ПОЛЕ ГРАВИТАЦИИ

• ПОЛЕ ГРАВИТАЦИИ
• План
• 1. Движение в центральном поле.
• 2. Законы Кеплера и закон всемирного
тяготения.
• 3. Гравитационное поле.
• 4. Космические скорости.
• 1 Движение в центральном поле
• Если движение осуществляется под
действием силы от удаленного
источника, то она зависит от положения
системы в пространстве по отношению
к источнику силы. В такой ситуации
говорят о наличии силового поля.
• В классической физике наиболее
широко распространены задачи,
связанные с действием сил тяготения и
электрического взаимодействия.
Законы действия сил гравитации и сил
электростатического взаимодействия, с
точностью до постоянных
коэффициентов, одинаковы. Поэтому,
часто силовое поле таких
взаимодействий называют кулоновским.
• Выработана специальная
терминология, применяемая к этим
полям. Место расположения источника
силы называют силовым центром.
Центральной силой называют силу,
направленную по прямой линии,
соединяющей частицу с силовым
центром, а ее абсолютное значение
зависит только от расстояния до
силового центра.
• В классе задач о движении частиц в
силовых полях часто рассматривают
движение изолированной системы,
состоящей из двух взаимодействующих
частиц, которая представляет собою
частный случай движения в
центральном поле (одна частица
движется в силовом поле другой).
• К этой задаче могут быть сведены
многие вопросы, имеющие огромное
практическое значение. Например,
движение планет солнечной системы.
Масса Солнца в 700 раз больше массы
всех планет вместе взятых. Поэтому
гравитационным взаимодействием
планет друг с другом можно пренебречь
и рассматривать пару Солнце–планета.
Движение искусственных спутников
Земли рассматривается как движение
пары Земля–спутник.
• Рассмотрим общие свойства движения двух
тел независимо от конкретного вида закона
действия центральной силы. Возьмем две
нерелятивистские частицы, имеющие массы
m1 и m2; и радиусы-векторы r1 и r2. Силы,
действующие на каждую из них, могут быть
представлены как функции разности векторов
r1 и r2 –
• F(r1 – r2). Здесь (r1 – r2) – вектор,
соединяющий частицу 1 с частицей 2 и силы
взаимодействия будут коллиниарны этому
вектору в соответствии с определением
центральных сил.
• По третьему закону Ньютона на первую
частицу со стороны второй будет
действовать сила F(r1 – r2),
• а на вторую, со стороны первой – F(r1 –
r2) Уравнения движения замкнутой
системы из двух частиц будут иметь
вид:
m1 (d 2r1 / dt 2 )  F (r1  r2 ) ;
• (1)
m2 (d 2r2 / dt 2 )   F (r1  r2 )
• Определим радиус-вектор центра
инерции R  (m1r1  m2r2 ) /( m1  m2 )
• Определим радиус-вектор центра
инерции
• . R  (m1r1  m2r2 ) /( m1  m2 )
• Обозначим . r  r1  r2 Тогда и
R  (m1r1  m2r1  m2r ) /( m1  m2 )
r1 (m1  m2 )  R (m1  m2 )  m2r
• Отсюда
r1  R  m2r /( m1  m2 ) ;
r2  R  m1r /( m1  m2 )
• Подставляя эти выражения в (6.1),
получаем:
m1 (d 2 R / dt 2 )  [m1m2 /( m1  m2 )]( d 2r / dt 2 )  F(r1  r2 ) ;
• (2)
m2 (d 2 R / dt 2 )  [m1m2 /( m1  m2 )]( d 2r / dt 2 )  F(r1  r2 )
• Или
m1 (d 2 R / dt 2 )  [m1m2 /( m1  m2 )]( d 2r / dt 2 )  • (3)
2
2
2
2
 m2 (d R / dt )  [m1m2 /( m1  m2 )]( d r / dt ).
• Это уравнение справедливо только при
соблюдении закона сохранения центра
инерции. Учитывая (3), можно уравнение
(1) привести к виду:
2
2
m(d r / dt )  F (r )
• где m  [m1m2 /( m1  m2 )]
масса.
• (4)
– приведенная
• Окончательный вывод, из приведенных
выше выкладок, заключается в том, что
движение системы двух
взаимодействующих тел эквивалентно
движению одного тела с приведенной
массой в центральном силовом поле.
• В физике часто пользуются системой
центра инерции (СЦИ). В этом случае
начало координат помещают в центр
инерции. Тогда R = 0 (рис.1)
Рис.1
•
•
•
•
В такой системе
r1 = m2r / (m1 + m2).
Следовательно:
а) такая система является инерциальной, т.к.
