Таблица 9

Методическое руководство
Задание 9
Плоское напряженное состояние
Работа 9
Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское
напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю).
Требуется найти:
1) главные напряжения и направление главных площадок;
2) максимальные
касательные
напряжения, равные наибольшей
полуразности главных напряжений;
3) относительные деформации х, y и z;
4) относительное изменение объема;
5) удельную потенциальную энергию деформаций;
6) эквивалентное напряжение по III теории прочности.
Данные взять из таблицы 9.
Принять коэффициент Пуассона  = 0,3 и модуль упругости 210 ГПа.
Таблица 9
Схема
По последней цифре
матрикула
Исходные данные
По предпоследней
цифре
матрикула
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Напряжения
х
у
ху=ух
 
МРа
МРа
МРа
МРа
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
40
50
60
70
80
90
40
50
60
160
150
140
130
130
140
150
160
170
180
Методическое руководство
y
I
Задание 9
yх
хy
х
y
II
yх
хy
х
х
хy
хy
yх
yх
y
y
III
yх
х
y
y
IV
хy
yх
хy
х
х
х
хy
хy
yх
V
yх
y
VI
y
yх
хy
y
y
yх
хy
х
х
х
х
хy
хy
yх
y
VII
х
yх
y
VIII
хy
IX
yх
хy
yх
y
X
хy
хy
х
y
yх
х
y
х
хy
y
yх
хy
х
х
yх
y
хy
х
хy
yх
yх
yх
y
Методическое руководство
Задание 9
y
Пример решения:
yх
3
y = 180 MПa
yх = 130 MПa
хy = 130 MПa
х = 200 MПa
3 = 240,2 MПa
1 = 220,2 MПa
1
хy
х
х
2 =0
хy
1
3
yх
y
1) положение главных площадок
2 xy
tg 2 0  
 x  y
2 130
260

 0,68
 200  180 380
2 0  arctg 0,68
tg 2 0  
2 0  34,2 0 или  0  17,10 .
Нормаль к одной из главных площадок образует с нормальным напряжением
х угол, который откладывается против хода часовой стрелки (0=0).
Нормаль к другой главной площадке образует с х угол 0 + 900.
Значения главных напряжений
 глав 
 глав 
имеем
 x   y    x   y 2  4 xy2
2
 200  180   200  1802  4 1302
1 = 220,2 MРa,
2
2 = 0 ,
 20  460,4


2
220,2
-240,2
3 = -240,2 MРa.
Для расстановки на главных площадках значений главных напряжений (где
действует max=, а где min=3) надо было по правилам математики
исследовать знак второй производной.
d 2 
   0  900
при    0
и
2
d
(где
    x cos 2    y sin 2    yx sin 2 - нормальное напряжение на произвольной
площадке).
Но можно это сделать и другим способом.
Методическое руководство
Задание 9
Направление max = 1 всегда проходит через две четверти осей координат, в
которых стрелки касательных напряжений ух и ху сходятся.
yх max
yх
0
хy
хy
Это видно из того, что касательные напряжения создают удлинение одной из
диагоналей. Именно в этом направлении и действует растягивающее
напряжение max = 1 .
2. максимальные касательные напряжения
  3
 max  1
 max
2
220,2   240,2

 230,2 МРа
2
и действует по площадке, наклонной под углом 450 к максимальному и
минимальному из трех главных напряжений.
3
1
max
max
2 =0
450
3
1
3. относительные деформации


 200 106
 x  x   y   z 
x 

9
E
y 
y
E
E


E
 x   z 
y 
210 10
180 106
210 10
9

0,3
210 10
0,3
210 10
9
9
180 10
6
 200 10
6

 0  1,2110 3

 0  1,14 10 3
Методическое руководство
z 
z

E

 y   x 
E
z  0
0,3
210 10
9
180 10
6
Задание 9

 200 106  0,029 103
4. изменение объема
e
V
  x   y   z   1,21  1,14  0,029 10 3  0,04 10 3
V
Относительное изменение объема е – инвариантная величина, не зависящая
от направления осей. Чтобы убедиться в этом найдем относительные
деформации через главные напряжения
1 
2 
3 
1
E

2
E
3
E

E


 2   3 

E

E
 1   3 
 1   2 
1 
220,2  10 6
210  10
2  0 
9

0,3
0,3
210  10
0  240,2 10   1,39 10
6
9
3
220,2  240,2 106  0,0286 103
210 10
240,2 106
0,3
3  

220,2 106  0  1,46 10 3
9
9
210 10
210 10
9


относительное изменение объема
e  1   2   3  1,39  0,0286  1,46 103  0,04 103
Как видно результаты расчетов совпадают.
Например, если V=1 м3 , то V  eV  0,04 103 1  40 106 м3  40 cм3 .
5. удельная потенциальная энергия
1
1
1
1
U   11   2 2   3 3  220,2 1,39  0  240,2 1,46 106 10 3  438 103 Дж/м3
2
2
2
2
6. эквивалентное напряжение по III теории прочности
 эIII   1   3  220,2   240,2  460,4     340 МПа
в данном случае условие прочности не выполнено.