Ларионов В.В.
advertisement
Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Ларионов В.В. Тема: КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА Ларионов В.В. Введение 1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона 2. Второй закон Ньютона. Основные понятия 3. Третий закон Ньютона Глава 2. Динамические принципы механики. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 2.1. Введение Динамика (от греческого dynamis сила) – раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе классической динамики лежат законы Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики. Как и другие принципы, лежащие в основе физики, они являются обобщением опытных фактов. Законы классической динамики имеют огромную область применения от описания движения микроскопических частиц в модели идеального газа до поведения гигантских тел во Вселенной. Открытие, применение и осознание этих законов определяют технических прогресс человечества на протяжении уже более трех веков. 2.2. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона Для описания механических явлений надо выбрать систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, в общем случае, различный вид. Однако всегда можно найти такую систему отсчета, в которой законы механики имеют наиболее простой вид. Это система отсчета с однородным и изотропным пространством и однородным временем. Такая система отсчета называется инерциальной. В инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение оставляет содержание первого закона Ньютона закона инерции. Из абсолютности времени и принципа относительности Галилея следует, что в классической механике взаимодействие между телами распространяется мгновенно. Если бы взаимодействие было бы не "мгновенным", то в силу принципа Галилея и однородности времени скорость распространения фундаментальных взаимодействий была бы различна в разных инерциальных системах отсчета. Это привело бы к различию законов движения тел в разных инерциальных системах отсчета. Из первого закона следует важный физический принцип: существование инерциальной системы отсчета! Смысл первого закона состоит в том, что если на тело не действуют внешние силы, то существует система отсчета, в которой оно покоится. Но если в одной системе тело покоится, то существует множество других систем отсчета, в которых тело движется с постоянной скоростью. 2.3. Второй закон Ньютона. Основные понятия Второй закон Ньютона количественно определяет, как изменяется состояние движения тела под действием внешних сил. Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую состояние движения тела. Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Мера инертности тела называется массой. Неизвестную массу m можно сравнить с данной стандартной массой m0, поместив между ними небольшую сжатую пружину). Отпустив пружину, мы заставим первоначально покоившиеся массы разлететься в противоположные стороны со скоростями v и v0 соответственно. При этом количественно неизвестную массу m можно определить следующим образом: m = m0v0/v (определение инертной массы). Импульс или количество движения материальной точки является вектор, равный произведению массы точки на ее скорость: p = mv. Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит. Для системы из двух материальных точек p = p1 + p2 = m1v1 + m2v2. В инерциальной системе отсчета изменение импульса p материальной точки со временем представляется уравнением p = dp/dt = d(mv)//dt = F(r,V). Для медленных движений, пропорционален скорости: когда mv = F(r,V), импульс Величина F(r,V), равная скорости изменения импульса во времени, называется силой, действующей на рассматриваемую материальную точку Очевидно, сила F есть вектор, поскольку она равна производной вектора p по времени. Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения – уравнениями движения материальной точки. 2 закон Ньютона в обобщенном виде Записывается следующим образом: N dp Fi ( r , v ) dt i 1 где справа векторная сумма всех действующих на тело (частицу) сил. Или dp d (mv ) N Fi (r , v ) dt dt i 1 Или с учетом зависимости массы от скорости m m0 v 1 c 2 2 При движении с малыми скоростями (классическая механика) v<<c и dm/dv = 0. При движении со скоростями сравнимыми со скоростью света dm/dv ≠0. Замечание. Если положить, что энергия в замкнутой (консервативной) системе сохраняется, то: d N Ei, j U i, j 0 dt i , j 1 i j Из этого уравнения вытекает 2-ой закон Ньютона. Этот пример показывает вариативность подходов к решению физических проблем. Закон сохранения энергии – следствие однородности времени. Во второй закон Ньютона входит результирующая сила, т.е. векторная сумма всех сил, действующих на данное тело. Это положение очень существенно, и оно имеет дополнительное физическое содержание, которое можно проверить экспериментально. Соотношение ma = F(r,V)рез предполагает аддитивность масс и векторный закон сложения сил. Аддитивность масс означает, что если соединить вместе два тела с массами mA и mB, то масса такого тела будет равна m = mA + mB. Виды сил и движений Рассмотрим более подробно функцию F(r,V). Причем у величин r ,V могут быть разные степени от 1 до n. Например, сила гравитации, сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими телами, а сила трения пропорциональна скорости V. Сила упругости пропорциональна растяжению пружины (в рамках закона Гука). Поэтому уравнения движения могут иметь разнообразный вид и в зависимости от этого получают разные виды движения. Например в гравитационном или кулоновском поле уравнение имеет вид: d r dp mmc m 2 G 3 r dt dt r 2 В случае взаимодействия заряженных частиц правая часть уравнения – это сила Кулона и вместо масс m, m1 записываем заряды q1 ,q2 . Далее замечаем следующее. r Функцию запишем таким r3 образом: r xi yj zk 3 r r3 Если взять производную выражение: d 1 d ( ) dx r dx 1 x2 y2 z2 d 1 ( ) dx r , то получим 2x 2( x 2 y 2 z 2 ) x 2 y 2 z 2 x r3 Аналогичные