Список задач для подготовки к олимпиаде.

1-й курс.
1. Докажите, что на графике функции y  x 3 можно отметить такую точку А, а на графике
1
функции y  x 3  x  1 - такую точку В, что расстояние АВ не превысит
.
100
2. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го,
является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в последовательности
найдется некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех
предыдущих.
3. Функция f (x) задана и имеет производную на промежутке [0;  ). Известно, что при
всех x  0 справедливы неравенства f ( x)  20, f ( x)  f ( x)  cos x . Доказать, что не
существует lim f ( x) .
x 
1
1
3
4. A  0 1
0 0
1
2
1
. Найти A 30 .
5
1
5. Функция f (x) непрерывна в точке x  0 и  x  R удовлетворяет уравнению
2 f (2 x)  f ( x)  x . Найти f (x ) .
x
6. Решить уравнение 2 y 1  ( y ) 2 dx  2 x  y 2 .
0
7. На плоскости дан треугольник с длинами сторон a, b, c . На этом треугольнике можно
построить бесконечное множество пирамид с данной высотой h . Требуется из них найти
ту, которая имеет наименьшую боковую поверхность S .
8. Отрезок постоянной длины 2a движется так, что концы его всё время остаются на
координатных осях. Найти уравнение геометрического места оснований перпендикуляров,
опущенных из начала координат на этот отрезок.
9. Исследовать на равномерную сходимость на множестве E  R функциональный ряд

nx
 cos n 2 x .

5 2
1

n
x
n 1
10. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскости x  y  2 z  5  0 , описан
около сферы x 2  y 2  z 2  1 . Составить уравнение этого цилиндра.
1
11. Вычислить  dx
0
12. Вычислить
1 x 2  y 2
 dy 
0
x 2  y 2  z 2 dz .
0
 z dxdy , где S - внешняя сторона эллипсоида
S
13. Вычислить
1 x 2
y
2
x2 y2 z2


 1.
a2 b2 c2
dx  z 2 dy  x 2 dz , где L – линия пересечения сферы x 2  y 2  z 2  R 2 и
L
цилиндра x 2  y 2  Rx , ( R  0, z  0) , обходимая при интегрировании против часовой
стрелки, если смотреть из начала координат.
14. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:
1
log 3 (2  z 2  i )  log 27
0 ?
(2  z 2  i ) 3
15. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) , равную 1 в интервале (0, h) , и равную 0 в
интервале ( h,  ) , в ряд косинусов (0  h   ) .
2-5 курсы.
1. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору e  2;  3; 4,
а направляющая дана уравнениями x 2  y 2  9 , z  1 .
2. Вычислить поверхностный интеграл
 y
2
z dx dy  z x dy dz  x 2 y dx dz , где S - внешняя
s
сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида
вращения z  x 2  y 2 , цилиндра x 2  y 2  1 и координатных плоскостей.
3. При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной петлёй
линии ( x  y )12  x  y .

4. Вычислите  ( sin 1999 x  sin 2000 x )dx .
0
5. Исследовать на равномерную сходимость данный функциональный ряд

x
на множестве E  0;   .

n 1 (( n  1) x  1)( nx  1)
6. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием
log 2 (5  z 2  3i )  log 16 (5  z 2  3i ) 4  0 ?
7. Обозначим S n и a n соответственно сумму и количество всех чисел отрезка 0, 1 ,
десятичная запись которых не содержит цифры 9 и имеет не более n значащих цифр.
S
Найти lim n .
n  a
n
8. Пусть точка Р движется по оси OX с постоянной скоростью   0 , а точка М движется по
некоторой кривой L в плоскости ( x, y ) с постоянной скоростью u (u  v) , причём вектор
скорости точки М в каждый момент времени направлен в точку Р. Кривая L называется
линией погони. Предполагая, что в начальный момент времени точка Р находится в начале
координат, а точка М на оси OY в точке M 0 (0; y0 ), y 0  0 , найти уравнение кривой
погони L , точку C ( x1 ; 0) , в которой точка М догонит точку Р, и продолжительность
погони Т.
9. Какова вероятность того, что выбранное наудачу целое положительное число окажется
взаимно простым с 6? Что хотя бы одно из двух выбранных наудачу чисел окажется
взаимно простым с 6?
10. Найти разложение функции f (z ) в ряд Лорана в окрестности точки z 0 . Указать кольцо
сходимости, правильную и главную части разложения, а также тип особой точки z 0 :
z
f ( z )  e z 2 , z 0  2 .
11. Какое число больше 2006 2007 или 2007 2006 ?
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
12. Вычислить определитель 1 1 0 ... 1 .
... ... ... ... ...
1 1 1 ... 0
13. При каких a, b и c график функции y  x 3  ax 2  bx  c касается прямой y  4 x  4 в
точке с абсциссой x1  1 и пересекает эту прямую в точке с абсциссой x2  2 ?
sin x, x   ,
14. Найти преобразование Фурье (спектральную плотность) функции f ( x)  
и
0
,
x



представить его интегралом Фурье в комплексной форме.
1
x
15. Найти производную функции I ( y )   arctg dx в точке y  2 .
y
0