (денежных средств).
Мера риска должна обладать следующими свойствами
(согласованность, когерентность):
1. Шкалируемость (удвоенный риск должен давать удвоенную
меру риска),
2. Упорядочение (большие риски имеют большие меры риска),
3. Возможность диверсификации (агрегированным рискам
должна соответствовать меньшая мера риска),
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
11
Модели выплат и меры риска
Среднее
Probability / Bin of 250'000
+s
Стандартное
отклонение
Измеряет диапазон
флуктуаций
VaR
1.60%
Сумма под риском
Соответствует 99-ой
персентили, т.е. что
„происходит раз в
100 лет“
1.20%
0.80%
0.40%
0.00%
450 498 547 595 643 691 739
Gross Losses Incurred ($ M)
Ожидаемый дефицит
(ES) взвешенное
среднее VaR с 1%
уровнем.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
12
Подходящие меры риска
Мы хотим измерять экстремальные риски. Для этого лучше
пользоваться “суммой под риском” (VaR) и “ожидаемым
дефицитом” (ES).
Хотим убедиться, что диверсификация учитывается: если два
риска складываются, то суммарный риск не превосходит сумму
двух рисков (суб-аддитивность):
R( x1 + x2 )  R( x1 ) + R( x2 )
Среди всех введенных нами мер риска, для рассматриваемых
страховых рисков, только “ожидаемый дефицит” (ES, или t-VaR)
обладает этим свойством. Эта мера будет когерентной мерой
риска.
Преимущественно, ES - более консервативная мера риска, чем
VaR, но можно изменять выбор уровня (1% или 0.4%).
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
13
Примеры оценивания величины риска
Типичные убытки при природных катастрофах; VaR и ES (в $ млн.).
Мера
Ураган
Землетряс-е
Итого
Среднее
62
16
78
Ст. Откл.
84
60
104
VaR(1%)
418
332
544
VaR(0.4%)
596
478
690
ES(1%)
575
500
678
ES(0.4%)
700
598
770
>
<
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
14
Диверсификация: много независимых рисков,
рассматриваемых вместе
Пусть страховщик принимает на себя не один, а много
рисков от разных страхователей
Каждый страхователь страхует риск выплаты в $ 10,
которая происходит всякий раз, когда 6 выпадает при 6
бросаниях игральной кости
Множество рисков теперь составляют портфель рисков
Как изменится премия вследствие диверсификации?
Помните при этом: при рассмотрении одного договора, без
учета всего портфеля, средние выплаты по одному
договору составляют $ 10, расходы - $ 0.5 и рисковая
надбавка - $ 3 на один полис
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
15
Влияние диверсификации на премию
Затраты
кол-во полисов
1
5
10
50
100
1000
10000
капитала
3,0000
1,5000
1,0500
0,4638
0,3257
0,1009
0,0257
Можно видеть, что для диверсифицированного риска
рисковая надбавка на один полис тем меньше, чем больше
полисов входит в портфель
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
16
Границы диверсификации
Предположим, что не весь риск можно диверсифицировать.
Предположим теперь, что все страхователи бросают игральную
кость в одном и том же казино, и что с заданной вероятностью p
крупье - мошенник. Последнее означает, что они все будут терять
$ 60, т.е. бросок кости всегда будет давать 6.
1
5
10
50
100
1000
10000
No Fraud
Risk
Premium
3.0000
1.5000
1.0500
0.4638
0.3257
0.1009
0.0257
10%
6.7517
6.7529
6.7442
6.7623
6.7818
6.7564
6.5269
5%
7.1249
7.1249
7.1253
7.1202
7.1286
7.1192
7.1266
1%
6.7103
4.9527
4.5834
3.9828
3.6925
3.5212
1.3321
0.10%
3.1163
1.4925
1.0441
0.4647
0.3239
0.1803
0.1251
Expected Loss
10.0000
15
12.5
10.5
10.05
Number of
Policies
Probability of Fraud
Диверсификация существенно ухудшается, если есть факторы,
влияющие на все полисы в портфеле одновременно (например,
такие, как “крупье – мошенник”)
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
17
От рисковой надбавки к цене капитала
Традиционный подход к определению цены в страховании - это
введение надбавки на ожидаемые выплаты из-за наличия
неопределенности. Надбавка равна произведению множителя на
стандартное отклонение, или более общо:
P  E  L + k  r  L  + m
Здесь L - выплаты, r - мера риска (напр. s, s2 или сумма под
риском), k – коэффициент рисковой надбавки и m - расходы.
