Динамический хаос В.П. Крайнов кафедра теоретической физики МФТИ

19 октября 2005 г.
Динамический хаос
В.П. Крайнов
кафедра теоретической физики
МФТИ
Содержание
• Обычный хаос: броуновское движение
пылинки в воздухе
• Движение пылинки под действием
стоячей звуковой волны в резонаторе
• Разреженный газ в сосуде со стенкой,
дрожащей с высокой частотой
• Маятник Капицы в стохастическом
режиме
1. Обычный хаос:
броуновское движение пылинки в воздухе
du x
m
 ku x  F (t )
dt
k – коэффициент трения от сопротивления воздуха,
F(t) – хаотическая сила от ударов быстрых молекул,
ux – скорость пылинки вдоль оси X направления удара
F (t )  0;
F (t ) F (t ')  F 2 t (t  t ').
t – время корреляции (продолжительность одного удара)
Аналитическое решение:
t
1
ux (t )   exp  k (t  t ') F (t ')dt '
m0
Средние значения:
u x (t )  0;
t
t
1
2
u x (t )  2  dt ' dt "exp  2kt  k  t ' t "  F  t '  F  t " ;
m 0 0
2
F
t
2
1  exp  2kt   .
u x (t ) 
2 
2km
Пределы
Малые времена kt << 1:
ux2 (t )  2 D  t;
F 2 t
D
;
2
2m
D – коэффициент диффузии
Большие времена kt >> 1:
2
F
t
2
u x ( ) 
 const
2
2km
- стационарное броуновское движение
2. Движение пылинки под действием
стоячей звуковой волны в резонаторе
Возбуждение продольного звука в резонаторе
резонатор
Пылинка движется из-за давления
звуковой волны вдоль оси X
x
Частота волны

Волновое число
k
Система единиц:
m=k==1
Уравнение Ньютона:
2
d x

F

cos
x

sin
t
;
2
dt
x(t  0)  0;
dx
(t  0)  0.
dt
F – безразмерная амплитуда силы давления звука
400
F = 0.5
300
.
x( t )
200
(в единицах длины волны)
100
0
100
200
300
t
400
(в периодах волны)
500
40
F = 20
20
0
x( t )
100
200
300
20
40
60
80
t
400
.
500
F = 200
50
0
100
200
300
x( t )
50
100
t
400
.
500
F = 2000
100
0
100
200
300
500
.
100
x( t )
400
200
300
400
500
t
3. Разреженный газ в сосуде со стенкой,
дрожащей с высокой частотой
tn 1
2L
 tn 
un 1
un
Нет столкновений молекул
друг с другом
V (t )  V0 sin t
un+1
L  a 
un1  un  2V0 sin tn
2a
L
V0

Отображение Пуанкаре
un 1  un  2V0 sin n ;
  t ;
2 L
n 1  n 
un 1
mod(2 ).
Возникновение динамического хаоса
n 1  n   n  n 1 

K
n  n1 
- Коэффициент растяжения фазы;
K < 1 – регулярное движение
K > 1 – хаотическое движение
Для примера газа в объеме с колеблющейся стенкой:
2 LV0
K
un2
Диффузия скорости молекулы
u
2
  un1  un 
2L
t 
u
2
 4V02 sin 2 n  2V02
u 2  D(u )  t ;
V02
D(u ) 
u
L
D – нелинейный коэффициент диффузии
V02
u (t )  u0 
t;
2L
K 1
umax  2 LV0  V0
Время диффузионного набора скорости молекулы (нагрева газа)
1  2 L 
tD  

  V0 
3/ 2
1/ 2
2L
1  2 L 

 

umax   V0 

1

t > tD – регулярное движение с прекращением набора скорости (K < 1)
2L
dt 
;
u
du  2V0 sin t ;
du V0u

sin t ;
dt
L
 V0

u (t )  umax exp  
cos t 
 L

4. Маятник Капицы
в стохастическом режиме
Уравнение Ньютона в неустойчивом режиме:
a  L
d 2
mL 2  mg sin   ma 2 sin  cos t
dt
  0
0  g / L

L
a cos t
0 L 2  a
Умножаем на d/dt и интегрируем по времени,
получаем изменение энергии маятника

d
E  MaL  sin  cos t 
dt
dt

2
верхнее
положение
маятника
устойчиво
к малым
колебаниям!
20t
d

dt cosh 0t 
0 L 2  a
E   MgL
Изменение энергии за одно колебание
экспоненциально мало:
E  En 1  En  F sin tn ;
  
F
exp  
;
2
0
 20 
1
32 MgL
tn 1  tn 
ln
.
0 | En 1  MgL |
4 MaL
4
∙
0
tn
Отображение Пуанкаре
En 1  En  F sin n ;

32MgL
 n 1  n  ln
;
0 | En 1  MgL |
 n  t n
Условие стохастического режима для коэффициента растяжения фазы:
K
F
0 | En 1  MgL |
 1.
Диффузия энергии маятника
(E ) 2  2 D  t ;
F 20
D
.
32MgL
4 ln
| E  MgL |
Вывод: в окрестности верхней точки неустойчивого равновесия
с течением времени маятник Капицы медленно уходит от нее
(по диффузионному закону, а не равномерно!)
либо в сторону колебаний, либо вращений – в зависимости от
начального значения энергии E < MgL или E > MgL.
Заключение
• Для реализации динамического хаоса
при классическом движении свободной
или связанной в потенциале частицы
под действием периодического
возмущения необходимы два условия:
• 1. Суммарная сила, действующая на
частицу, должна быть нелинейной
• 2. Амплитуда возмущения должна быть
достаточно сильной