Лекция 9 Движение в гравитационном поле

Лекция 9
Движение в гравитационном поле
Характеристики гравитационного поля
Связь между потенциальной энергией и силой
Первая и вторая космические скорости
Движение в гравитационном поле
Взаимодействие материальных частиц описывается законом всемирного тяготения
m1 m2 F = G 2 l r - сила тяготения
r
Любое силовое взаимодействие частиц можно описать полем сил F
,
которое является векторным, так как F - это вектор
Пол сил тяготения или гравитационное поле – это способ описания
взаимодействия материальных частиц
Гравитационное поле порождается телами и является формой существования
материи.
Таким образом, материя может
существовать не только в виде
частиц, но и в виде поля
• Характеристики гравитационного поля
1. Напряженность гравитационного поля ( E ) – это физическая величина
численно равная силе, с которой действует поле на единичную массу,
помещенную в данную точку поля
F
E=
m
Направление вектора
E
Напряженность – это силовая
(9.1) характеристика поля
совпадает с направлением силы
Найдем напряженность поля, создаваемого точечной массой M на расстоянии r от нее
E m
•А
F
M
Для этого в точку А поместим точечную массу m и найдем силу
взаимодействия масс M и m
F
M По определению
E = = G 2 lr
Mm
m
r
F = G 2 l r напряженности получим
r
r
M Для сферически
E = G 2 l r (9.2) Напряженность гравитационного
r
поля, создаваемого точечной массой распределенной
Для произвольного распределения масс, необходимо тело разбить на
бесконечно малые массы, найти напряженность поля, создаваемого этими
малыми массами по формуле (9.2), а затем векторно сложить все E
Гравитационное поле называют однородным, если его
напряженность во всех точках одинакова
массы
напряженность
тоже находится по
формуле (9.2),
только расстояние
r отсчитывается от
центра сферы
2. Энергия взаимодействия (W)
Пусть источником гравитационного поля является Земля, масса которой M
m
Найдем энергию взаимодействия точечной массы m и Земли M
2
Начало координат поместим в центр Земли 0 и будем удалять
r2
массу m из точки 1 (поверхность Земли) в точку 2
1
m
Сила, действующая на массу m в гравитационном поле Земли равна
F
0•
M зm
Rз
F =G
r2
Удаляя массу m из т. 1 в т.2 необходимо совершить работу против
силы тяготения. Найдем эту работу
Земля
r2
dr
1
cosα = cos 180º = -1
A12 = ∫ F dr = − GM з m ∫ 2 = − GM з m ( − ) rr12
r
r
r1 = Rз
1
r1
Из (9.3) следует, что работа силы тяготения зависит
1
1
только от начального и конечного положения.
− GMm ( − ) (9.3) Следовательно,
2
A12 =
r1
r2
гравитационное поле - потенциальное
Работа в потенциальном поле равна убыли потенциальной энергии
Сравнивая (9.3) и (9.4), получим
W (r ) = −G
A12 = W1 − W2 (9.4)
Mm
+ C (9,5) , где С = const – зависит от
выбора системы отсчета
r
Например, если выбрать начало отсчета энергии на ∞, то есть W (∞) = 0, то из
(9,5) получим W(∞) = 0 + С = 0 → С = 0
Mm
W (r ) = −G
r
(9.6)
Потенциальная энергия взаимодействия
точечных масс или энергия взаимодействия
точечной массы со сферической массой
В соответствии с таким выбором системы отсчета потенциальная энергия
всегда отрицательна и возрастает с ростом r, достигая 0 при r → ∞
График зависимости W(r)
W(r)
r
0
Потенциальная энергия тела вблизи поверхности
Земли относительно Земли на высоте h << Rз
Запишем потенциальную энергию тела на высоте h
относительно центра Земли по формуле (9.6)
Wh = −G
Mm
( R з + h)
и потенциальную энергию на поверхности Земли
Потенциальная энергия по отношению к Земле
Mm
W з = −G
Rз
 1
h
h
1 

 = GMm
W = W h − W з = −GMm 
= GMm
−
h
R з ( R з + h)
 Rз + h Rз 
R з2 (1 +
)
R
GM
GM
з
0
=
g
W =
⋅
mh
=
mgh
, где
R з2
R з2
3. Потенциал гравитационного поля (φ) – это физическая величина численно
равная потенциальной энергии единичной массы m, помещенной в данную
точку поля
W
ϕ=
m
(9.7)
Потенциал – это энергетическая
характеристика поля
Потенциал поля, создаваемого точечной и сферически
распределенной массой
Пусть точечная масса M создает гравитационное поле. Поместим в т. А точечную массу m
А
m
По определению ϕ =
W
(9.7) , где
m
r
Подставив (9.6) в (9.7), получим
M
ϕ = −G
M
r
W (r ) = −G
Mm (9.6)
r
Потенциал
(9.8) гравитационного
поля в точке r
Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образуют
сферическую поверхность (r = const). Такие поверхности, для которых
потенциал одинаков, называются эквипотенциальными
• Связь между потенциальной энергией и силой, действующей
на частицу в каждой точке поля
Если известно выражение для потенциальной энергии, то можно найти силу,
действующую на частицу в каждой точке поля
Найдем эту связь
Пусть частица m перемещается в гравитационном поле вдоль направления х на расстояние dx
При этом сила поля совершает работу dA = Fx dx (9. 9) , где Fx – проекция
силы F на направление х
Так как поле потенциальное, можно записать, что
dA = - dW (9.10)
dW
dx
(9.11)
dW
dW
; Fz = −
Fy = −
Соответственно, получим
dy
dz
Распишем вектор силы через проекции F = l x Fx + l y Fy + l z Fz (9.12)
Приравнивая (9.9) и (9.10), получим
Fx dx = − dW ⇒ Fx = −
Подставив (9.11) в (9.12),  dW dW dW 
 d d d 
 = − l x
F = − l x
+ ly
+ lz
+ ly
+ l z  ⋅ W
получим
dx
dy
dz 
dx
dy
dz

