Контрольная работа по геометрии для студентов 2 курса обучающихся по

Контрольная работа по геометрии для студентов 2 курса обучающихся по
направлению «педагогическое образование», профиль «математика».
на 4 семестр 2013-2014 учебный год.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку. Записать номер и полную
формулировку задачи. К задаче выполнить рисунок, все пояснения к задаче писать подробно.
Студент выбирает вариант, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачётной
книжки; на контрольной работе следует написать номер зачётной книжки.
№
Номера заданий
варианта
0
10
11
25
32
49
60
63
81
I
9
12
29
34
50
59
61
82
II
8
13
28
37
41
58
70
83
III
7
14
27
38
42
57
69
84
IV
6
15
26
31
43
56
67
85
V
5
16
30
33
44
55
68
86
VI
4
17
21
35
45
54
66
87
VII
3
18
22
39
46
53
65
88
VIII
2
19
23
40
47
52
64
89
IX
1
20
24
36
48
51
62
90
Задания для контрольной работы
1. Даны две вершины А(3;-4;-6), В(0;1;3) параллелограмма АВСD и точка пересечения его диагонали
Е(2;-1;5). Определить две другие вершины этого параллелограмма.
2. Даны три вершины А(2;-2;2), В(-4;2;-5) и С(3;-2;-4) параллелограмма АВСD. Найти его четвертую
вершину, противоположную В.
3. Отрезок прямой, ограниченный точками А(5;-8;3) и В(11;3;-7), разделен точками С, D,Е,F на пять
равных частей. Найти координаты этих точек.
4. Даны вершины треугольника А(1;2;-1), В(2;-1;3) и С(-4;7;5). Вычислить длину биссектрисы его
внутреннего угла при вершине В.
5. Даны вершины треугольника А(2;-1;4), В(4;2;-6), С(-6;0;1). Вычислить длину его медианы,
проведенной из вершины А.
6. Вершины треугольника находятся в точках А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3)
7. Даны вершины треугольника А(1;2;-4), В(4;0;-10), С(-2;6;8). Вычислить координаты центра
тяжести этого треугольника.
8.
Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0;2) и D(5;-2;0) разделен на три
равные части.
9. Даны вершины треугольника А(5;4;2), В(-5;-6;-2) и С(1;0;-1). Вычислить длину его высоты,
опущенной из вершины А на сторону ВС.
10. Даны вершины треугольника А(1;-1;2), В(5;-6;2) и С(1;3;-1). Вычислить длину его высоты,
опущенной из вершины В на сторону АС.
11. Вектор


x , перпендикулярный к векторам a3;1;3

и b 5;0;1, образует с осью Oy тупой угол.

Зная, что x  9 , найти его координаты.

12. Вектор m , перпендикулярный к оси Oz и к вектору

a  5;5;2, образует острый угол с осью

Ox. Зная, что m  25 , найти его координаты.

13. Найти вектор x , зная что он перпендикулярен к векторам







a3;2;0 и b 1;1;2 и
удовлетворяет условию: x  2i  3 j  5k  20.
14. Вектор

x,


перпендикулярный к векторам a 2;1;0 и b 3;2;1, образует с осью Oy острый
угол. Зная, что

x  4 , найти его координаты.






15. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a  2m  3n и b  m  2n , если


 
известно, что m  2 , n  3 , (m; n )   / 4 .
16. Вычислить площадь треугольника АВС, если известно, что




 
 
