х 2 = 0.

Подготовка к ГИА в 9 классе по математике
Тема: Уравнения (ГИА 9 класс)
Все уравнения школьного курса, изучаемые в курсе алгебры 7-9-х классов,
можно разбить на несколько больших групп: 1) линейные; 2) квадратные; 3) дробнорациональные; 4) уравнения высших степеней. В первой части экзаменационной
работы требуется решить уравнения без дополнительных условий. При решении
уравнений из второй части работы часто требуется выполнить алгебраические
преобразования выражений, упрощающие решение уравнения, или решать
уравнения с дополнительными условиями, или использовать специальные приемы
решения уравнений, такие как разложение на множители или введение новой переменной.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Определение. Корнем уравнения с одним неизвестным называют значение
неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Определение. Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все его
корни или доказать, что корней нет.
Определение. Линейным уравнением с одним неизвестным х называют уравнения
вида ах = b, где х: — неизвестное, а и b — некоторые числа; а называют
коэффициентом при переменной,
b — свободным членом.
Определение. Квадратным уравнением с одним неизвестным х называют
уравнения вида
ах2 - bх - с = 0, где х — неизвестное, а, b и с — некоторые числа (коэффициенты
уравнения), причем а  0, а называют первым (старшим) коэффициентом, b —
вторым коэффициентом,
с — свободным членом.
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме,
конечно, коэффициента при х2), то уравнение называют неполным квадратным
уравнением.
Выражение D = b 2 - 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения
ах 2 + bх + с = 0.
По дискриминанту квадратного уравнения определяют, сколько оно имеет корней:
если D > 0, то уравнение имеет два различных корня;
если D = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших корня);
если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Формулы корней квадратного уравнения
Корни уравнения ах + bх + с = 0 находят по формуле
2
õ
b D
2a
Корни квадратного уравнения, в котором второй коэффициент — четное число,
можно вычислять по формуле

õ
b
D

2
D b
2
4
, где     ac
a
4 2
Теорема Виета
Если приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0 имеет корни, то сумма
корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным
знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. если x1 и х 2 — корни
уравнения х 2 + рх + q = 0, то
 õ1  õ2   p;

 x1 x2  q
Обратная теорема Виета
Если сумма двух чисел равна второму коэффициенту приведенного квадратного
уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно
свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного
уравнения, т.е. если выполняются условия
 õ1  õ2   p;

 x1 x2  q
то х1 и х2 — корни уравнения х 2 + рх + q = 0.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ
Линейные уравнения
При решении линейных уравнений слагаемые с неизвестным обычно переносят в
левую часть уравнения, а остальные слагаемые - в правую часть. При этом переносе
надо изменить знак всех слагаемых на противоположный.
Задание 1. Решите уравнение 2 - 3(х + 2) = 5 - 2 х.
Решение.
Сначала раскроем скобки.
2-3х-6 = 5-2х
- 3х + 2х = 5 - 2 + 6
- х = 9.
Уравнение еще не решено. Надо найти значение переменной х, а не (-х).
х = - 9.
О т ве т: - 9.
Задание 2. Найдите корни уравнения
m m

 3,75 .
3 12
Решение.
В левой части уравнения — дроби с разными знаменателями. Приведем их к общему
знаменателю.
4m m

 3,75
12 12
5m
 3,75
3
Остается разделить и левую, и правую часть уравнения на коэффициент при
неизвестном,
5
.
12
5
m  3,75 :
12
т.е. на
m  3,75 
12
5
При умножении можно либо число 3,75 перевести в обыкновенную дробь (полезно
знать, что 0,75 =
m
3
12
), либо число
перевести в десятичную (разделив 12 на 5).
4
5
15 12

