Ну что, давайте начнем?! Подготовил: Младенцев Вячеслав Сергеевич ученик 11
advertisement
Подготовил: Младенцев Вячеслав Сергеевич ученик 114 класса. Ну что, давайте начнем?! Цель создания электронного учебника: Систематизировать знания по теме «Тела вращения. Шар.» и показать на ряде вопросов и задач использование этой темы на практике. Содержание Содержание Что такое шар? Сечение шара плоскостью(Теорема 1) Симметрия шара(Теорема 2) Касательная плоскость к шаром(Теорема 3) Примеры задач и их решение Тест О том, кто все это сделал… Что такое шар? Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все те точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Содержание Пример шара Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. ШАР Центр шара Радиус шара Назад R Шаровая поверхность или сфера Диаметр Сечение шара плоскостью Теорема 1 Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Доказательство Содержание Доказательство 1 Пусть α – секущая плоскость и О – центр шара.(рисунок 1) Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α и обозначим через О’ основание этого перпендикуляра. Пусть х – произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α. По теореме Пифагора ОХ2=ОО’2+О’Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О’Х≤ √R2-ОО’2, т.е. любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки О’ и радиусом √R2-ОО’2. Теорема доказана. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,(рисунок 2) а сечение сферы – большой окружностью. Назад Рисунок 1 Рисунок 2 Симметрия шара Теорема 2 Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. Доказательство Содержание Доказательство 2 Пусть α – диаметральная плоскость и Х – произвольная точка шара. Построим точку Х’, симметричную точке Х относительно плоскости α. Плоскость α перпендикулярна отрезку ХХ’ и пересекается с ним в его середине(в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ’ следует, что ОХ’=ОХ. Так как ОХ ≤ R, то и ОХ’ ≤ R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано. Пусть теперь Х’’ – точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ’’= ОХ ≤ R, т.е. точка Х’’ принадлежит шару. Теорема доказана полностью. Назад Касательная плоскость к шару Теорема 3 Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания. Доказательство Содержание Доказательство 3 Пусть α – плоскость, касательная к шару, и А – точка касания(рисунок 1). Возьмем произвольную точку Х плоскости α, отличную от А. Так как ОА – перпендикуляр, а ОХ – наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана. Рисунок 1 Назад •Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания(рисунок 2). •Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку – точку касания. Рисунок 2 Примеры задач •Задача №1 Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведенного на расстоянии 9 см от центра. •Задача №2 Найдите радиус шара, если в сечение шара вписан треугольник, стороны которого равны 40, 40 и 48. Расстояние от центра шара до центра сечения равно 5. •Задача №3 Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Содержание Задача №1 Назад Дано: ОВ = 41см ОА = 9см Найти: Sсеч. Решение: Sсеч. = ∏R2 Рассмотрим ∆ОАВ; По теореме Пифагора: ВА = √ОВ2 - √ОА2 = √412 – √92 =40см т.к. ВА является радиусом искомого сечения, следовательно S = ∏ * (ВА)2 = 1600∏ см2 Ответ: S = 1600∏ см2 Задача №2 В О’ r К С А О Назад Дано: АВ = ВС = 40 АС = 48 ОО’ = 5 Найти: ОС = R Решение: 1) r = (АВ*ВС*АС)/(4*S);S = AC*h/2 ∆АВС – равнобедренный, т.к. АВ=ВС h = √402 - √242 = √1024 = 32 S = 48*32/2 = 768 2)r = (40*40*48)/(4*768) = 25 3)R = √25 + √625 = √650 = 5√26 Ответ: 5√26 Задача №3 Решение: Пусть А,В,С – точки касания шара со сторонами треугольника. Опустим из центра О шара перпендикуляр ОО1 на плоскость треугольника. Отрезки ОА,ОВ и ОС перпендикулярны сторонам. По теореме о трех перпендикулярах отрезки О1А,О1В и О1С тоже перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Из равенства прямоугольных треугольников ОО1А, ОО1В,ОО1С (у них катет общий, а гипотенузы равны радиусу) следует равенство сторон: О1А = = О1В = О1С. Следовательно, О1 – центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой окружности, как мы знаем, равен а√3/6. По теореме Пифагора находим искомое расстояние. Оно равно √ОА2 √О1А2 = √R2 - √а2/12 Назад Тест И так, начнем! Выберите тему: Шар и его составляющие Сечение шара плоскостью Касательная плоскость к шару Содержание Шар – это… …тело, которое состоит из всех точек пространства …граница сферы …тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки Что называется диаметром шара? Отрезок, просто отрезок Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара Отрезок, проходящий через центр шара Какая прямая называется касательной к шару? Прямая, которая касается шара Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания Прямая в касательной плоскости шара Что такое большой круг? Сечение шара диаметральной плоскостью Сечение шара Сечение сферы К началу Еще вопрос? К началу К началу Еще раз!
