Вопросы к экзамену и образцы экзаменационных задач

РАЗДЕЛ I. Функции, пределы.
1. Записать на математическом языке (языке математических символов) следующие
высказывания:
а) х является элементом множества М;
б) множество А есть подмножество множества B;
в) x,y,z суть элементы множества S;
г) существует элемент x из множества M;
д) существует и единственный элемент x из множества B;
е) из V следует W (V и W – высказывания);
ж) V тогда и только тогда, когда W;
з) V эквивалентно W;
и) V неверно;
к) для любого элемента x множества M справедливо V;
л) существует элемента x множества S, для которого V истинно.
2. Записать на математическом языке (языке математических символов) следующие
определения:
а) множество X является подмножеством множества Y;
б) множество X совпадает с множеством Y;
3. Что называется геометрической прогрессией? Чему равна ее сумма (с доказательством)?
4. Что такое «n-факториал»? Как это обозначается? Как вычисляется?
Что такое «число сочетаний из n по k»? Как это обозначается? Как вычисляется?
Пояснить на примере его смысл. Записать разложение бинома.
5. В чем состоит метод математической индукции. Доказать этим методом формулу:
1
1
1
12  2 2  ...  m 2  m 3  m 2  m
3
2
6
6. Дать определение элементарной окрестности (  -окрестности) числа p , элементарной
окрестности  , элементарной окрестности   .
7. Дать определение функции. Привести основные обозначения функции. Что называется
областью определения функции и областью ее значений? Что значит «задать функцию
f»? Дать определение графика функции.
8. Дать определение композиции двух отображений (сложной функции). Перечислить
основные свойства композиции. Дать определение обратной функции. Каким
свойством обладают графики взаимно-обратных функций. Привести несколько
примеров взаимно-обратных функций.
9. Дать определение следующих классов функций:
а) монотонно-возрастающие;
б) монотонно-убывающие;
в) невозрастающие;
г) неубывающие;
д) периодические с периодом T;
е) четные;
ж) нечетные;
з) линейные;
и) полином n-ого порядка;
к) рациональные.
10. Дать определение числовой последовательности. Дать определение предела числовой
последовательности в двух формах: топологическое (через элементарную окрестность)
и арифметическое (в терминах «    »). Сформулировать теорему о единственности
предела.
11. Какая числовая последовательность называется монотонной? Ограниченной?
Сформулировать теоремы о пределе монотонной последовательности и неравенстве
пределов.
12. Сформулировать основные теоремы о вычислении пределов числовых
последовательностей:
а) о сумме пределов;
б) о произведении пределов;
в) о пределе последовательности обратных величин;
13. Чему равны следующие пределы:
lim n n ;
n
lim
nk
an
,k  N ,a  1;
n
lim n a ;
n
lim
loga n
;
n
n
lim( 1 
n 
1 n
)
n
14. Какие последовательности называются сходящимися? Расходящимися?
Сформулировать критерий Коши сходящейся последовательности.
15. Дать «    » определение непрерывности функции в точке. Непрерывности функции
на отрезке. Обозначение непрерывности функции. Привести примеры разрывных в
точке функций.
16. Сформулировать теорему об основных свойствах непрерывных функций (суммаб
разность, произведение и частное двух функций). Доказать с помощью этой теоремы
непрерывность полинома n-ого порядка на всей числовой прямой.
17. Сформулировать теорему о непрерывности композиции функций и теорему о
непрерывности обратной функции.
18. Сформулировать теорему о промежуточном значении непрерывной на отрезке
функции. Доказать с помощью этой теоремы, что полином нечетного порядка имеет
на числовой прямой по крайней мере один ноль.
19. Дать определение предела функции в двух формах: топологическое (через
элементарную окрестность) и арифметическое (в терминах «    »). Сформулировать
теорему о единственности предела. Сформулировать критерий Коши существования
предела функции.
20. Сформулировать основные теоремы о вычислении предела функции:
а) о сумме пределов;
б) о произведении пределов;
в) о пределе последовательности обратных величин;
20. Сформулировать теорему о пределе сложной функции и теорему о пределе обратной
функции.
21. Дать определение правостороннего предела функции и левостороннего предела.
Привести примеры.
22. Дать определение следующих пределов:
lim f ( x )   ;
x a
lim f ( x )   ;
xa
lim f ( x )   ;
xa 
lim f ( x )   ;
x a 
lim f ( x )  A ;
x
lim f ( x )  B ;
x
23. Если a – число, чему равен следующий результат:
a 
 ( a ) 
 
a  (  ) 
a 
(  )  (  ) 
 