4 5
т = 9.
О т ве т: 9 .
Квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения можно решить без применения основной формулы
корней квадратного уравнения.
Задание 3. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней.
1) 0,5х2 - 2х = 0 2) 0,5х2 -2 = 0
3) 0,5х2 = 0
а) 0
б) -2 и 2
в) 0 и 4
Решение.
Решим сначала первое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель.
х(0,5х - 2) = 0
х = 0 или 0,5х -2 = 0
х = 0 или х = 2 : 0,5
х = 0 или х = 4
Итак, корнями первого уравнения являются числа 0 и 4. Решим второе уравнение.
Выразим х2, т.е.
х2 = 2 : 0,5
х2 = 4.
Корнями второго уравнения являются числа 2 и -2.
Осталось решить третье уравнение. При решении его тоже выразим х2.
х2 = 0.
Только число 0 является его корнем.
Остается записать ответ.
О т ве т: 1) - в,
2) - б,
3) - а.
Замечание: соотнести данные уравнения с множеством их корней можно и проще, с
помощью следующих рассуждений: первое уравнение имеет два различных корня
— нуль и другое число, корнями второго уравнения являются два противоположных
числа, корнем третьего уравнения является только число нуль.
Рассмотрим решение квадратных уравнений, в которых ни один из коэффициентов
не равен 0.
Задание 4. Решите уравнение 3х2 - 2х - 1 = 0.
Решение.
По основной формуле корней квадратного уравнения õ 
b D
.
2a
В данном уравнении а = 3, b =-2, с = -1, поэтому D = (-2)2 - 4 • 3 • (-1) = 16.
Имеем:
x
  2   16
,
23
1
3
О т ве т: 1;  .
x
24
.
6
Замечание: подсчитаем сумму коэффициентов этого уравнения: 3 + (-2) + (-1) = 0.
Число 1 является корнем этого уравнения.
Это верно и в общем случае, т.е. если мы решаем квадратное уравнение ах2 + bх + с
= 0 и сумма его коэффициентов равна нулю а + b + с = 0, то один из корней
уравнения равен 1.
Задание 5. Решите уравнение -х2 + 0,1 = 0,9х. В ответе укажите произведение его
корней.
Решение.
Перенесем слагаемые в левую часть уравнения.
-х2 + 0,1 - 0,9х = 0
х2 + 0,9х - 0,1 = 0
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10.
10х2 + 9х - 1 = 0
D= 92 - 4 • 10 • (-1) = 121
õ
 9  121
20
х = -1 или х = 0,1
Не забудем, что в задании есть дополнительный вопрос
Произведение корней уравнения равно -0,1.
О т ве т: -0,1.
Замечание: на дополнительный вопрос в задании можно было ответить, даже не
находя корней уравнения. Вспомните формулировку теоремы Виета.
После того, как вы убедились в существовании корней (D > 0), можно просто найти
их произведение. Из двух уравнений х2 + 0,9х - 0,1 = 0 и 10х2 + 9х - 1 = 0 только
первое является приведенным, поэтому теорему Виета применяем к первому уравнению: x1 • х2 = -0,1.
Задание 6. Не решая уравнения 2х2 + 2х - 3 = 0, найдите:
а) х1+х2;
б) х1•х2;
в)
1
1

;
õ1 õ2
г) õ22  õ12 ;
д) õ12 õ2  õ1 õ22 ;
е) õ23  õ13 ;
ж) õ24  õ14 , где х1 и х2 — корни уравнения.
Решение.
Известно, что x1 и х2 — корни квадратного уравнения. Применим теорему Виета.
а), б) сначала необходимо сделать исходное уравнение приведенным, т.е. разделить
на первый (старший) коэффициент 2. Имеем: х2 + х -1,5 = 0.
По теореме Виета:
 õ1  õ2  1,

 õ1  õ2  1,5
Поэтому в пункте а) х, + х2 = -1; а в пункте б) х, • х2 = -1,5.
Чтобы вычислить значения выражений в пунктах в) - ж), выразим слагаемые в них
через х1 + х2 и х1 • х2.
в)
1 1 õ1  õ2
1 2



 .
õ1 õ2
õ1  õ2  1,5 3
г) õ22  õ12  ( õ1  õ2 ) 2  2 õ1  õ2  1  2  1,5  4.
д) õ12 õ2  õ1 õ22  õ1 õ2 ( õ1  õ2 )  1,5.
е) õ23  õ13  ( õ1  õ2 )( õ12  õ1 õ2  õ22 )  1  (4  1,5)  5,5.
ж) õ24  õ14  ( õ12  õ22 ) 2  2( õ1  õ2 ) 2  16  2  2,25  11,5.
Ответ: а) -1;
б) -1,5; в)
2
; г) 4; д) 1,5; е) -5,5; ж) 11,5.
3
Если в квадратном уравнении коэффициент при х — четный, можно использовать
формулу для нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым
коэффициентом.
Задание 7. Решите уравнение х2 - 32х + 31 = 0.
Решение.
В уравнении а = 1, b = -32, с = 31.
1-й способ
Применим формулу для уравнений с четным вторым коэффициентом.
D
 (16) 2  1  31  256  31  225
4
16  225
x
1
x = 31 или x = 1
2-й способ
Применим основную формулу.
D = (-32)2 - 4  31 = 1024 -124 = 900
õ
32  900
2 1
х = 31 или х = 1
Ответ: 1; 31.
Замечание: в уравнении х2 - 32х + 31 = 0 сумма коэффициентов 1 + (-32) + 31=0,
поэтому 1 является корнем уравнения. А второй корень можно найти по теореме
Виета, так как
х1 • х2 = 1 • х2 = 31, то х2 = 31.
Задание 8. Решите уравнение (3х - 2)(4х - 3) = 0. В ответе укажите больший корень.
Решение.
В левой части уравнения записано произведение, причем произведение равно 0.
(3х - 2)(4х - 3) = 0
3х - 2 = 0 или 4х - 3 = 0
õ
2
3
или õ 
3
4
Чтобы выбрать больший корень, можно либо привести дроби к одному знаменателю
и сравнить числители дробей  
8 3 9
;   , либо перевести обе дроби в
12 4 12 
2
3
десятичные дроби   0,666...  0, (6),  0,75  . О т ве т: 0,75.
4
3