центр инерции изолированной системы будет
двигаться прямолинейно и равномерно;
• б) абсолютные значения радиусов-векторов
обратно пропорциональны массам частиц
• r1/r2 = m2/m1;
• в) частицы могут двигаться необязательно
прямолинейно, но при этом их траектории будут
подобными, т.к. r1(t) и r2(t) отличаются на
постоянные множители, кроме того, линия,
соединяющая частицы, будет проходить всегда
через начало координат.
• Полезно отметить, что если m1 = m2,,
то m = m1/2 = m2/2. Если одна масса
много больше второй (Солнце–Земля)
m1 m2, то
m = m1m2/(m1 +
m2) = m2/(1+ m2/m1)  m2
• и приведенная масса равна меньшей
массе (массе Земли).
• 2. Законы Кеплера и закон
всемирного тяготения
• Кеплер, обобщив наблюдения Тихо
Браге, сформулировал основные
эмпирические законы кинематики
движения планет. Эти законы могут
быть получены теоретически при
решении задачи движения двух тел,
рассмотренной в предыдущем
параграфе.
• Законы Кеплера
• 1. Орбиты планет – суть эллипсы, в
одном из фокусов которых
находится Солнце.
• Частица, движущаяся в центральном
поле не по линейной траектории,
обладает моментом импульса, который
будет сохраняться:
• L = [r р] = m [r v] = const.
• В соответствии с этим, вектор r всегда
перпендикулярен вектору L,
сохраняющему положение в
пространстве. Следовательно, в любой
момент вектор r лежит в одной плоскости,
перпендикулярной вектору L. Тогда его
конец описывает плоскую траекторию.
• Решая задачу о движении двух тел,
можно показать, что траектория –эллипс,
парабола или гипербола
• 2. Планеты обращаются по плоским
кривым так, что радиусы–векторы
описывают одинаковые площади за
Рис.2
• равные промежутки времени dS / dt =
const . (рис.2).
• 3. Квадраты периодов обращения
планет пропорциональны кубам их
средних расстояний от Солнца:
• T12 / T22 = R13 / R23.
Рис.2
Рис.3
• Силу взаимодействия между Солнцем и
любой планетой можно определить
формулой
• fc = fn = γ mn Mc/R2.
(5)
• Здесь mn – масса планеты,
• fn = mn an,- центростремительная
сила, которая действует на планету,
• fc – сила, действующая на Солнце со
стороны планеты (рис.3),
• γ = const взаимодействия для
Солнечной системы.
• В соответствии с третьим законом Ньютона,
• fc = fn.
• Формула (5) выражает закон всемирного
тяготения в скалярном виде.
• Ньютон обобщил это взаимодействие для
любых масс.
• Между двумя массами действует сила
тяготения, прямо пропорциональная
произведению этих масс и обратно
пропорциональная квадрату между ними:
• F12 = –γm1 m2 r12/r3.
(6)
• Здесь F12 – сила, действующая со
стороны первого тела на второе;
r12
– радиус-вектор, проведенный из
первого тела ко второму;
• γ = 6,6710–11 м3/(кг с2) –
гравитационная постоянная
(постоянная тяготения).
• Следует подчеркнуть, что уравнение (6)
справедливо только для материальных
точек или сферических тел.
• В последнем случае радиус-вектор
проводят из центра и к центру сфер.
•  = F r2 / (m1 m2) –
• гравитационная постоянная –
физическая величина, числено
равная силе, действующей между
двумя точечными единичными
массами, расположенными на
единичном расстоянии.
• 3. Гравитационное поле
• Взаимодействие масс осуществляется
посредством гравитационного поля.
• Гравитационное поле – особый вид
материи, появляющийся в силовом
воздействии на массу, помещенную
в это поле.
• Само гравитационное поле создается
телами, обладающими массой.
• Таким образом, гравитационное поле и
создается массой, и действует на
массу.
• Всякое поле имеет силовую и
энергетическую характеристики.
• Силовой характеристикой
гравитационного поля является
напряженность – сила, действующая на
единичную массу, помещенную в данную
точку поля
• G = F/ т .
(8)
• Сила, действующая на массу m в
гравитационном поле,
• F = m G.
(9)
• Если поле создается материальной точкой
или сферическим телом массой М, то на
расстоянии r от центра
• G = F/m = –Mr/r3.
(10)
• К гравитационным полям применим
принцип суперпозиции.
• При наложении полей, создаваемых
несколькими источниками (массами),
напряженность результирующего
поля равна векторной сумме
напряженностей всех составляющих,
рассчитанных так, как если бы
других полей не было.