Такой подход не совпадает с подходом, используемым при
определении величины премий, зависящих от размера убытков,
что, тем не менее, обычно для перестрахования
(восстановительная премия).
Этот подход полностью игнорирует эффект от наличия портфеля,
факторы цены капитала и целевой вероятности, а также модель
осуществления выплат.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
18
От цены «за убытки» к цене с учетом прибыли
Заметим, что в традиционном подходе, при использовании
меры риска (стандартное отклонение, VaR), не всегда есть
аддитивность.
Введем основные идеи теории финансов для оценки
прибыли, а не потерь.
Пусть X - договор перестрахования с прибылью P для
перестраховщика:
P = Премии-Выплаты-Расходы
Мы можем ввести цену денег в зависимости от времени,
рассчитав чистую современную стоимость (ЧСС, Net Present
Value, NPV) для P, дисконтировав P к настоящему времени.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
19
Некоторые альтернативные принципы расчета
премии
Используем X=NPV(P) как переменную для расчета премии.
Деформированная вероятность: Denneberg в 1988 и
независимо от него Wang в 1995 предложили искать
“деформацию” G:[0,1][0,1] . Это возрастающая, сюръективная
и выпуклая функция такая, что:
E  X  :

+
 x d (G
!
FX )( x )  0
-
Далее определяется техническая премия. Она такова, что X
удовлетворяет выписанному выше уравнению.
Этот принцип аддитивен.
Эта методика позволяет находить риск-нейтральную
вероятность, которая используется в финансовой математике
для определения цены производных
ценных бумаг.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
20
Переходим к котированию
Доходность
RoRBC
RBC
Типы договоров и
Распр. дохода
Performance
Excess
Рисковая
надбавка
NPV
Расходы
Модель выплат
Расходы
Условия
Losses
Средние
выплаты
Чистые потери
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
21
Введение диверсификации и дисконтирования
Простой пример, рассмотренный выше, не учитывает двух
факторов:
1.
При определении цены страховщик должен учитывать
портфель.
2.
Страховщик учитывает модель осуществления выплат: с
какой закономерностью он оплачивает убытки?
Нам нужно ввести более сложные понятия распределения
капитала и дисконтирования.
Распределение капитала при знании портфеля требует
знания зависимости между договорами и использования
меры риска, описывающей диверсификацию (она субаддитивна).
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
22
Некоторые допущения
Для простоты всегда предполагаем, что имеется достаточная
гладкость (дифференцируемость), например,
 Каждая случайная величина имеет плотность.
 Эмпирические распределения приближают гладкие
распределения (для наших целей можно считать, что
приближение как угодно точно).
Для случайной величины S обозначим через FS ее функцию
распределения.
В качестве основной величины рассмотрим ЧСС (NPV) прибыли
для договора X:
X = NPV(Премии-Выплаты-Расходы)
X представляет собой случайную величину, а X есть договор.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
23
Что такое приближенная величина прибыли?
Ясно, что математическое ожидание X, E(X), должно быть
положительно.
Должна покрываться стоимость капитала, которая
должна быть возвращена инвесторам.
Должны покрываться операционные расходы.
Должна покрываться надбавка на безопасность:
 Чем выше риск, тем выше надбавка,
 Чем выше зависимость в портфеле, тем больше надбавка,
 Чем дольше срок до завершения развития убытка, тем
больше нужно капитала.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
24
Портфельная точка зрения
Рассмотрим следующий портфель Z:
X i i 1,,m : Z
где Xi - различные риски (=договора).
Для портфеля Z предусмотрен Капитал, основанный на
риске (Risk Based Capital) K.
Распределение капитала Ki по договорам Xi требует
установления такой технической премии, что
E [X i ]= ht i ×Ki
где ti - это продолжительность (duration) риска Xi иh - это
целевое значение прибыли (рrofit target).
