Олимпиадные задачи 8 класс

Олимпиадные задачи
8 класс
Задача 1
Радистка Кэт передавала шифровку с помощью кода Морзе,
причѐм она использовала только несколько букв:
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
Во время сеанса связи Кэт очень спешила, поэтому не делала
пауз между кодами отдельных букв. Кроме того, первый
сигнал при приѐме был потерян (неизвестно, точка это или
тире). В результате принята такая последовательность:
…. _ … _ _ . _ _ .
Помогите восстановить сообщение, которое передала Кэт.
Задача 1 Решение
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
?…. _ … _ _ . _ _ .
Начинаем с конца. «_ .» заканчивается только буква Н
Задача 1 Решение
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
?…. _ … _ _ . _ Н
Продолжаем двигаться с конца. Перед Н может быть только А
Задача 1 Решение
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
?…. _ … _ _ А Н
Продолжаем двигаться с конца. На _ _ оканчивается только В
Задача 1 Решение
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
?…. _ .. В А Н
Продолжаем двигаться с конца. На « . . » оканчивается только Д
Задача 1 Решение
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
?…. Д В А Н
Продолжаем двигаться с конца. «. . . » имеет только С
Задача 1 Решение
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
?. С Д В А Н
Два символа и последняя точка – это Н
Задача 2 Ответ
А ._
В ._ _
Д _..
Н _.
С…
НСДВАН
Задача № 2
Вася очень любит играть в числа... Вот и сегодня он
прямо с утра занят тем, что меняет последнюю и
предпоследнюю цифру числа местами. Он уже
проделал эту операцию с некоторыми числами и
заметил, что бывают числа, которые до изменения не
были палиндромами, а после изменения - стали.
Скажите, сколько таких чисел на диапазоне от 100 до
300?
• Примечание: Палиндромом называется число,
которое слева направо и справа налево читается
одинаково. (Например, 101)
Задача № 2. Решение
Во – первых это числа трёхзначные.
После замены чисел получилось XYX,
значит было XXY. Заметим, что XXX не
подходит, т.к. тогда число изначально
было бы полиномом. 100 < XXY < 300,
тогда X может быть только 1 или 2.
Каждому из этих значений X может быть
по 10 значений Y. Ответ: 2×10=20
Задача № 3
Коля собрал логическую схему, которая управляется тремя
переключателями. Каждый из них может находиться в двух различных
положениях — 0 и 1. Чтобы проверить, что схема правильно работает в
каждом из возможных состояний, Коля собирается перебрать все
возможные положения переключателей. Чтобы тестирование занимало
меньше времени, Коля хотел бы, поставив переключатели в начальное
положение "000", перещелкивать каждый раз только один
переключатель и получать новое состояние, которое он раньше еще не
тестировал.
Выпишите последовательность состояний, которую может использовать
Коля. Подчеркивайте каждый раз положение того переключателя,
который нужно перещелкнуть.
Пример начала ответа: 000
• 100
• …
• З
Задача 3. Ответ
000
100
110 Пытаемся пройти все значения с одним включ. переключателем
010
011
001 значение 011 уже было
101 прошли все значения с одним «0»
111
Задача № 4
В стране эльфов есть несколько поседений, между которыми
нет дорог. Жители страны договорились построить дороги.
На карте показаны расстояния между поселениями, которые
можно соединить дорогой. С целью экономии бюджета,
дороги будут построены не все. Какова минимальная
суммарная длина дорог, необходимых для того, чтобы от
каждого поселения можно было посетить все поселения?
Задача № 4. Решение
Удобно решать
задачу в виде
таблицы
A B C
A
5
B 5
8
C
8
D 6 7
E 4
F
G
H
I
D
6
7
E
4
F
10
10
H
8
10
9
I
9
9
8
10 9
G
11
11
10
12
10
12
Задача № 4. Решение
В треугольнике ADE дуга ED явно проигрыш, т.к. без неё
попасть из D в E будет не хуже, а остальные пути лучше
A
A
B
B
C
5
5
C
8
D
E
6
4
6
E
4
H
I
7
10
7
10
10
F
8
8
10
9
9
9
G
I
G
8
D
H
F
11
11
10
9
12
10
12
Задача № 4. Решение
Теперь очевидно, что добираться до E лучше
через A, а тогда до F через E
A
A
B
B
C
5
5
C
8
D
E
6
4
6
E
4
H
I
7
10
7
10
10
F
8
8
10
9
9
9
G
I
G
8
D
H
F
11
11
10
9
12
10
12
Задача № 4. Решение
В треугольнике ABD видно, что две дуги из 3х
следует оставить, а тогда явно лишняя BD
A
A
B
B
C
5
5
C
8
D
E
6
4
6
E
4
H
I
7
10
7
10
10
F
8
8
10
9
9
9
G
I
G
8
D
H
F
11
11
10
9
12
10
12
Задача № 4. Решение
До G явно ближе из D
A
A
B
B
C
5
5
C
8
D
E
6
4
6
E
4
H
I
7
10
7
10
10
F
8
8
10
9
9
9
G
I
G
8
D
H
F
11
11
10
9
12
10
12
Задача № 4. Решение
Тогда путь в I становится очевидным
A
A
B
B
C
5
5
C
8
D
E
6
4
6
E
4
H
I
7
10
7
10
10
F
8
8
10
9
9
9
G
I
G
8
D
H
F
11
11
10
9
12
10
12
Задача № 4. Решение
В оставшемся 4х-угольнике DBCH одна лишняя
дорога, естественно самая длинная.
