Применение Mathcad для моделирования динамических

Применение пакета Mathcad
для моделирования
кинематических процессов в
теоретической механике
Сибирский технологический университет
Лесоинженерный факультет
Кафедра Высшей математики и информатики
доцент, к.ф.-м.н., Казаков Ю.В.
Красноярск 2005
1
2
Примеры задач
• Двойной маятник
• Система грузов с пружинами
• Движение «шарика» по внутренней
поверхности параболоида
• Ссылки и литература
3
1. Двойной маятник
Пример демонстрирует возможности пакета
Mathcad
1. «автоматизация» получения Лагранжиана
для механической системы
2. аналитическое дифференцирование и
«автоматизация» получения системы ОДУ
первого порядка и вектора правой части для
метода Рунге-Кутта
3. создание анимации для отображения
динамики процесса
4
Получение Лагранжиана системы
5
Использование аналитического дифференцирования Mathcad для
получения уравнений движения
6
Вид правой части системы ОДУ.
Математическая постановка задача Коши
7
Часть Mathcad – документа для интегрирования
системы ОДУ и получение координат грузов



i0  












x  Rkadapt ( i0  0  end  N  D)
 1


x1  L1  sin x  
 1
 2






x2  L1  sin x
 L2  sin x  
 1


y1  L1  cos x  
 1 
 2






y2   L1  cos x
  L2  cos x 

2

2
0
0
kt  1  N
k  FRAME 5
8
Тестовый расчет (m1/m2=1000)
9
Координаты грузов в зависимости от
времени (стохастический режим)
10
Зависимость угла отклонения от угловой
скорости для первого и второго груза
11
2. Грузы на пружинах с внешним
воздействием
Пример демонстрирует возможности пакета Mathcad
1.
2.
3.
«автоматизация» получения системы ОДУ первого
порядка и получения вектора правой части для
метода Рунге-Кутта на основе исходной системы ОДУ
второго порядка, аналитическое получение матрицы
Якоби для расчета жестких систем ОДУ
получение амплитудно-частотной характеристики
создание анимации для отображения динамики
процесса
12
Постановка задачи
13
Уравнения движения
Аналитические выражения для
вторых производных
eq1  m1  x1''
k1  ( x1  L1)  k2  ( x2  x1  L2  )  d1  x1'
eq2  m1  x1''  m2  x2''


k1  ( x1  L1)  k3  x rc  a1  sin (   t)  x2    L3  d1  x1'  d2  x2'
 x1'' 
( x1'' x2'' )  eq solve  

x2''


 x1'' 


x2''


x1  L1
x2  x1  L2  
x1'

 k1 
 k2  d1 

m1
m1
m1

collect  k1  k2  k3 
 L2    x1  x2
x rc  a1  sin (   t)  x2    L3
x2'
 k2 
 k3  d2 

m2
m2
m2

14






Аналитическое получение ОДУ
T
V  ( x1 x1' x2 x2'  )
T
V'  ( x1' x1'' x2' x2'' 0 )
x1'


k2  x1  k1  x1  k1  L1  k2  x2  k2  L2  k2    d1  x1'




m1


x2'
V'  

 k2  x1  k2  x2  k2  L2  k2    k3  x  k3  a1  sin (   t)  k3  x2  k3    k3  L3  d2  x2' 
rc


m2




0
x1


k2  x 0  k1  x 0  k1  L1  k2  x 2  k2  L2  k2    d1  x 1


m1

x3
D ( t  x )  Rep ( V'  V  x )  

 k2  x 0  k2  x 2  k2  L2  k2    k3  x rc  k3  a1  sin  x 4  t  k3  x 2  k3    k3  L3  d2  x 3