(  )  (  ) 
 
(  )0 
0  (  ) 
Чему равны «замечательные» пределы:
sin( x )
lim

x 0
x
24. Дать определение сравнения двух функций типа:
 ( x )  O( f ( x )), x  X
a


a








0

0
lim1  x 1 / x 
x0

 ( x )  O( f ( x )), x  a

и сформулировать критерий для последнего сравнения.
25. Дать определение функции
f ( x )  O( x p ), x  0 , p  0

f ( x )  O( x p ), x   , p  0

Привести прримеры.
26. Дать определение сравнения двух функций типа:

 ( x )  O( f ( x )), x  a
и сформулировать соответствующий критерий.
27. Дать определение эквивалентности функций  ( x )  f ( x ), x  a и сформулировать
соответствующий критерий.
28. Дописать эквивалентные функции в следующих выражениях:
sin( x )  .........., x  0
tg( x )  .........., x  0
e x  1  .........., x  0
a x  1  .........., x  0 ; a  0
ln( 1  x )  .........., x  0
( 1  x )  .........., x  0
РАЗДЕЛ II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
29. Дать определение дифференцируемости функции в точке и ее производной в точке.
Основные
обозначения
производной.
Геометрическая
и
кинематическая
интерпретация производной.
30. Теорема Лейбница о линейном приближении. Определение дифференциала. Теорема о
связи между дифференцируемостью и непрерывностью функций.
31. Теорема о производной суммы, произведения и частного двух функций.
32. Сформулировать теоремы о производной сложной функции и обратной функции.
33. Вывести производную степенной функции y  x .
34. Вывести производную тригонометрических функций:
y  sin( x ), y  cos( x ), y  tg( x ), y  ctg( x ) .
35. Вывести производную показательной функции: y  a x ; a  0 .
36. Вывести производную логарифмической функции: y  loga ( x ); a  0 .
37. Производные старших порядков, обозначения, приложение в механике.
38. Сформулировать теоремы Ролля и Лагранжа и показать их геометрический смысл.
39. Дать определение монотонности функции на отрезке и сформулировать теорему о
признаке монотонности функции.
40. Дать определение вогнутой вниз (и вогнутой вверх) функции на отрезке. Что
называется точкой перегиба функции? Сформулировать теорему о необходимом
условии для точки перегиба.
41. Дать определение точки локального экстремума функции. Сформулировать теорему о
необходимом условии экстремума.
42. Сформулировать теоремы о достаточных условиях экстремума.
0
43. Первое правило Лопиталя – раскрытие неопределенности .
0

44. Второе правило Лопиталя – раскрытие неопределенности
.