производные найдем по координатам y ,z, и умножим каждое слагаемое на орты i, j, k. В результате получаем формулы (1): d i xi ( ) 3 dx r r d j yj ( ) 3 dy r r d k zk ( ) 3 dz r r Например, для двух зарядов q1,q2 (2), d r dp q1q2 m 2 F Fx i Fy j Fz k 3 r dt dt r 2 q1q2 q1q2 3 r 3 ( xi yj zk ) r r Формулы (1) сложим, предварительно умножив на одну и ту же величину q1q2 x d q1q2 ( )i 3 i dx r r q1q2 y d q1q2 ( ) j 3 j dy r r q1q2 z d q1q2 ( )k 3 k dz r r Справа – сила, например, для z и аналогично для других координат: q1q2 z d q1q2 d ( )k 3 k Fz (U ) dz r dz r В скобках слева стоит функция U. Из курса средней школы знаем, что это не что иное как потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов. q1q 2 U r Полученное соотношение q1q 2 q1q 2 z d d ( )k k Fz (U ) 3 dz r dz r носит название «Связь между силой и потенциальной энергией». Таким образом, чтобы найти силу, действующую на частицу в потенциальном поле необходимо продифференцировать по координате формулу для потенциальной энергии и приписать знак «минус». d d Fx (U ) dx d Fy (U ) dy Fz (U ) dz Понятие градиента Для краткости и общности вводится понятие градиента. По определению это вектор, равный по величине скорости изменения функции и направленный в сторону ее наибольшего возрастания. dU dU dU gradU i j k dx dy dz gradU F Или для нашего случая r d 1 d 1 d 1 ( )i ( ) j ( )k )) 3 r dx r dy r dz r Как изменяется характер движения при изменении функции F(r,v) Если сила постоянная, то имеем ускоренное движение, параметры которого определяем, решая обратную задачу кинематики, когда ускорение a равно F/m или a=dV/dt. Отсюда dV=(F/m)dt, m = const. Интегрируя это уравнение, находим скорость, при последующем интегрировании находим координаты x,y,z соответственно,т.е. траекторию движения (прямая, парабола и т.д). Если сила пропорциональна смещению (например, сила упругости), то получаем колебательное движение. Рассмотрим частный случай одномерного движения, которое происходит под действием квазиупругой силы F= -kx, где х – изменение длины пружины (r=x). Уравнение движения имеет следующий вид: mx kx С учетом сил трения Fтр = - r V, где x V mx kx rx ressort 2.swf Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, однородное. k 2 x x x 0 x 0 m Его решение известно из курса средней школы и имеет вид (это уравнение колебательного движения): x A cos(0t ) А- амплитуда колебаний, ω0 - циклическая частота, φ-начальная фаза. Фазовый портрет гармонических колебаний Фазовый портрет при наличии затухания Если сила нелинейно зависит от х, движение становится нелинейным Например, F kx 2 vdpPhase[1].swf Нелинейным может быть сопротивление, сила трения R R0 (1 t t t .....) 2 3 Примеры нелинейных функций Графики для сил F F F kx2 F kx x x Примеры возникновения сил Ress_bif.swf F kx3 Фазовый портрет нелинейных колебаний 2.4. Третий закон Ньютона Третий закон динамики Ньютон сформулировал так: “Действию всегда есть равное и противоположное противодействие; иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны”. Этот закон говорит откуда возникает сила во 2-ом законе. Третий закон утверждает: если тело 1 действует на тело 2 с силой F12, то в свою очередь тело 1 обязательно действует на тело 2 с силой F21, равной по величине и противоположной по знаку силе F ; обе силы направлены вдоль одной прямой. Третий закон отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия двух различных тел. 12 Третий закон ничего не говорит о величине сил, а только о том, что они равны. Здесь очень важно отметить, что в третьем законе идет речь о силах, приложенных к различным телам. Закон сохранения импульса Если 3-ий закон Ньютона постулировать, то из него, как следствие, можно получить закон сохранения импульса. Если постулировать однородность пространства, то получим закон сохранения импульса. Пусть имеем замкнутую систему тел 1 и 2. F12 1 F21 2 Запишем третий закон Ньютона. F1 F2 С учетом 2-го закона, имеем: dp1 d p 2 F1 F2 dt dt Тогда: dp1 dp2 0 dt dt Или d ( p1 p2 ) 0 dt Т.е. после интегрирования, получаем: ( p1 p2 ) const 0 В замкнутой системе двух тел их импульс есть величина постоянная. ' ' '' '' p1 p2 p1 p2 p1 p2 const Этот результат может быть распространен на любое число N тел N i 1 pi const 0 Суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых процессах, происходящих в этой системе. Не следует думать, что этот закон требует неизменности импульса каждого тела, входящего в систему. Как раз, наоборот, благодаря действию внутренних сил импульсы тел, входящих в систему, все время меняются. Сохраняется лишь векторная сумма ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ТЕЛ Принято силы, с которыми взаимодействуют между собой составные части системы, называть внутренними силами. Внешними, называются силы, с которыми вся система или отдельные тела, входящие в ее состав, взаимодействуют с окружающими телами. Система тел называется замкнутой (или изолированной), если можно m22 m11 const Или mN N .... m11 const При выводе закона сохранения импульса мы пользовались только законами Ньютона, причем в форме, которая справедлива как в релятивистской механике, так и в ньютоновской механике. Следовательно, закон сохранения импульса применим как в ньютоновской, так и в релятивистской механике т.е при v сравнимых с скоростью света c., когда следует учитывать Лекция продолжается Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Во всех инерциальных системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея. Координаты и одной и той же точки в разных системах отсчета K1 и K2, из которых K1 движется относительно K2 со скоростью v, связаны друг с другом соотношением r2 = r1 + vt Подразумевается, что время течет одинаково в K1 и K2: t1 = t2 = t. Представление об абсолютном времени лежит в основе классический механики. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений механики по преобразованиям Галилея: t1 = t2 = t, r2 = r1 + vt. отношению к
