 ) ( q

Расчет газовых течений с помощью
газодинамических функций  () ,  ( ) ,  ( ), q( )
Выше были установлены количественные соотношения между p, Т,  , p0 , T
0
и скоростным коэффициентом  . Эти выражения представляют собой
степенные зависимости различного уровня сложности, что затрудняет, а
иногда делает невозможным получение аналитического решения в явном
виде.
Часто встречающимся комбинациям параметров присвоили условные
обозначения и назвали газодинамическими функциями. Значения
газодинамических функций в зависимости от  и k вычислены и сведены
в таблицы, что значительно облегчает расчеты. К этим функциям относят:
   
   
   
T
k 1 2
 1
 ;
T0
k 1
р
k 1 2 

 1 
 
р0
k 1



k 1 2 

 1 
 
0
k 1


k
k 1
1
k 1
;
.
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) , ( ) , q( )
  





Связь между ними выражается формулой
  
Указанные уравнения связывают параметры газа в одном и том же
сечении потока и справедливы независимо от характера течения и
происходящих в газе процессов. Переход от параметров в потоке к
параметрам заторможенного газа по определению происходит по
идеальной адиабате.
С увеличением  от нуля до макс  k  1 k  1 функции  ,  , 
монотонно уменьшаются от 1 до 0.
Это соответствует их физическому смыслу: при малых скоростях (   0)
параметры в потоке практически не отличаются от параметров полностью
заторможенного газа; с увеличением скорости до предельного значения
( M   ,   макс )
Т, p и  при конечном значении параметров торможения стремятся к
нулю.
  
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
Располагая графиками или таблицами, в которых для каждого
значения  приведены значения функций    ,    ,   можно
быстро определить параметры торможения по параметрам в потоке и
наоборот.
Рассмотрим две газодинамические функции, которые используются
в уравнении неразрывности потока. Для этого выразим плотность 
и скорость потока V через параметры торможения p0, T0 и
приведенную скорость :



   0 1 
V  a
*
k 1 2 
 
k 1 
 a 0
1
k 1

p0  k  1 2 
 
1 
RT0  k  1 
2

k 1
1
k 1
2k
RT0
k 1
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
Подставим в уравнение секундного расхода газа G  VS
выражения
1
p
k  1 2  k 1
2k

G  0 S 1 
 
RT0
RT0
k 1 
k 1

Умножим обе части этого выражения на
Ga * 
полученные
2k
k 1 2 

p0 S 1 
 
k 1
k 1 

Это уравнение связывает расход газа в данном сечении S, скорость в
котором задана скоростным коэффициентом λ, с полным давлением,
критической скоростью звука и некоторой функцией приведенной
1
cкорости 
k  1 2  k 1
 1 
 
   

k 1

где–введенная
ранее газодинамическая функция

1
k 1
(19)
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
Новую газодинамическую функцию q  определяют как величину,
пропорциональную    :
 k 1
q   

 2 
1
k 1


 1 
k 1 2 
 
k 1

1
k 1
Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы при   1
иметь q   1
Представленную в таком виде газодинамическую функцию q 
интерпретируют как безразмерную плотность потока:
q  
V
 *a*
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
Действительно
V
  0 V   
 k  1






2
 * a *  0  * a *  1


График функции q  приведен на рис.
При увеличении  от 0 до 1 величина
q  растет от 0 до q   1 и далее вновь
снижается до нуля при   
.
макс
Подставляя в (19) функцию q  , имеем
Ga * 
2k  2 


k 1 k 1
1
k 1
1
k 1
  
q
y
0,8
4,0
0,6
3,0
q
y
0,4
2,0
0,2
1,0
р0 Sq  (20)
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
Зависимость q и y от 
Заменяя в (20) критическую скорость ее значением получим ранее
приведенную формулу для вычисления расхода газа.

Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
G  BG
р0 Sq  
T0
где
 2 
BG  k 

 k 1
k 1
k 1
1
1
N
R
R
Для воздуха k = 1,4; R = 287 Дж/(кгК), ВG = 0,04 [м-1сК0,5].
При течении со скоростью звука q   1 и сечение S оказывается
критическим.
При решении ряда задач требуется связать расход газа не с полным, а со
статическим давлением в потоке. Такую связь получим, если
заменить в ней правую часть величиной полного давления согласно
выражению
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
p0 
p

 ( )
p
k 1 2 

 
1 
k 1 

k
k 1
Получим соотношение
Ga
*
2k  2 



k 1  k 1
где функция
1
k 1
рSy 
и
G  BG
рSy 
T0
(21)
Расчет газовых течений с помощью газодинамических
функций  () ,  ( ) ,  ( ) , q( )
y ( ) 
q ( )  k  1 


 ( )  2 
1
k 1

1
k 1 2

k 1
является второй газодинамической функцией, с помощью которой можно
вычислить расход газа. Вид этой функции представлен на рис.(ее
значения при различных k можно найти в справочных таблицах по
газодинамическим функциям). При   макс , y( )   .
Формулы выражают расход газа через параметры его состояния в
рассматриваемом сечении потока, и потому справедливы
независимо от характера процессов, происходящих в потоке газа.