45. Локальная аппроксимация функции полиномами. Вид полинома, совпадающего с
функцией по значению в заданной точке и значениям первых n производных.
46. Формула Тейлора для представления функции в виде полинома. Вывести формулу для
экспоненциальной функции y  e x .
47. Формула Тейлора для представления функции в виде полинома. Вывести формулу для
тригонометрических функций y  sin( x ), y  cos( x ) .
48. Формула Тейлора для представления функции в виде полинома. Вывести формулу для
функции y  ( 1  x )
49. Формула Тейлора для представления функции в виде полинома. Вывести формулу для
функции y  ln( 1  x ) .
50. Формула Тейлора для представления функции в виде полинома. Вывести формулу для
функции y  ln( 1  x ) .
РАЗДЕЛ III. Линейная алгебра и геометрия.
III.1) МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях
матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда
возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат? Как найти произведение
матрицы на число?
2) Когда возможна операция умножения матриц? Какова размерность результата умножения?
По какому правилу вычисляется элемент матрицы - результата при перемножении матриц?
Какие матрицы называются взаимно обратными?
3) У каких матриц может быть найден определитель? Как вычислить определитель второго
порядка? Что такое минор? Что является алгебраическим дополнением элемента матрицы?
Как вычисляется определитель n-го порядка Перечислите свойства определителей.
4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия
существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.
III.2) СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
5) Общий вид СЛАУ. Какая система называется однородной? Что такое решение системы?
Из чего состоят основная и расширенная матрицы системы? Что такое ранг матрицы? Каково
соотношение между числом неизвестных, числом решений и рангом системы?
Сформулировать теорему Крамера.
6) Как вычисляются неизвестные СЛАУ матричным методом? В чем заключается метод
Гаусса для решения СЛАУ? Какие преобразования матриц называются элементарными?
Какие СЛАУ являются эквивалентными?
III.3) ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
7) Дайте определение вектора. Какие векторы являются коллинеарными, а какие компланарными? Какие векторы считаются равными? Что такое линейная комбинация
системы векторов? Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов.
8) Что такое базис, ортогональный базис, ортонормированный базис? Что такое разложение
вектора по заданному базису? Какой смысл имеют коэффициенты в разложении вектора по
ортонормированному базису? Как вычислить модуль вектора, заданного координатами в
ортонормированном базисе? Как связаны между собой косинусы направляющих углов
вектора?
9) Каким законам подчиняются операции сложения и вычитания векторов? Как производятся
линейные операции над векторами, заданными разложениями в одном и том же базисе? Что
происходит при умножении вектора на число?
10) Дать определение скалярного произведения двух векторов. Какие значения могут
получиться в результате скалярного произведения? Перечислите свойства скалярного
произведения. Чему равно скалярное произведение вектора самого на себя? Как вычислить
скалярное произведение, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном
базисе? Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух
векторов. Как найти угол между векторами?
11) Какая тройка векторов считается правой (левой)? Что такое векторное произведение двух
векторов? Каков геометрический смысл модуля результата векторного произведения? Как
перемножить векторно векторы, заданные своими координатами в декартовой системе
координат? В чем состоит условие коллинеарности векторов?
12) Что такое смешанное произведение трех векторов? Каков геометрический смысл модуля
результата смешанного произведения? Как вычислить смешанное произведение трех
векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат? В чем состоит
условие компланарности трех векторов?
III.4 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
13) Написать общее уравнение прямой на плоскости и объясните смысл величин, входящих в
это уравнения. Как вычислить угол между двумя прямыми? Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
14) Написать общее уравнение плоскости. Объяснить смысл величин, входящих в это
уравнение. Как вычислить угол между плоскостями? Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
ЗАДАЧИ.
1) Вычислить предел числовых последовательностей:
2) Вычислить пределы функций:
3) Найти производную:
4) Найти вторую производную:
5) Применяя правило Лопиталя, вычислить:
6) Провести исследование и построить графики функций:
7) Даны матрицы
,
,
.
a) Какую матрицу нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу Е? б)
Найти (-3)А, A+B, в) Найти АD и DА.
8) Вычислить определитель
первого столбца.
1
9) Для матрицы B  
1

дважды: по элементам первой строки и элементам
4
 найти обратную B 1 . Чему равно произведение BB 1 ?
3 
10) Используя метод Гаусса, найти решение системы
11) Даны две точки А(1,4,-2) и В(6,-2,1). Найти координаты векторов
их длины.
12) Определить, при каких
коллинеарны.
и
векторы
и
. Вычислить
и
13) Даны векторы a  ( 1,2 ), b  ( 0 ,1 ) . Вычислить следующие скалярные произведения:
;
.
14) Векторы
и образуют угол
векторные произведения:



. Зная, что
, вычислить

1) a  b , 2) a  b  2a  b 
15) Даны точки А(1,2,0), В(3,0,-3) и С(5,2,6). Вычислить площадь треугольника АВС
(использовать векторное произведение).
16) Даны 3 точки А(1,2,0), В(3,0,-3) и С(5,2,6). Вычислить объем параллелепипеда,
построенного на ребрах ОА, ОВ и ОС (использовать смешанное произведение).
17) Даны 3 вектора а(1,2,0), в(3,0,-3) и с(5,2,к). При каком значении к эти векторы
компланарны(использовать смешанное произведение).
18) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 ( 0; - 2; 3 ) и а) ось Ох, б)
осьОy, в) ось Оz.
19) Определить угол между двумя прямыми:
20) Написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М(1,2) и
перпендикулярной прямой L, проходящей через точки А(0,1) и B(2,-1).