Формула Пика

IX школьная научно-практическая конференция «В начале славных дел…»
Секция точных наук: Математика.
Формула Пика
Исследовательская работа по математике
Выполнила: Шукалова Кристина
Алексеевна, ученица
6А класса МБОУ СШ №1
Научный руководитель : Щербакова
Татьяна Прокопьевна,
учитель математики
МБОУ СШ №1
г. Архангельск,
2016 год
1
Оглавление
1.Ведение………………………………………………………………………………. 3
2.Основная часть………………………………………………………………………. 4
2.1
Представление о Формуле Пика……………………………………. 4
2.2
Об авторе Формулы Пика……………………………….................... 4
2.3 Примеры применения формул……………………………………….. 5
2.4 Вычисления площади фигуры……………………………………….. 6
2.5 Получение дробных площадей………………………………………. 6
2.6 Рассмотрение разных многоугольников с равными
площадями……………………………………………………………… 6
2.7 Задача на вычисление площади Открытого банка заданий ЕГЭ
по математике сайта ФИПИ ………………………………………….. 7
3.Заключение…………………………………………………………………………… 8
4.Библиографический список………………...……………………............................ 9
5.Приложение……………………………………………………………...................... 10
2
Введение
На уроках математики мы учились вычислять
площадь прямоугольников,
треугольников, многоугольников разрезанием на части и достраиванием их до целых
фигур. Мне стало интересно, а можно ли находить площадь многоугольников другим
способом?
Нами были изучены литература по теме, материалы из интернет источников и
проведено исследование.
Актуальность: умение находить площадь многоугольников необходимо на уроках
математики, а также оно понадобится в будущем, в быту, знание нахождения площади
понадобится ещё последующих классах при сдаче экзаменов.
Целью нашего исследования является особенности применения нового способа
нахождения площади различных многоугольников с вершинами в узлах решетки.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

Изучить источники на бумажных носителях и в Интернете.

Провести анализ найденных материалов.

Решить задачи на нахождение площади многоугольников разными способами и
сравнить результаты.

Найти задачи по вычислению площади на клетчатой решётке на сайте ФИПИ.