A
A
B
B
C
5
5
C
8
D
E
6
4
6
E
4
H
I
7
10
7
10
10
F
8
8
10
9
9
9
G
I
G
8
D
H
F
11
11
10
9
12
10
12
Задача № 5
Когда один уважаемый профессор нес три необычных
шара на верхний этаж института, один шар упал с
последнего, 11-го этажа, и разбился. Профессор
захотел определить самый высокий этаж, при
падении с которого такие шары не разбиваются. Он
может уронить шар с любого этажа и подобрать его,
если он цел. При падении с первого этажа шары
точно не разбиваются.
Может ли профессор, используя два оставшихся у него
шара, решить эту задачу за четыре испытания (во
время которых все шары могут быть разбиты).
Задача 5 Решение
Очевидно, что надо начинать с какого-то среднего
этажа. Это 5 или 6. Возьмём больший – 6. Для нас
более проблемный вариант, когда шар разбился (у
нас меньше шаров для испытания). Тогда под
вопросом этажи 2, 3, 4 и 5 и надо проверять с
нижнего так как если мы разобьём последний шар то
испытывать будет нечего. Но у нас 4 этажа и 3
испытания – не хватает. Перескакивать нельзя,
например если мы проверили 2 этаж - не разбился,
бросаем с 4-го – разбился, результат броска с 3-го
этажа остаётся тайной.
Задача 5 Решение
Тогда мы понимаем, что начинать нельзя
ни с шестого этажа, ни с того, что выше,
т.к. в случае, если шар разбился ниже
остаётся более 3х этажей для 3х
испытаний и 1 шара.
Задача 5 Решение
Попробуем бросить шар с пятого этажа.
Если он разбился, то остались 2, 3 и 4
этажи – 3 этажа, 3 испытания.
Проверяем последовательно: второй,
третий и четвёртый (если шар доживёт).
Задача 5 Решение
Если шар не разбился при падении с 5го
этажа у нас осталось 3 испытания, 2
шара и этажи: 6, 7, 8, 9 и 10. Понимаем
что после броска с одного из них у нас
будет 2 испытания и, если шар
разобьётся – 1 шар. Тогда ниже этого
этажа должно быть 2 этажа. Значит
бросаем с 8го. Если шар разбился
бросаем с 6го и если шар цел – с 7го.
Задача 5 Решение
Если после броска с 8го этажа шар не
разбился, то осталось 2 шара, 2
испытания, 3 этажа: 9, 10, 11.
Бросаем с 10го. Если шар разбился –
проверяем 9 этаж
Задача 5. Схема
1).Бросаем с 5го
Да
Нет
разбился
2)Бросаем с 8го
2)Бросаем со 2го
Да
разбился
Ответ: 1
Нет
Нет
3)Бросаем с 3го
Да
разбился
3)Бросаем с 10го
Нет
Нет
разбился
Да
4)Бросаем с 4го
Нет
разбился
Ответ: 5
Да
Да
разбился
Нет
Нет
4)Бросаем с 9го
Ответ: 6
Ответ: 3
Нет
Ответ 4
3)Бросаем с 6го
Да
разбился
4)Бросаем с 7го
разбился
Ответ: 2
Да
Ответ: 11
разбился
Ответ: 9
Да
Ответ: 8
Ответ: 7
Задача № 6
A. Эксперт предоставляет судье 8 одинаковых по
внешнему виду монет. Судья знает, что половина из
них весит по 3 г., а остальные по 4 г. Как эксперт
может за одно взвешивание доказать судье вес
каждой из монет?
B. Судья знает, что среди 100 монет есть ровно 2
фальшивых, их веса равны и отличаются от
настоящих. Эксперт знает, какие именно монеты
фальшивы и в какую сторону их вес отличается от
настоящих. Как ему за два взвешивания убедить в
этой информации судью?
Решение 6
Обратим внимание, что в данных задачах не требуется
найти нужные монеты, эксперт знает где какие. В
задаче А надо взять, например, все 4 лёгкие и
взвесить. Судья увидит что их вес 12 г. По условию
задачи из этого следует, что вес каждой по 3г, значит
оставшиеся 4 монеты имеют вес по 4г.
В задаче B надо сначала положить на весы 2
фальшивые монеты. Весы будут в равновесии. Этим
мы доказали, что обе эти монеты или фальшивые
или настоящие. Заменяем одну из монет любой из
оставшихся 98 на выбор судьи и доказываем, что
наши первоначально взятые монеты фальшивые.