12 - 100balov.com

12. Главные и эквивалентные напряжения
12. Главные и эквивалентные напряжения
Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории
упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.
Если выделять из тела в окрестности некой точки (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого
параллелепипеда, то действие на него окружающей среды заменяется напряжениями, компоненты которых
действуют на грани параллелепипеда.
Рис. 12.1
В силу закона парности касательных напряжений
 xy   yx ;  yz   zy ;  zx   xz . (12.1)
В общем случае в точке имеется только шесть независимых
компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор
напряжений
  x  xy  xz 


T    xy  y  yz  (12.2)


 xz  yz  z 
На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой  имеет
направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение  и касательное
напряжение  (рис. 12.2) с равнодействующей S. Проекции этой равнодействующей на координатные оси
Sx, Sy, Sz связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):
Sx   x l   xy m   xzn 

Sy   xy l   y m   yzn  (12.3)
Рис. 12.2.

Sz   xzl   yzm   zn 
Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на
которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так
называемых, главных площадках действуют главные напряжения 1, 2
и 3. При этом имеется в виду, что 123. Известно также, что
главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно
– на любой площадке результирующее напряжение S  1 и
S   3 .
Направляющие косинусы lk , mk и nk нормалей главных площадок к определяются из решения системы
уравнений:
(х – k) lk + xy mk + xz nk = 0;
xy lk + (y – k) mk + yz nk = 0;
xz lk + yz mk + (z – k) nk = 0;
lk2 + mk2 + nk2 = 1.
(12.4)
Из (4) следует, что главные напряжения k (к=1,2,3) являются корнями кубического уравнения:
 x  
 xy
 xz 


(12.5)
Det   xy
y  
 yz   0 .
 

 yz
 z  
 xz
Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид
 3  I 1(T )   2  I 2(T )   I 3(T )  0 ,
(12.6)
а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый
инвариант I 1(T )  x  y  z равен утроенному среднему напряжению (гидростатическому давлению)
0 .
Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя
Эйлеровыми углами:
 – угол (нутации) между положительными направлениями оси Z и 3 (0);
 – угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль линии пересечения плоскостей XOY и 1О2 так,
чтобы ОА, Z и 3 образовали правую тройку, при этом угол  увеличивается от оси X к оси Y (02);
 – угол (чистого вращения) между осями 1 и А, который увеличивается от 1 к 2 (02).
Для характеристики НДС используется коэффициент Лоде-Надаи
145
12. Главные и эквивалентные напряжения
0  2
N2  N3
1,
N1  N 3
принимающий значения 0=1 при чистом сжатии, 0=0 при чистом сдвиге, 0=1 при чистом растяжении.
В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряжений (2) в общем случае выглядит
как
 N x Txy Txz 


(12.7)
T  Txy N y T yz 
T

T
N
yz
z
 xz
В SCAD главные напряжения 1   2   3 обозначаются как N1  N 2  N 3 .
Для углов Эйлера введены обозначения:
 – ТЕТА,
 – PSI,
 – FI.
12.1 Главные напряжения для конечных элементов различных типов
Каждый тип элемента обладает определенными особенностями напряженно-деформированного состояния
(НДС), которое также определяет и особенности расположения главных площадок.
В зависимости от рассматриваемого типа элемента в каждой точке, где определены усилия (напряжения),
вычисляются главные напряжения и углы, характеризующие положение главных площадок.
Если результаты выданы в одной точке – то это центр тяжести элемента (центр тяжести поперечного сечения
тела вращения для осесимметричных элементов). Для большего числа точек вычисления будут проведены в
узлах элемента и центре тяжести.
Пространственная задача теории упругости
Для решения пространственной задачи теории упругости предназначены объемные элементы и, как частный
случай, осесимметричные элементы. Для них с использованием формул из раздела 12.1 вычисляются:
 главные напряжения N1 , N2 и N3.;
 углы Эйлера – ТЕТА (), PSI() и FI();
 коэффициент Лоде-Надаи 0.
 угол наклона главного напряжения N1 к оси X1.
Элементы балки стенки
Для случая плоского НДС (балка-стенка) тензор напряжений имеет вид:
N x 0 Txz 
T   0 0 0 
Txz 0 N z 
(12.8)
Так как элемент всегда расположен в плоскости XOZ, то для срединной поверхности его вычисляются
только два главных напряжения по формуле
1/ 2
2

N x  N z  N x  N z 
2
N 1,3 
 
(12.9)
  Txz  .