Написать текст исследовательской работы.
Объект
исследования:
нахождение площади многоугольников разными
способами.
Предмет исследования: Использование Формулы Пика при вычислении площади
многоугольника
При проведении исследования была выдвинута рабочая гипотеза: нахождение
площади одной и той же фигуры
разными способами должно давать одинаковые
значения.
При исследовании использовались следующие методы:
Анализ источников, наблюдение, знаковое моделирование, проведение экспериментов,
прогнозирование при выдвижении гипотезы.
3
Основная часть
2.1
Представление о Формуле Пика
Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах решётки. Через
В обозначаем количество точек, находящихся во внутренней области многоугольника.
Через Г обозначаем количество точек на границе многоугольника. Тогда площадь
многоугольника находится по формуле S = В + Г/2 – 1. [2] <Приложение 1.>
<Приложение 1.>
Эту формулу вывел австрийский математик Георг Пик.
2.2
Об авторе Формулы Пика
Георг Алекса́ндр Пик родился 10 августа 1859г. в городе Лейпциг. В 16 лет Георг
окончил школу и поступил в Венский университет. Широкую известность получила
теорема Пика,
открытая им в 1899 году для расчёта площади многоугольника. В
Германии эта теорема включена в школьные учебники. Умер 13 июля 1942г. в концлагере.
[2]
<Приложение 2.>
Георг Пик
4
2.3 Примеры применения формул
Рассмотрим задачу на нахождение площади многоугольника по Формуле Пика:
S  B
B - количество точек внутри.
Г
1
2
Г – количество точек на границе. [4]
В нашей задаче внутри расположении 17 точек, а на границе -14 точек, тогда
площадь многоугольника равна: S =17 + 14 : 2 – 1 = 17 + 7 – 1 = 23.
<Приложение 1.>
2.4 Из первых опытов по вычислению площади фигуры
Формулу Пика мы подвергли сомнению, так как подсчитали площадь этого же
многоугольника вторым способом, разбив его на прямоугольник и два прямоугольных
треугольника. Получили, что площадь многоугольника равна 23, а по Формуле Пика у
нас получилось 22.
Такого расхождения не должно было бы быть, подумали мы. Стали искать ошибку
и нашли её. Значит, для этого многоугольника эта формула справедлива.
<Приложение 3.>
5
2.5 Получение дробных площадей
Мы стали выяснять, существуют ли площади, меньшие единицы при вычислении
по Формуле Пика. Рассмотрели многоугольники, у которых нет точек во внутренней
области.
Для синего треугольника площадь равна
½, а для красного треугольника площадь
равна 3/2.
Значит, можно построить треугольники, с площадью меньше единицы, и
треугольник с площадью, больше единицы. Даже получилось, что можно построить
треугольник с площадью равной единице, если на границе взять четыре точки:
S = 0 + 4/2 – 1 = 1.
<Приложение 4.>
Наши опыты показали, что значение площади по формуле Пика являются либо
правильными, либо неправильными дробями со знаменателем 2.
2.6 Рассмотрение разных многоугольников с равными площадями
Рассмотрим несколько многоугольников, у которых количество внутренних точек
одинаково и количество точек на границе тоже одинаково, а многоугольники имеют
разную форму. При этом условии оказалось, что вычисленные площади по формуле Пика
равны.
S1 = S2 = 13 +6:2 -1 = 15.
6
Рассмотрим многоугольники, у которых количество внутренних точек и точек на
границе изменилось и многоугольники имеют разную форму, а площади, вычисленные по
формуле Пика, равны. S3 = S4 = 12 +8:2 -1 = 15.
Из этих опытов по вычислению площадей мы сделали вывод, что
четырёхугольники путём сдвига двух вершин можно заменить на треугольник с такой же
площадью. S5 = 12 +8:2 -1 = 15.
<Приложение4>
2.7. Задача на вычисление площади Открытого банка заданий ЕГЭ
по математике сайта ФИПИ
Задача №0AB9AB
План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите
площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. [5]
<Приложение5>
Г
Найдём площадь по формуле Пика: 𝑆 = 𝐵 + 2 − 1. В = 7 , Г = 9. S =7 + 9 : 2 -1=
21
.
2
7
3. Заключение
В результате исследования были изучены источники на бумажных носителях и из
Интернета. Проведены опыты по применению Формулы Пика для вычисления площадей
различных многоугольников. Выявлены возможные ошибки при её применении.
Проведены
эксперименты
по
сравнению
скорости
вычисления
площадей
многоугольников по формуле Пика и разбиением фигуры на части. Нашли свойство
многоугольников, которые можно заменить на равновеликий многоугольник и даже
треугольник.
Наше исследование подтвердило гипотезу, достигло цели.
Полученные результаты можно использовать на занятиях математического кружка
и в старших классах при сдачи выпускного экзамена. Исследование можно продолжить в
направлении поиска других формул и способов нахождения площади.
При выполнении исследовательской работы я узнала много нового, научилась
новым приёмам при поиске иллюстраций, получила положительный опыт в преодолении
трудностей.
8
4. Библиографический список
1. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [С.М. Никольский, М.К.
Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – 7-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 256 с.
2. Георг Пик
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D
0%B3 Режим доступа 28.12.15
3. Математические эпюды http://www.etudes.ru/ru/etudes/pick/ Режим доступа 27.01.2016
4. Математика на клетчатой бумаге. Математический клуб «Кенгуру». Выпуск №8.
5. Открытый банк заданий ФИПИ. Режим доступа: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bankzadaniy-ege
6. Фигуры и площади. Математический клуб «Кенгуру». Выпуск №17.
9
5. Приложения
Приложение 1. Выделение точек на границе и во внутренней области многоугольника.
.
Приложение 2.
Портрет Георга Пика
10
Приложение 3.
Опыт № 1. Первые ошибки в применении Формулы Пика.
Приложение 4.
Получение площади, меньшей единицы и большей единицы, по Формуле Пика.
11
Приложение 5
Многоугольники разной формы с равными площадями, полученные путём сдвига вершин.
Приложение 6
Чертёж к задаче Открытого банка заданий ЕГЭ по математике сайта ФИПИ
12