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
25
Распределение капитала: Принцип Эйлера
Распределяем капитал по вспомогательному портфелю S
(например, договора, вида страхования) в Z в соответствии с
принципом Эйлера:
d
KS 
r (Z + tS )
dt t 0
Пусть все ti=1. Тогда, говоря грубо, это единственный принцип
распределения, удовлетворяющий следующему свойству (D.
Tasche, 1999):
Если премия выше (ниже), чем техническая, то небольшое
увеличение (уменьшение) числа участников X увеличит
(снизит) доход RBC для всего портфеля.
Управление портфелем через определение цены.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
26
Теорема, принадлежащая Tasche
Теорема (D. Tasche, 1999). При сделанных выше
предположениях и при некоторых неограничительных условиях
регулярности
-1
KS  - E (S | Z  FZ ( ))
Таким образом, мы распределяем капитал по видам страхования
в соответствии с их вкладом в негативное поведение всего
портфеля.
Для практического применения этого принципа нам необходимо
иметь четкую модель всего портфеля!
Для моделирования портфеля необходимо моделировать
зависимости. Для этого пользуемся копулами (copulae), CX,Y .
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
27
Распределение капитала по договорам
C. Hummel (2002) показал, что, если нам дан договор S из Z
и копула CS,Z для S и Z, то
+
KS  - E S | Z  FZ ( )   -  s d ( H S FS )( s)
-1
с
-
H S (u ) 
1

C S ,Z ( u ,  )
Назовем HS функцией диверсификации (Diversification
Function) для S из Z.
Деформированная вероятность зависит от диверсификации
S для Z.
Заметим, что не нужно знать FZ для расчета KS..
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
28
Интерпретация
Таким образом, техническая премия должна обеспечивать
доход X для договора X, который удовлетворяет
+
 x dF
X
( x)  -ht
-
+
 x d (H
X
FX )( x)
-
Это эквивалентно (C. Hummel 2002):
+
 x d (G
-
X
FX )( x)  0
with
p + ht H X ( p)
GX ( p ) 
1 + ht
Сравним это с принципами расчета премий Denneberg’а и
Wang’а: в нашей постановке деформированные вероятности
различаются от договора к договору и зависят от эффекта
диверсификации oт каждого договора в портфеле
страховщика.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
29
Иерархические зависимости
Z
Зависимость между видами
страхования (LoB)’s
Y1
Y2
Y3
X 23
Зависимость между
договорами
X 34
X 15
X 14
X11
X 12
X 31
X 22
X13
X 21 X
33
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
X 32
30
Центральное предположение
При такой структуре, модель вполне определена, если
дополнительно потребуем, чтобы
P( X  x | Y  y, Z  z )  P( X  x | Y  y )
для всех видов страхования (LoB) Y и для всех рисков X в
Y.
Другими словами, если известно, что Y влияет на
информацию о Z, то на информацию о Z не влияет
распределение X в Y.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
31
Копула, связывающая риск X и портфель Z
Из модели для линии бизнеса (LoB) Y получаем CX,Y.
Из распределения LoB Y и копулы портфеля Z получаем CY,Z.
Можем, при относительно мягких ограничениях, вычислить
копулу для X и Z :
1
C X , Z (u, w)  
0
C X ,Y
v
(u, v)
CY , Z
v
(v, w) dv
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
32
Функция диверсификации
Пусть задана копула CX,Y для риска X и LoB Y. Можно
определить функцию диверсификации (diversification function),
HX(u), следующим образом:
H X (u)   -1C X ,Z (u,  )

-1
C X ,Y
CY ,Z
(
u
,
v
)
( v,  ) dv
0 v
v
1
C X ,Y

(u, v ) dH Y (v )
v
0
1
C X ,Y (u, vm +1 ) - C X ,Y (u, vm )

 HY (vm+1 ) - HY (vm )  .
vm +1 - vm
m 1
M
Предполагая, что решетка подходит, 0  v0  v1 
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
 vM  1.
33
Важно знать только функцию диверсификации
с учетом LoB
Мы видели, что
M
CX ,Y (u, vm+1 ) - CX ,Y (u, vm )
m 1
vm+1 - vm
H X (u)  
 HY (vm+1 ) - HY (vm ) 
Отсюда следует:
 Чтобы оценить риск внутри вида страхования, нам не надо
считать копулы, связывающие различные линии бизнеса.