AB  2m  n и DC  3m  n , если
 
известно, что m  3 , n  4 , (m; n )   / 6 .
17. Дан треугольник АВС, в котором А(1;1;-2), В(1;1;0), С(-1;3;0). Вычислить длину его высоты АН.
18. Дан треугольник АВС, в котором А(-1;1;2), В(1;1;0), С(2;6;-2). Вычислить длину его высоты ВН.
19. Дан треугольник АВС, в котором А(-1;1;2), В(1;1;0), С(2;6;-2). Вычислить площадь треугольника
АВС.
20. Дан треугольник АВС, в котором А(6;5;-1), В(12;1;0), С(1;4;-5). Вычислить площадь треугольника
АВС.
21. Объём тетраэдра V=9, три его вершины находятся в точках А(-2;-1;3), В(2;0;-1), С(3;-1;4). Найти
координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oх.
22.
Вычислить
объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках
А(2;-1;0), В(5;4;3), С(3;1;-1) и D(4;-1;3).
23. Даны вершины тетраэдра: А(-2;3;0), В(4;2;-1), С(5;3;6), D(-4;-5;9). Найти длину его высоты,
опущенной из вершины D.
24. Объём тетраэдра V=7, три его вершины находятся в точках А(-2;0;-1), В(3;-1;1), С(2;-1;4). Найти
координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oу.
25. Даны вершины тетраэдра: А(7;5;-1), В(0;-2;1), С(2;-2;4), D(-4;1;3). Найти длину его высоты,
опущенной из вершины В.
26. Найти объём и высоту призмы АВСА/В/С/, зная координаты вершин А(1;5;-2), В(4;1;1), С(-3;0;1),
А/(2;-1;3).
27. Даны вершины тетраэдра А(0;0;0), В(1;-3;0), С(1;2;0), D(0;0,5). Найти длину высоты этого
тетраэдра, проведенной из вершины А.
28. Найти
полную поверхность и высоту призмы АВСА/В/С/, зная координаты вершин А(1;5;-2),
В(4;1;1), С(-3;0;1), А/(2;-1;3).
29. Вычислить
объем параллелепипеда
АВСDА/В/С/D/,
если А(0;1;-1),
В(-1;3;5), D(-1;3;4), А/(0;51-2).
30. Объём тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1),
В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oу.
31. Составить уравнение плоскости, которое проходит через точку М1(3;-2;-7) параллельно плоскости
2x-3z+5=0.
32. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к
двум плоскостям: 2x-y+3z-1=0, x+2y+z=0.
33. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2;-1;1) перпендикулярно к двум
плоскостям: 2x-z+1=0 и y=0.
34. Составить уравнение плоскости,
которая проходит через две точки
М1(1;-1;-2) и М2(3;1;1) перпендикулярно к плоскости x-2y+3z-5=0.
35. Написать уравнение
плоскости, проходящей через точки М1(1;4;-1),
М2(-13;2;-10) и отсекает на осях абсцисс и аппликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
36. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с= –5 и перпендикулярной к
вектору

n   2;1;3.
37. Составить
уравнение
плоскости, проходящей перпендикулярно к плоскости 2x-2y+4z-5=0 и
отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки a= –2, b=
2
.
3
38. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АВ, зная, что
А(1;3;-2), В(7;-4;4). Система координат прямоугольная декартова.
39. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+3y+5z–4=0,
x–y–2z+7=0 и параллельно плоскости 3x+2y+3z+1=0.
40. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей
и x–y–2z+7=0
x+3y+5z–4=0
и перпендикулярно плоскости
2x–y+z–3=0.
41. Даны уравнения параллельных плоскостей 4x+6y+2z–7=0; 2x+3y+z+5=0. Написать уравнение
плоскости, проходящей посередине между данными плоскостями.
42. В ПДСК даны уравнения плоскостей двух граней куба: x–2y–2z+4=0, 2x+2y–z–13=0 и координаты
его центра М0(1;1;-2). Найти уравнения плоскостей остальных граней куба.
43. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(2;0;0) и Р(0;2;0) и образующий угол
450 с плоскостью x+y+z+1=0,
44. Найти уравнения плоскостей, проходящих через начало координат, перпендикулярных к
плоскости 5x–2y+5z–10=0 и образующих с плоскостью x–4y–8z+12=0 угол 450.
45. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1;-2;0) и от плоскости 3x–2y+6z–9=0.
46. На оси Oу найти точку, равноудаленную от точки М(1;0;1) и от плоскости x+y+z+4=0.
47. Найти угол между плоскостями, проходящими через точку М(1; –1; –1), одна из которых содержит
ось Ох, а другая – ось Оz.
48. Найти
расстояние между параллельными плоскостями x–2y+2z–6=0 и x–2y+2z+18=0 .
49. На оси Oу найти точку, равноудаленную от двух плоскостей, заданных уравнениями x+2y–2z–
1=0, 3x+5=0.
50. На оси Oz найти точку, равноудаленную от двух плоскостей, заданных уравнениями x+4y–3z–2=0,
5x+z+8=0.
51. Найти проекцию точки Р(2;-1;3) на прямую x=3t, y=5t–7, z=2t+2.
52. Найти точку Q , симметричную точке Р(4;1;6) относительно прямой:
 x  y  4 z  12  0

