АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ Урок - турнир
advertisement
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ Урок - турнир МОУ Могочинская СОШ учитель математики Тарасенко Ирина Валерьевна Цели • обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме; • отработка умений и навыков применения формул n-го члена прогрессии, суммы n первых членов, свойств членов прогрессии; • развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом; • воспитание эстетических качеств и умения общаться. Задачи • повторить формулы, относящиеся к теме «Прогрессии»; • расширить кругозор по данной теме; • показать связь математики с другими дисциплинами (литературой, биологией, экономикой…); • формирование интереса к изучению математики. Содержание • Лови ошибку! – вспомним теорию. • • • • • • Прогрессии в литературе. Назад, в историю! Прогрессии в древности. Прогрессии в жизни и быту. Блиц-турнир. Заключение. Лови ошибку! Прогрессии Арифметическая a Геометрическая b Определение bn b1 g n 1 bn bn 1bn 1 Формула n первых членов прогрессии a n 1 an 1 an 2 an a1 d (n 1) Сумма n первых членов прогрессии Sn Свойства an1 a1 d (n 1) 2a1 d (n 1) n 2 b1 ( g n 1) Sn g 1 bn1 bn g Проверь себя! Прогрессии Арифметическая a Геометрическая b Определение an1 a n d bn1 bn g Формула n первых членов прогрессии an a1 d (n 1) bn b1 g n 1 Сумма n первых членов прогрессии 2a1 d (n 1) Sn n 2 b1 ( g n 1) Sn g 1 a n1 an1 an 2 bn bn 1bn 1 Свойства Вывод Зная эти формулы, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Прогрессии в литературе Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина". ...Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить... Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... Примеры Ямб «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...» Прогрессия: 2; 4; 6; 8... Хорей «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак Прогрессия: 1; 3 ;5; 7... НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Понятие числовой последо вательности возникло и развивалось задолго до соз дания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э) Прогрессии в древности Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Древний Египет Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы: n(n 1) 1 2 3 ...... n 2 2 4 6 ...... 2n n(n 1) Древний Египет Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его 1 соседом равна 8 меры» Формула, которой пользовались египтяне: S d ab a (n 1) S n n 2 2 Англия XVIII век В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: Арифметическая Геометрическая Германия Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы. КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855) Решение 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950 Прогрессии в жизни и быту Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий. Задача легенда Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться? Решение задачи - легенды Дано ; 1, 2, 4, 8, 16… b1 1, g 2, n = 64 S 64 ? S 64 2 1 64 Ее сумма равна 18 446 744 073 709 551 615 Вывод Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Задача из арифметики Магницкого Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: "Если по-твоему цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“ Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. Решение задачи из арифметики Магницкого 1. Составим последовательность чисел 1 1 ; ; 1; 2; 2 2 ; 2 21. 4 2 2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, 3. Попытаемся подсчитать сумму 4. Зная формулу 5. Имеем S 24 b1 1 4 n = 24. 1 1 ; ; 1; 2; 2 2 ; 2 21. 4 2 b1q n b1 Sn q 1 1 24 1 2 4 4 1 2 24 1 2 22 1 4194303 3 42000 p 2 1 4 4 4 22 НАСЛЕДСТВО Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни? Решение a1 100; d 50; n 10 a10 ? Применив формулу a n a1 d (n 1),получаем: a10 100 50(10 1) 550$ a1 100; d 50; Применив формулу S 365 n 365; S n ? 2a1 d (n 1) Sn n 2 200 50(365 1) 365 4234000 2 БАКТЕРИИ В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут. Решение Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, n = 7. b 1 1 Зная формулу b1q n b1 Sn q 1 Получаем м 1 27 1 S7 127 2 1 Переменка Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м? Решение Составим последовательность чисел 1 1 1 1; ; ; n 1 ; 2 4 2 Sn 3 b1q b1 Зная формулу S n q 1 n n Значит 1 1 2 3 ; 1 1 2 n 1 1 Откуда 2 2 Вывод: не дойдет! Блиц-турнир Под скрип пера о лист бумаги Заполните сие листы! Да помогут вам ваши знания! Расшифруйте ответы Р Г С И П О Е Р С Я -221 -1 210 -8 -45 10 -16 -31 15 -32 Д В Н Ж Е И И Е 48 345 -32 -1 - 62 -45 12 6120 П В Е Д Е О 525 14 425 12 1210 162 Изрядно потрудившись, собрали вы слова И поиск их был вами оценен. Слова же следует теперь соединить, В какую фразу можно их объединить? Проверь себя! П Р О Г Р Е С С И Я -221 -1 210 -8 -45 10 -16 -31 15 -32 Д В И Ж Е Н И Е 48 345 -32 -1 - 62 -45 12 6120 В П Е Р Е Д 525 14 425 12 1210 162 Заключение Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля. Но математиков зовет Известный лозунг «Прогрессия — движение вперед». Домашнее задание • Подготовить выступления о жизнедеятельности К. Гаусса и Л. Ф. Магницкого. • Подобрать «исторические» задачи по теме «Прогрессии». • Составить контрольную работу по теме «Прогрессии».