Консервативная сила равна
градиенту потенциальной энергии
частицы взятому с обратным знаком



∇ -векторный оператор
F = −∇W
«набла» или градиент
(9.13)
Из формулы (9.13) получается связь между E и φ
F
По определению напряженности E = ⇒ F = mE
m
По определению потенциала
W
ϕ = ⇒ W = m ⋅ϕ
m
F = −∇W
(9.13)
m ⋅ E = −∇(mϕ )
Напряженность поля равна градиенту
потенциала, взятому с обратным знаком
E = −∇ϕ
Если изменение происходит вдоль r, то формула (9.14) будет иметь вид
• Первая космическая скорость
E=−
(9.14)
dϕ
(9.15)
dr
это минимальная скорость, которую надо сообщить телу,
чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите,
т.е. превратиться в искусственный спутник Земли
Находится она из уравнения движения спутника по круговой
(околоземной) орбите под действием силы тяготения с
нормальным ускорением
mV12
= mg
Rз
→
V1 =
V1 ~ 8км/c
gR з
Впервые V1 рассчитал Ньютон,
однако практическая
космонавтика началась в 1957г.,
когда был запущен первый
спутник
ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ
НАУЧНО– ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСКУССТВЕННЫЕ
СПУТНИКИ ЗЕМЛИ СЛУЖАТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ЗЕМЛИ ,
НЕБЕСНЫХ ТЕЛ, КОСМИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
ПРИКЛАДНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ -ЭТО СПУТНИКИ СВЯЗИ, НАВИГАЦИОННЫЕ
СПУТНИКИ,МЕТЕОРОЛОГИЧЕКИЕ СПУТНИКИ
ПИЛОТИРУЕМЫЕ КОРАБЛИ СПУТНИКИ ИМЕЮТ
СПУСКАЕМЫЕ АППАРАТЫ ДЛЯ ВОЗВРАЩЕНИЯ НА
ЗЕМЛЮ ЭКИПАЖА , ОТДЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ ,
ПОДОПЫТНЫХ ЖИВОТНЫХ
ПРОТОН – 4
ВОСТОК
ПИЛОТИРУЕМЫЕ КОРАБЛИ – СПУТНИКИ И
ОРБИТАЛЬНЫЕ СТАНЦИИ ЯВЛЯЮТСЯ НАИБОЛЕЕ
СЛОЖНЫМИ И СОВЕРШЕННЫМИ ИСЗ
СТАЦИОНАРНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ
ЗЕМЛИ - ЭТО СПУТНИКИ НЕПОДВИЖНО ВИСЯЩИЕ НАД
ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ТОЧКАМИ ЗЕМНОГО ЭКВАТОРА
Высота определяется тем , что период обращения спутника
должен совпадать с периодом собственного вращения земли
h=35900км -- высота
стационарных искусственных спутников земли
салют
Вывод ИСЗ на орбиту
Производится с помощью автоматических
управляемых многоступенчатых ракет- носителей
Расчетная скорость равна первой космической
скоростиV1= 8км/сек или превышает её не более чем в 1,4
раза.
Действие сопротивления земной атмосферы, сжатие земли, давление
солнечного излучения, притяжения Луны и Солнца – причины
отклонений от расчетной орбиты
Из-за сопротивления атмосферы ИСЗ постепенно снижаются и попав в
верхние слои атмосферы на высоте 120-130км и ниже, разрушаются и
сгорают. Поэтому ИСЗ имеют ограниченные сроки существования.
• Вторая космическая скорость
это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы
покинуть область земного притяжения и превратиться в спутник Солнца
Для того, чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть
земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его
кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения
mV 22
=
2
∞
∫G
Rз
или с учетом
mM
1
dr
=
−
GmM
r
r2
g =G
M
R з2
∞
Rз
получим
=G
mM
→ V2 =
Rз
2GM
Rз
V2 = 2 gR з ≈ 11,2 км
с
• Третья космическая скорость
Это скорость необходимая телу, чтобы покинуть пределы Солнечной системы
V3 = 42,1 км
с