 

Лекция №9. Расчет газовых течений с помощью
газодинамических функций z  , r  , f  
Рассмотрим газодинамические функции, которые используются в
уравнениях количества движения газа. Сумму секундного количества
движения и силы давления газа в рассматриваемом поперечном сечении
потока принято называть полным импульсом потока I.

ð
I  GV  ðS  G
V  V





Если подставить соотношения
V  a
*
и
 k 1 2  k 1 2  k 1 2 
 RT  RT0 1 
 
a * 1 
 

 k  1  2k
 k 1 
р
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f  
   
то получим
 * k  1 a* 
k  1 2 
GV  рS  G a 
 
1 
2k  
k  1 

После раскрытия скобок и упрощений приводим выражение к виду
k 1
GV  pS 
Ga * z  
2k
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f  
   
 


где
z
 1
График газодинамической функции z    2 для воздуха
приведен ниже.
Минимальное значение функции соответствует критической
скорости течения (
 1 ). Как в дозвуковых, так и в
сверхзвуковых потоках z   2. Значениям z   2 не
соответствуют какие-либо реальные режимы течения. При
замене величины
обратной ей величиной значение

 
 

функции z
  не изменяется.Таким образом, одному значению z 
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f  
 
могут соответствовать два взаимообратных значения
приведенной скорости – одно из них определяет дозвуковое,
а другое – сверхзвуковое течение газа. Функция z   не
зависит от k.
Выражение для импульса потока значительно упрощает
запись и преобразования уравнения количества движения
газа. Оно оказывается чрезвычайно полезным при решении
широкого круга задач газовой динамики.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f  
   
Например, при расчете течений с ударными волнами,
подводом теплоты и охлаждением, течений с трением, с
ударом при внезапном расширении канала, при расчете
процесса смешения потоков, при определении сил,
действующих на стенки канала, при вычислении
реактивной тяги и многих других.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r   , f  
 
Пример. Определить соотношения между параметрами газа
до и после прямого скачка уплотнения.
Связь между параметрами газа в скачке уплотнения
устанавливается из того, что при переходе через скачок
сохраняются неизменными полная энергия, расход и
импульс потока. Запишем те же уравнения с
использованием газодинамических функций.
Уравнение количества движения или импульса потока
G1V1  p1 S1  G2V2  p2 S 2
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
     
с учетом выражения примет вид
G1a1* z1   G2 a2* z2 
Из уравнения сохранения расхода и полной энергии имеет
G1  G2 , Т 01  Т 02 , а1*  а2*
Учитывая это, получим
z 1   z 2 
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r   , f 
 
 
Это уравнение имеет два решения: либо 2  1 , что
соответствует безударному течению с неизменными
параметрами газа, либо  2  1 1 , что соответствует
прямому скачку.
По известному значению с помощью уравнения
неразрывности определяем изменение полного и статического
давления в скачке уплотнения. Так как S 2  S1 и Т 01  Т 02 , то
используя формулы газодинамической функции q( ) , можно
уравнение неразрывности для потока газа до и после скачка
представить в виде
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
 
  
p02 q 2   p 01 q1 
или
p 2 y  2   p1 y 1 
Отсюда, учитывая, что
2  1 1
p 02
q1 

;
p 01
q1 1 
, получаем
p2
y 1 

p1
y 1 1 
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций
, r  , f  
z   
Пример. Газ, движущийся в цилиндрической трубе, подогревается
от 400 К на входе в трубу до 800 К на выходе из нее.
Приведенная скорость потока на входе в трубу 1  0,4 .
Требуется определить, пренебрегая трением, приведенную
скорость потока после подогрева, а также изменение полного
и статического давления в потоке.
Основное соотношение, определяющее закономерности
течения газа в цилиндрической трубе с подводом теплоты,
получим из уравнения количества движения
GV1  p1 S  GV 2  p 2 S
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
     
так как подвод теплоты не связан с силовым воздействием на поток и силы
давления в начальном и конечном сечении являются единственными
силами, вызывающими изменение количества движения газа. Заменив
выражения для импульса потока газа и считая, что теплоемкость газа и k
при подогреве не изменяются, получим
a z 1   a z 2 
*
1
*
2
или
z 2   z 1  T01 T02
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r   , f 
 