m2

0

x1




10  x 0  5  5  x 2  .5  x 1




D(t  x) 
x3


 x 0  2  x 2  17  .5  sin  x 4  t  .1  x 3 


0


L1






0






S1 (  )  rkfixed x rc  L3    0  20  2000  D






0







15











Тестовый расчет
(равновесие при a1=0, dL(k)=-1, k=1,2,3)
16
Расчет динамической задачи
17
Получение матрицы Якоби
18
Определение частоты максимальной
амплитуды
19
Амплитудно-частотная характеристика
20
Анимация динамики процесса
21
4. Движение «шарика» по
внутренней поверхности
параболоида
• Постановка задачи
• Пример решения «дифференциальноалгебраической» системы в Mathcad
• Варианты решений
Äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ: Òðàåêòîðèÿ øàðèêà
Differential Algebraic Equations: Marble
Trajectory
Steven Finch, MathSoft Engineering & Education, Inc.
Êàçàêîâ Þ.Â.
ï åðåâîä è ìîäèôèêàöèÿ äîêóìåíòà
22
Èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü,
2
2
îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì
z x  y . Íà åå âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè
íàõîäèòñÿ ìàëåíüêèé øàðèê (òî÷å÷íàÿ ìàññà), åãî íà÷àëüíàÿ
êîîðäèíàòà ( x  y  z)  0  H  H. Îïðåäåëèòü õàðàêòåð äâèæåíèÿ è
òðàåêòîðèþ øàðèêà, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò åìó ïðèäàåòñÿ
ñêîðîñòü v â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñè Îõ.
Ëàãðàíæèàí ñèñòåìû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
L x  y  z  x'  y'  z'   
m
d2
2
:
 1  m  x'2  y'2  z'2  ( m g  z)     x2  y2  z


2

x ( t)
2  x ( t)   ( t)
y ( t)
2  y ( t)   ( t)
z( t)
m g   ( t)
dt
m
d2
2
2
x y
2
z
dt
m
d2
2
dt
Äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé ñâÿçè:
2  x  x'  2  y  y'
2
2
x  x''  x'  y  y''  y'
z'
z''
Èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ ðàâåíòñâ íàõîäèì :
 ( 0)
2
m  v  g
M S
2H  1
23
Ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, íà÷àëüíûå
äàííûå, ïàðàìåòð òî÷íîñòè, Áëîê Given-Odesolve
m  1
TOL  10
g  9.8
H  .25
8
R 
2
x ( t)  y ( t)
Given
m x'' ( t)
x ( 0)
2  x ( t)   ( t)
0
y ( 0)
z( 0)
x

y
z


v  R  2  g  k
H
H
H
m y'' ( t)
x' ( 0)
v
y' ( 0)
0
z' ( 0)
0
2
z( t)
2  y ( t)   ( t)
 ( 0)

2

m v  g
2H  1
m z'' ( t)
m g   ( t)

 x 


 

y
  Odesolve    t  end

 z 


 


  

24
k  0.39
Ãðàôèêè ïðîñòðàíñòâåíûõ êîîðäèíàò â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðè
0.5
x ( t)
0.5
y ( t)
0
0.5
0
2
4
0
0.5
6
t
0
2
4
6
t
  0.40  0.41  0.46
 
0.2
z ( t)
0.1
0
0
2
4
t
6
z   
0.4
0.0447
0.41
0.042
0.42
0.04
0.43
0.0387
0.44
0.0381
0.45
0.0382
0.46
0.039
25
2
2
F( u  v)  u  v
 x ( t) 


G ( t)   y ( t) 
 z( t) 


M  CreateMesh F   H  H   H  H
S  CreateSpace ( G  0  end  500)
M S
M S
k  0.39 v  0.863
end  6
26
Траектория движения по окружности при
v=2.214 м/сек
M S
M S
k1
v  2.214
end  6
27
Расчет скорости стационарного движения
по окружности
sin  
1
2
2  R  .25
cos   
R
2
H
tan  
2
R  R  .25
N  cos   
m   R
N  sin  
m g

2g
V
 R
R
2
R
2
2
V
R  2g
28
Ссылки и литература
1.
2.
3.
4.
http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html
http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html
http://www.exponenta.ru/forum/viewforum.asp?f=1
http://collab.mathsoft.com
1. Айзерман М .А . Классическая механика . – М .: Наука ,1974,
1980.
2. Маркеев А .П . Теоретическая механика . – М .: Наука ,1990.
3. Бухгольц Н .Н . Основной курс теоретической механики . – М .:
Наука , 1966.
4. Журавлев В .Ф . Основы теоретической механики . – М .: Наука ,
1997.
29