Модели межотраслевого баланса

Модели
межотраслевого баланса
Модели межотраслевого баланса
1. Основные допущения и предпосылки.
1. Рассматривается производственный сектор экономики.
2. Производственный сектор экономики разделен на отдельные
отрасли. Каждая отрасль производит один вид продукта.
2. Основные понятия и постановка задачи.
n – количество отраслей в производственном секторе экономики;
y = {y1,y2,…,yn}Т – вектор конечных продуктов (конечный спрос).
yi- количество продукта в стоимостном выражении отрасли i,
которое необходимо для нужд экономики.
Сюда не вход продукция i-ой отрасли, которая необходима для
удовлетворения потребностей производственного сектора.
Xp ={x1p,x2p,…,xnp}Т – вектор промежуточного спроса.
Здесь xip – количество продукции отрасли i, которое необходимо
для всех отраслей производственного сектора.
X={x1,x2,…,x3}Т – вектор валового выпуска продукции.
xi- количество продукции отрасли I, которое необходимо для
обеспечения конечного и промежуточного спросов экономики.
Модели межотраслевого баланса
Задачи межотраслевого баланса.
1. Определение количества валового
продукта X={x1,x2,…,x3}Т, производственного
сектора экономики по известному конечному
спросу y = {y1,y2,…,yn}Т.
2. Как распределить по отраслям производства
промежуточный продукт каждой отрасли.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Для решения поставленных задач необходимо
найти функции:
x1=f1(y1,y2,…,yn)
x2=f2(y1,y2,…,yn)
xn=fn(y1,y2,…,yn)
И функции φij(xj) j=1,2,…,n, которые определяют,
какое количество продукта отрасли i
необходимо отрасли j для выпуска своей
продукции в объеме xj.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
2.1. Построение функции φij(xj).
Пусть функции fi(y1,y2,…,yn) известны.
Тогда очевидно, что xi=xip +yi или
xip =yi –xi
(2.1)
Пусть xij – часть величины xip, которая необходима для
отрасли j, чтобы обеспечить выпуск своей продукции в
количестве xj.
Тогда должно выполняться равенство:
xip=xi1+xi2+…+xin=Σxij
(2.2)
Xij-зависит от xj, чем больше выпуск продукции, тем
больше ресурсов для этого необходимо:
xij =φij(xj)
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Примем, что φij(xj) – линейная функция вида:
φij(xj)=bij + aijxj
(2.3)
Коэффициент bij можно определить из условия, если xj=0, то
xij=0. Другими словами. Если отрасль ничего не производит, то ей не нужны и ресурсы. Следовательно, bij=0.
Окончательно:
xij = aijxj
(2.4)
Определение. Коэффициенты aij в равенстве (2.4)
называются технологическими коэффициентами
прямых затрат.
Коэффициент aij численно равен тому количеству продукции
отрасли i, которое необходимо отрасли j для производства
единицы своей продукции.
Определение. Матрица А={aij} называется матрицей прямых
материальных затрат.
Определение. Матрица Х={xij} называется матрицей
межотраслевых поставок.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Если значения коэффициентов aij известны тогда можно
записать:
xip = Σaijxj i=1,2,…,n
А величина валового выпуска из (2.1) есть:
xi = Σaijxj + yi, i=1,2,…,n
(2.5)
Определение. Выражение (2.5) называется точечной
моделью «затраты-выпуск» или статической моделью
межотраслевого баланса.
Модель впервые была предложена В.Леонтьевым.
Модель представляет собой систему из n уравнений с n
неизвестными.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
В векторной форме модель (2.5) имеет вид:
AX + Y = X
(2.6)
Определение. Форма (2.6) называется канонической или структурной формой
статической модели межотраслевого баланса.
Решив уравнение (2.6) относительно Y получим:
Y = (E – A)X
(2.7)
где Е единичная матрица.
Тогда решение задачи 1 получим в следующем виде:
X = (E-A)-1Y
(2.8)
или
X = BY
(2.9)
Определение. Форма (2.9) СММБ называется приведенной формой модели
«затраты-выпуск».
Модель (2.9) позволяет определить валовой выпуск продукции
производственного сектора экономики по заданному конечному спросу.
Значения технологических коэффициентов aij определяются методами
эконометрики по результатам наблюдений за функционированием
экономики.
Определение. Матрица Xp={xij} называется матрицей межотраслевых
поставок (межотраслевых потоков).
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Свойства технологических коэффициентов
По определению все yi≥0 и xj≥0 тогда следует:
aij ≥0 при всех i и j
xii=aijxi ≤ xi
т.к. поставки самому себе по определению меньше
валового выпуска. Следовательно: 0≤aij≤1.
Главное свойство – матрица А не имеет нулевых столбцов.
Экономически это означает, что ни одна отрасль не
может что-либо производить ничего не потребляя.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Рассмотрим матрицу межотраслевых поставок X={xij}
Ее столбец j представляет собой затраты отраслей
производственного сектора на валовый выпуск xj
отрасли j.
Очевидно, что валовый выпуск всегда больше суммы
промежуточных затрат, т.е:
n
z j  x j   x ij
i 1
Величина zi называется добавленной стоимостью
отрасли j или вновь созданной стоимостью и включает в
себя оплату труда рабочих в отрасли j,
амортизационные отчисления и прибыль отрасли j.
Модели межотраслевого баланса
Примеры. Фрагменты матриц технологических коэффициентов для экономик
СССР (1972г) и Японии (1980)
СССР
i\j
Тяжелая промышл.
Легкая промышл.
Сельское хозяйство
Тяжелая промышл.
a11=0.4339
a12=0.0397
a13=0.1145
Легкая промышл.
a21=0.0185
a22=0.3166
a23=0.0396
Сельское хоз.
a31=0.0085
a32=0.2586
a33=0.2020
Япония
i\j
Тяжелая промышл.
Легкая промышл.
Сельское хозяйство
Тяжелая промышл.
a11=0.2311
a12=0.0433
a13=0.1158
Легкая промышл.
a21=0.0980
a22=0.4525
a23=0.0683
Сельское хоз.
a31=0.1645
a32=0.0004
a33=0.1078
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Коэффициенты полных материальных затрат.
Рассмотрим приведенную форму модели «затратывыпуск» в точечном (координатном) виде:
xi = Σbijyj
Зафиксируем номер J, а значениям конечных спросов
присвоим следующие значения:
y1=0,y2=0,…,yj=1,yj+1=0,…,yn=0
Тогда получим:
xi=bij
(2.10)
Следовательно, bij есть количество валовой продукции
отрасли i, которое необходимо для выпуска единицы
конечной продукции отраслью j.
Определение. Коэффициенты bij называются
коэффициентами полных материальных затрат, а
матрица B={bij} мультипликатором Леонтьева.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Пример. Для матрицы технологических коэффициентов
экономики СССР построить матрицу полных затрат.
Матрица В равна:

B  bij   E  A

1
 1 0 0   0.4339 0.0397 0.1145   0.5661  0.0397  0.1145 

 
 

E  A   0 1 0    0.0185 0.3166 0.0396     0.0185 0.6834  0.0396 
 0 0 1   0.0088 0.2586 0.2020    0.0088  0.2586 0.7980 

 
 

 1.7772 0.2036 0.2651


1

B  E  A  0.0502 1.4970 0.0815 


 0.0359 0.4874 1.2825 




(2.11)
В таб. (2.11) каждый коэффициент bij – это количество
продукции (в руб.) отрасли i необходимое для обеспечения
выпуска конечной продукции отраслью j на один рубль.
Статическая модель межотраслевого
баланса (СММБ)
Пример (Продолжение).
Сопоставляя значения коэффициентов матриц А и В, видно,
что полные затраты выше прямых (например, b12/a12=5.1). Это
согласуется с экономическим смыслом этих коэффициентов.
Коэффициенты bij позволяют вычислять валовые выпуски x1,
x2, x3 по заданным значениям их конечной продукции:
x1  1.7772 y 1  0.2036 y 2  0.2561y 3
x 2  0.0502 y 1  1.4970 y 2  0.0815 y 3
x 3  0.0359 y 1  0.4874 y 2  1.2825 y 3
Зная валовые выпуски отраслей легко рассчитать элементы
матрицы межотраслевых поставок:
xij=aij*xj
Статическая модель межотраслевого
баланса в натуральном выражении
Введем матрицу цен на продукцию P={pij}, при этом pii>0, а
pij=0,при i≠j и xi*, yi* валовой и конечный спросы на продукцию
отрасли i. Тогда можно записать связь между
соответствующими продуктами в виде:
xi=piixi*; yi=piiyi* или в векторном виде: X=PX*, Y=PY*.
Подставив полученные выражения в (2.6), получим:
APX* +PY* = PX*
(2.12)
Умножив обе части уравнения (2.11) на P-1, получим:
Р-1АРХ* +Р-1РY* = P-1PX*
или
A*X* +Y* = X*
Здесь А*=Р-1АР={aij*} –матрица технологических
коэффициентов в натуральном выражении.
По своим свойствам матрицы А и А* не отличаются.
Статическая модель межотраслевого
баланса в натуральном выражении
Можно по аналогии перейти от структурной формы
модели в натуральных показателях к приведенной:
X *  B *Y *
где

B  bij   E  A*
*

1
Связь между матрицами В и В* задается выражением:
B  P 1  B  P
*
Обычно СММБ составляются одновременно в
натуральном и стоимостном выражениях.
Таблица тождества межотраслевого
баланса
Таблица межотраслевого баланса
№ отрасли
№ отрасли
Отрасли как потребители
Конечный
спрос
Валовы
й
выпуск
…
J
…
n
Y
x
1
x11
…
x1j
…
x1n
y1
x1
…
…
…
…
…
…
…
…
j
xi1
…
xij
…
xin
yi
xi
…
…
…
…
…
…
…
…
n
xn1
…
xnj
…
xnn
yn
xn
Добавленная
стоимость
z1
…
zj
…
zn
Валовый
выпуск XT
x1
…
xj
…
xn
L1
…
Lj
…
Ln
Ly
Lx
Отрасли как
производители
1
Труд
Анализ таблицы межотраслевого
баланса
Таблица межотраслевого баланса наглядно воспроизводит
качественную и количественную структуры межотраслевых
связей.
Так строка i показывает распределение валового выпуска
отрасли i. При этом имеет место равенство
n
x j   x ij  y i
i  1,2,..., n
при
j 1
(2.13)
Столбец j описывает производственные затраты отрасли j на
выпуск ее продукции. При этом справедливо равенство:
n
x j   x ij  z j
при
j  1,2,..., n
i 1
Тождество (2.14) – баланс затрат
Тождество (2.13) – баланс выпуска
(2.14)
Анализ таблицы межотраслевого
баланса
Из соотношений (2.13) и (2.14) вытекают два тождества:
n
x
k 1
n
ik
 y i   x ki  zi
i  1,2,..., n
(2.15)
k 1
Тождества (2.15) означают, что производственные затраты
отрасли i, увеличенные на добавленную стоимость ее
продукции, равны стоимости выпуска этой продукции
Просуммировав (2.15) по i, получим второе тождество:
y
i

z
i
(2.16)
Тождество (2.16) означает, что общая сумма конечных
спросов равна общей сумме добавленных стоимостей
Равенства (2.15-2.16) называют тождествами
межотраслевого баланса