2 x  y  2 z  3  0
53. Найти точку Q, симметричную точке Р(2; –5;7) относительно прямой, проходящей через точки
М1(5;4;6) и М2(–2; –17; –8).
54. Найти проекцию точки Р(5;2; –1) на плоскость 2x–y+3z+23=0.
55. Найти проекцию точки С(3;–4;–2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые:
x  15 y  6 z  3


,
13
1
4
x2 y 3 z 3


13
1
4
56. Найти точку Q, симметричную точке Р(3;–4; –6) относительно плоскости, проходящей через М1(–
6;1; –5), М2(7; –2; –1) и М3(10; –7;1).
57. Найти точку Q симметричную точке Р(–3;2;5) относительно плоскости, проходящей через прямые:
 x  2 y  3z  5  0,

 x  2 y  4z  3  0
 3 x  y  3 z  7  0,

5 x  3 y  2 z  5  0
58. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М1(–1;2; –3) перпендикулярно к

вектору a  6;2;3 и пересекает прямую:
x 1 y 1 z  3
.


3
2
5
59. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
прямые:
x 1 y  3 z  2


,
3
2
1
x  2 y 1 z 1


.
2
3
5
М1(–4; –5;3) и пересекает две
60. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра
двух прямых, заданных
 x  3t  7
 x  t 1
 y  2t  4  y  2t  9
уравнениями: 
и 
 z  3t  4
 z  t  12
61. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
x7 y4 z3


;
3
4
2
x  21 y  5 z  2
.


6
4
1
62. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
 x  3t  7
 x  t 1
 y  2t  4  y  2t  9
и 

 z  3t  4
 z  t  12
63. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
 x  2t  4
 x  4t  5
 y  t  4

и  y  3t  5 .


 z  2t  5  z  5t  5
64. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
x  5 y  5 z 1


;
3
2
2
x  6t  9, y=–2t, z=–t+2.
65. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
x 1 y  2 z 1


;
2
4
3
x  2 y 1 z  3
.


3
2
4
66. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
 x t 3
 y  2t  1
и

 z  4
 x  3y  z  0

x  y  z  4  0
67. Найти проекцию точки М(–1;2;0) на плоскость x  y  2 z  1  0 .
68. Составить уравнение проекции данной прямой
x 1 y 1 z 1


на плоскость хОу.
2
0
1
x  y  2z  3  0
на плоскость хОу.
 2x  y  z 1  0
69. Составить уравнение проекции данной прямой 
70. Найти точку, симметричную точке М(1;5;2) относительно плоскости 2 x  y  z  11  0 .
81. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который проходит
x2 z 2
  1.
через точку М(3;1;0) и пересекает плоскость хOz по эллипсу
16 4
82. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который проходит
y2 z2
 1.
через точку М(3;1;0) и пересекает плоскость yOz по эллипсу
25 16
83. Даны вершины эллипсоида А1(8;0;0); А2(-2;0;0). Написать уравнение этого эллипсоида, зная, что
плоскость yOz пересекает его по эллипсу: x=0,
84. Оси симметрии однополостного
y2 z2

 1.
9
4
гиперболоида Ф служат осями ортонормированного репера.
25 x 2  16 z 2  144
Написать уравнение этого гиперболоида, если он проходит через линию 
и точку
y0

М1(3; 4;3).
85. Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида Ф, который проходит через
точку M ( 5 ;3;2) и пересекает плоскость xOz по гиперболе
x2 z2

 1.
5
4
86. Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида Ф, если поверхность пересекает
2
2
плоскость xOу по окружности x  y  9 , а плоскость xOz по гиперболе
87. Написать каноническое уравнение двуполостного
x2 z 2

 1.
9 10
гиперболоида Ф, если точки
M1 (3;1;2) ,
M 2 (2; 11;3) , M 3 (6;2; 15 ) лежат на данной поверхности.
x2 y2 z 2


 1 с x 1  0 .
88. Определить вид линии пересечения однополостного гиперболоида
4
9 36
Сделать рисунок в системе координат.
y2
 2 z с плоскостью
89. Определить вид линии пересечения эллиптического параболоида x 
9
2
z  4  0 . Сделать рисунок в системе координат.
2
2
90. Определить вид линии пересечения гиперболического параболоида x  4 y  z с плоскостью
YOZ . Сделать рисунок в системе координат.