2
2


Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1
N  Nx
  arctg 1
.
(12.10)
Txz
Если Txz=0, то считается, что =0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями местной
системы координат элемента.
146
12. Главные и эквивалентные напряжения
Плиты и оболочки
Для плит на срединной поверхности вычисляются следующие усилия:
 моменты – Mx , My и Mxy;
 перерезывающие силы – .Qx и Qy.
Для оболочек вычисляются также напряжения – Nx , Ny и Nxy. Тензор напряжений имеет вид
 N x Txy 0
T  Txy N y 0 , (11)
 0
0 0
так как касательные напряжения Txz  1 / 5Q x / h , Tyz  1 / 5Q y / h не учитываются.
Для каждой точки, в которой вычислены усилия, главные напряжения определяются на нижней (Н),
срединной (С) и верхней (В) поверхностях. При этом
NxB/H = Nx  6Mx/h2,
NyB/H = Ny  6My/h2, (12)
NxyB/H = Nxy  6Mxy/h2.
Тогда главные площадки для верхней и нижней поверхности параллельны одна другой, а главные напряжения
определяются по формуле:
1/ 2
 N  N  2

x
y
2 
  T xy
N 1,2 
 
, (13)


2
2



Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения N1 к оси X1
N  Nx
  arctg 1
. (14)
Txy
Nx  Ny
Если Txy = 0, то считается, что  = 0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями
местной системы координат элемента.
Стержневые элементы
Главные напряжения в стержневых элементах определяются по формуле
 1,2 
x

2
 2x
  2x   2y .
4
(12.15)
Здесь x, x и y нормальное и касательные напряжения в характерных точках поперечного сечения стержня.
Для того чтобы определить главные напряжения, сечение элемента должно быть задано:
 как одно из параметрических сечений (положение характерных точек для таких сечений показано на
рис. 12.1);
 или с использованием сортамента металлопроката (рис. 12.2) изображены допустимые профили из
сортамента и характерные точки сечений, в которых производятся вычисления).
Во всех других случаях главные напряжения не вычисляются.
В точках, которые не располагаются на материальной части поперечного сечения (например точка 9 для
коробчатого сечения), значения главных напряжений не вычисляются.
Рис. 12.1. Параметрические сечения (начало)
147
12. Главные и эквивалентные напряжения
Рис. 12.1. Параметрические сечения (продолжение)
Рис.12.2 Прокатные профили
12.2 Вычисление эквивалентных напряжений
При простых видах деформации, в частности при одноосном напряженном состоянии, об опасности
действующих напряжений судят, сопоставляя их с экспериментально устанавливаемой величиной (с пределом
текучести для пластических материалов или с временным сопротивлением для хрупких тел). Для сложного
напряженного состояния, характеризующегося главными напряжениями 1, 2 и 3, обычно используется
некоторая гипотеза (теория прочности) о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного
фактора. При этом предусматривается возможность сопоставления некоторого эквивалентного напряжения е
с пределом  0 , который соответствует простому одноосному растяжению. Условие невозникновения
предельного состояния в материале записывается в виде
 e  f  1,  2,  3, k1,..., k n ,   0 ,
где k1,...,kn – некоторые константы материала, которые могут и отсутствовать.
Приведем обозначения некоторых используемых констант:
1
 0  ( 1   2   3 ) – среднее напряжение (гидростатическое давление);
3
1
i 
( 1   2 ) 2  (  2   3 ) 2  (  3  1 ) 2 - интенсивность напряжений;
3


 0 ,  0 ,  0 – предельные напряжения материала соответственно при одноосном растяжении, одноосном
сжатии и чистом сдвиге;
   0 /  0 ;
   0 /  0 ;
   0 /  0 ;
  1 /  0 .
148
12. Главные и эквивалентные напряжения
Иногда удобнее сопоставлять эквивалентное напряжение с пределом  0 , соответствующим сопротивлению
образца материала при простом одноосном сжатии. Соответствующее эквивалентное напряжение
обозначается как S .
В комплексе реализовано четыре теории прочности, сведения о которых приведены в таблице 121. Все они
относятся к изотропным материалам и условиям статического нагружения, когда история поведения
конструкции не сказывается на формулировке условий разрушения.
Таблица 12.1
№
п/n
Теории прочности
Выражение для вычисления
эквивалентного напряжения е.
Сфера применения
1
Теория максимальных нормальных напряжений
е=1
s=|3|
Для хрупких однородных
материалов (керамика,
стекло).
2
Теория наибольших линейных деформаций
е=1 –  (2+3)
s=|3 –  (1+2)|
3
4
Теория наибольших касательных напряжений
Теория октаэдрических касательных напряжений или
удельной энергии формоизменения
Для пластических материалов
с малым упрочнением, для
которых характерно
появление локальных
пластических деформаций в
виде линий скольжения
(отпущенная сталь).
е=1 – 3
s=е

1
e  i   ( 1   2) 2 
2
(  2   3) 2  (  3  1) 2

1/ 2
Для большинства пластических материалов (сталь,
медь, никель).
s=e
12.3 Подготовка данных для расчета главных и эквивалентных
напряжений
Исходные данные для расчета главных и эквивалентных напряжений готовятся в диалоговом окне
(рис. 12.3.1), которое вызывается из раздела Специальные исходные данные Дерева проекта. Расчет
можно выполнить как для загружений, так и для комбинаций загружений. Вид данных, для которых
выполняется расчет, назначается путем активизации опций, расположенных в верхней части диалогового
окна. Теория, по которой выполняется расчет, выбирается при помощи кнопок в группе Теория прочности.
Результаты расчета можно вывести на печать в табличной форме из раздела Дерева проекта Печать таблиц
или в Документаторе.
Для пластинчатых элементов в режиме графического анализа
результатов предусмотрено построение изолиний и изополей
главных и эквивалентных напряжений, а также отображение
направлений главных площадок.
Рис. 12.3.1. Диалоговое окно
Расчет главных и эквивалентных напряжений
149