Так как при
 
1  0,4 , z1   2,9 , то
z  2   2,9 400 800  2,05
 
С помощью таблиц функций z  или непосредственным
вычислением из квадратного уравнения   1   2,05
2
2
определяем два возможных значения приведенной скорости
на выходе: 2 '  0,8 , 2 ' '  1 2 '  1,25 .
Реальным будет только первое решение, поскольку
подогревом невозможно перевести дозвуковой поток в
сверхзвуковой.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  ,
,
  r   f  
Зная
2  0,8, найдем p02
и p2
p 02
q1  T02
0,5897


p 01
q 2  T01
0,9518
p2
y1  T02
0,6482


p1
y2  T01
1,4126
800
 0,875
400
800
 0,648
400
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
    
Таким образом, как полное, так и статическое давление в
результате подогрева газа уменьшаются. Полученное
значение p2 p1  0,648 и есть то соотношение давлений газа в
начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка
трубы, которое необходимо создать, чтобы поддержать
заданные температуры и приведенную скорость на входе 1  0,4
Уравнение сохранения количества движения позволяет
установить некоторые общие закономерности течения в
цилиндрической трубе с подогревом или охлаждением.
Видно, что с увеличением отношения Т 02 Т 01 величина
функций
z 2  (при z1   const ) всегда уменьшается.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r   , f  

Это означает, что с ростом подогрева в дозвуковом потоке 
увеличивается, а в сверхзвуковом – уменьшается. В обоих ъ
случаях скорость потока будет приближаться к критической
(следовательно   1 , а z   2). Это условие
2
ограничивает величину предельно возможного подогрева для
заданной начальной скорости потока .
Это условие ограничивает величину предельно возможного
 
подогрева для заданной начальной скорости потока Т 02 Т 01 макс . z
2
1  4
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f  
 
Для принятых в данном примере значений параметров
предельная величина подогрева соответствует Т 02  840 К.
Из уравнений расхода можно определить отношение
давлений р 2 р1 , необходимое для реализации такого
режима при сохранении 1  const . При увеличении
подогрева сверх найденного значения получим z 2   2 , что
указывает на физическую невозможность такого подогрева
при заданной скорости течения на входе.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
   
Заменив в соотношении произведение его значением ,
получим выражение для импульса газового потока в первом
случае через полное давление, а втором случае через
статическое давление:
1
 2  k 1
GV  рS  
  p0 Sq  z  
 k 1
 2 
GV  рS  

 k 1
1
k 1
pSy  z  
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
 
  
Введем обозначения для двух новых функций приведенной
скорости , входящих в правые части этих выражений:
 2 
f    

 k 1
1
k 1


 k 1 2 
q z    2  1 1 
 
 k 1 
 k 1
r    

 2 
1
k 1
1

y  z  
k 1 2

k 1
1  2
1
1
k 1
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  ,
 
  f  
Подставляя эти обозначения, получаем окончательно
GV  pS  p0 Sf  
GV  pS 
Функция
pS
r  
r   введена, как величина, обратная произведению
y  z  с тем, чтобы облегчить пользование таблицами
(произведение y  z  быстро возрастает с увеличением  ,
стремясь к бесконечности при   макс. Величина же r 
изменяется в пределах от единицы до нуля). Графики
Функций f  и r  приведены ранее.
 
 
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f  
   
Уравнения показывают ряд свойств импульса газового
потока. В правой части этих уравнений отсутствуют
величины расхода газа и температуры или критической
скорости. Из этого следует, что если при заданной площади
сечения S и приведенной скорости полное или статическое
давление в потоке постоянно, то импульс сохраняет
постоянное значение независимо от температуры и расхода
газа.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций z  , r  , f 
     
Физический смысл этого состоит в том, что при изменении температуры
(или температуры торможения) газа при скорость течения изменяется
прямо пропорционально, а расход – обратно пропорционально корню
квадратному из температуры, так что произведение GV остается
постоянным. Отметим, что функция в области дозвуковых и небольших
сверхзвуковых скоростей изменяется очень мало (приблизительно на 10%
в интервале ).
Отсюда следует, что импульс газового потока при постоянных полном
давлении и площади сечения слабо зависит от величины в широком
диапазоне ее изменения и определяется в основном величиной
произведения .
Выражения для импульса газа очень удобны при решении задач,
связанных с определением сил, действующих со стороны газа на
стенки канала, что необходимо, в частности, при вычислении реактивной
тяги различных двигательных установок.