• Сила, действующая на массу m со стороны
массы Mi,
• Fi = –γm Mi r/r3 = m Gi.
• Результирующая сила, действующая на
массу m,
n
n
• .
F   Fi  m G i
i 1
i 1
• Результирующая сила равна произведению
массы частицы на напряженность
результирующего гравитационного поля
n
F  mG  m G i
i 1
• Графически поле изображают с
помощью силовых линий.
• Силовая линия – линия, касательная
в каждой точке которой совпадает с
направлением вектора
напряженности поля.
• Изображение силового поля,
созданного сферической массой,
показано на рис. 5.
• При изображении полей силовыми
линиями существует правило, следуя
которому число силовых линий,
пересекающих единичную поверхность,
перпендикулярную силовым линиям,
должно равняться модулю вектора
напряженности поля в данной точке.
Рис.5
• Работу, совершаемую в
гравитационном поле, можно Рис.5
• определить по условию
• dA = (F dr) = –γmMdr cos /r2.
• Здесь М – масса, создающая поле; m –
масса, над которой совершается
работа.
• Согласно рис.6, перемещение
противоположно действующей силе и
cos  = –1.
Рис.6
• Тогда
dΑ  γ m Mdr / r
2
r2
dΑ  γ m M  dr / r
• r1.
A   γ mM (1 / r1  1 / r2 )
•
• Отсюда работа по замкнутому
контуру равна нулю.
• .
2
(11)
A   (Fdr )   (madr )  m  (Gdr )  0
r
r
r
• Следовательно,
• циркуляция вектора напряженности
гравитационного поля равна нулю,а
само поле является потенциальным.
•
• Энергетической характеристикой
гравитационного поля является
потенциал – потенциальная энергия
которой обладает единичная масса,
помещенная в данную точку поля.
• Работа в гравитационном поле равна:
A   ΔW   γ mM / r1  γ mM/r2  WП1  WП2 ,
• где WП = – γmM/r – потенциальная энергия
массы m. Потенциал поля
• φ = WП/m = –γM/r.
(12)
• Как уже отмечалось, при определении
абсолютного значения потенциальной энергии
необходимо оговорить состояние системы, при
котором ее потенциальная энергия равна
нулю. Для гравитационного поля это
состояние считается при r = .
• Тогда потенциал – работа против силы
гравитации, совершаемая при
перемещении единичной массы из данной
точки поля в бесконечность.
• Поле можно изобразить с помощью
эквипотенциальных поверхностей.
• Эквипотенциальна поверхность–
геометрическое место точек с одинаковым
потенциалом.
• Силовые линии всегда перпендикулярным
эквипотенциальным поверхностям (рис.5).
• Работу по перемещению единичной массы
можно выразить через потенциал
• dA = l dφ = γMdr/r2.
(13)
• Отсюда два практически важных следствия:
• 1. Работу по перемещению массы m в
гравитационном поле можно определить по
формуле
A   ΔW  m Δ   m
• (
. 1  2 )
(14)
• 2. Связь между напряженностью и
потенциалом можно вывести из (7.11)
• dφ/dr = d(–γM/r)/dr = γМ/r2 = –G.
• В векторной форме получим
G   grad   i / x  j / y  k / z  • (15)
• 4. Космические скорости
• При запуске спутников в космос им
необходимо задать начальную
скорость, величина которой зависит от
поставленной задачи.
• Первая космическая скорость –
линейная скорость, при которой тело
становится спутником Земли,
вращающимся по круговой орбите на
небольшом расстоянии от Земли.
• Центробежная сила, действующая на
спутник, должна уравновеситься
гравитационной силой.
• γm МЗ/r2 = mv12/r,
• где МЗ – масса Земли: r – радиус
орбиты, который по условию равен
радиусу Земли (RЗ). Тогда v1 = (γ
MЗ/RЗ) 1/2 . Помня, что у поверхности
Земли g0 = γМЗ / RЗ2, получаем:
• v1 = (g0RЗ)1/2 = 7,9 км/с.
• Вторая космическая скорость –
скорость, при которой тело может
покинуть Землю и стать спутником
Солнца. Для этого необходимо, чтобы
кинетическая энергия тела стала
больше работы по преодолению
тяготения Земли

/ 2   mM З dr / r  γ mM З / RЗ
2
mv2
v2 
2

RЗ

2 1/ 2
2 γ M З / RЗ
 2 g 0 RЗ 
1/ 2
 11,2 км/с
• Третья космическая скорость –
скорость, при которой тело может
покинуть пределы Солнечной системы,
преодолев притяжение Солнца:
• v0 = 16,7 км/с.