 Нам достаточно знать функцию диверсификации, HY, где:
0  v0  v1   vM  1
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
34
Переход к котировке
Прибыльность
RoRBC
RBC
Характеристика договора и
распределение прибыли Performance
Excess
Risk
Loading
NPV
Expenses
Модель убытков
Expenses
Conditions
Losses
Expected
Loss
Pure Losses
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
35
Использование традиционного метода расчета
цены
Risk Loading for Various
CAT Programs
Loading / StDev
0.3
A
B
C
D
E
0.2
Надбавка, основанная на
стандартном отклонении,
дает линейную зависимость
результатов, поскольку все
программы дают очень
похожие характеристики.
Результаты на одной прямой
0.1
RRoL 
0.0
0
1
2
-Log(RRoL)
ExpectedLoss
Granted Limit
3
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
36
Активный портфельный менеджмент: пример
Risk Loading for Various
CAT-Programs
2nd Layer Prg. A
A
B
C
D
E
Loading / StDev
0.4
0.3
0.2
2nd Layer Prg. D
0
1
2
Пример:
Распределение A и D почти
одинаковы.
A дает более сильную, D
менее сильную зависимость от
прочего содержимого
портфеля.
0.1
0.0
Распределение капитала,
учитывающее диверсификацию
портфеля приводит к различным
надбавкам для похожих рисков.
3
-Log(RRoL)
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
37
Активное управление портфелем: пример (II)
Risk Loading for Various
CAT-Programs
A
B
C
D
E
Loading / StDev
0.4
0.3
Диверсификация (аккумуляция)
риска улучшает (ухудшает) цену.
Поэтому механизм расчета цены
неявно оптимизирует портфель.
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
-Log(RRoL)
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
38
Пример с игральной костью и цена для портфеля
Цена в примере, который мы рассматривали в начале,
безусловно зависит от портфеля страховщика.
Пример был введен в программу расчета премий MARS,
которую мы используем. Было получено значение 11.5 в
условиях нашей ситуации (т.е., при нашем описании
портфеля).
Рассмотрим пример, увеличивая риск при тех же ожидаемых
потерях: мы выплачиваем $ 60 за одно выпадение 6.
Расчетная цена в этом случае: 10 + 0.5 + 7.5 = 18;
программа MARS дает 12.5.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
39
Заключение
Понятие капитала, основанного на риске (Risk-Based Capital,
RBC), является центральным для понимания процесса
ценообразования в страховой компании.
Определение RBC зависит от использованной меры риска и от
отношения к риску.
Даже если мера риска и граница риска определены, имеется
ряд подходов к определению RBC и каждый из них разумен в
определенных условиях.
Разумная методология распределения капитала позволяет
оценивать риск договора страхования так, чтобы получать
адекватный доход на капитал.
Моделирование иерархической структуры зависимостей и
использование ожидаемого дефицита (ES) в качестве меры
риска позволяет устанавливать цену договора с учетом
Economy of Risk in Insurance
портфеля.
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
40
Литература
H. Bühlmann, An Economic Premium Principle, Astin Bulletin 11 (1980), 52-60.
M. Denault, Coherent Allocation of Risk Capital, Ecole des H.E.C Montreal, Sept. 1999,
revised Jan. 2001, www.risklab.ch/Papers.html#Denault1999 .
D. Denneberg, Verzerrte Wahrscheinlichkeiten in der Versicherungsmathematik,
quantilsabhängige Prämienprinzipien, Universität Bremen, 1989.
C. Hummel, Capital Allocation in the Presence of Tail Dependencies, May 2002,
Presentation at the Eurandom Workshop on Reinsurance Eindhoven, The Netherlands.
D. Tasche, Risk contributions and performance measurement, Zentrum Mathematik
(SCA), TU München, Jun. 1999, revised Feb. 2000, www-m4.mathematik.tumuenchen.de/m4/pers/tasche/
D. Tasche, Conditional Expectation as Quantile Derivative, Nov. 2000, --- “ ---.
S. Wang, Premium Calculation by Transforming the Layer Premium Density, Astin Bulletin
26 (1996), 71-92.
Economy of Risk in Insurance
Michel M. Dacorogna
April 23-24, 2008
41