2
3
В курсе алгебры рассматривают также различные уравнения, сводимые к
решению квадратных уравнений.
Дробно-рациональные уравнения
Решение дробно-рациональных уравнений основано на следующем утверждении:
дробь
a
равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а
b
знаменатель не равен нулю.
Задание 9. Решите уравнение
1. -1 2. 2,5 3. -1; 2,5
4. -1; 2,5
2 õ 2  3õ  5
 0.
õ 1
Решение.
Дробь равна нулю, значит, числитель равен 0, а знаменатель не равен 0,
т.е. 2х2 - З х - 5 = 0 и х + 1  0 .
2 õ2  3õ  5  0,

 õ  1  0.
Решим квадратное уравнение и произведем отбор его корней:
х = 2,5 или х = — 1.
Но х  -1, число ( - 1 ) является посторонним корнем. Итак, уравнение имеет
единственное решение х = 2,5.
О т в е т : 2.
Задание 10. Найдите корни уравнения
1
õ
 5õ  2
 2
 3
.
õ  2 õ  2õ  4
õ 8
Решение.
Перенесем все слагаемые в левую часть, а затем приведем к общему
знаменателю. При этом желательно разложить знаменатели дробных
выражений на множители. Один из знаменателей равен х3 + 8. Переменная
возводится в третью степень, поэтому целесообразно к выражению х3 + 8
применить формулу суммы кубов х3 + 8 = х3 + 23 = (х + 2)(х2 - 2х + 4).
Имеем,
1
õ
 5õ  2
 2
 3
 0,
õ  2 õ  2õ  4
õ 8
õ2  2 õ  4
õ( õ  2)
5õ  2


 0,
2
2
( õ  2)( õ  2 õ  4) ( õ  2)( õ  2 õ  4) ( õ  2)( õ2  2 õ  4)
2 õ2  5õ  2
 0,
( õ  2)( õ 2  2 õ  4)
2 õ 2  5 õ  2  0,

 õ  2  0,
 õ 2  2 õ  4  0;

 õ  2
или х = -0,5,

 õ  2 .
Уравнение имеет единственный корень (-0,5).
О т в е т : -0,5.
Уравнения высших степеней
Уравнения, степень которых выше второй, обычно решаются двумя основными
методами: введением новой переменной и разложением на множители.
Метод введения новой переменной
Задание 11. Найдите корни уравнения х4 - 11х2 - 12 = 0.
Замечание: уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а  0, являющиеся
квадратными относительно х2, называют биквадратными уравнениями.
Решение.
Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены а = х2.
х4 - 1 1 х 2 - 1 2 = 0
а = х2
a2-11а-12 = 0
а = - 1 или а = 12
Вернемся к переменной х.
х2 = -1 или х2 = 12.
Первое уравнение решений не имеет, а второе уравнение имеет два корня
12  2 3 и  12  2 3.
О т в е т :  2 3. .
Замечание: уравнение х - 11 õ - 12 = 0 тоже можно свести к квадратному а2 11а - 12 = 0 заменой a  x . Правда, тогда, после решения уравнения с
переменной а, придется решать простейшие иррациональные уравнения:
x  1 , x  12 . И корнем исходного уравнения будет только 122 = 144.
Не всегда замена переменной так очевидна, как при решении биквадратных
уравнений.
Задание 12. Найдите наименьший корень уравнения
(х + 3)4 + 3х2 + 18х - 1 = 0.
Решение.
Рассмотрим первое слагаемое (х + 3)4. Вспомним, что (х + 3) - = х2 + 6х + 9.
Сгруппируем второе и третье слагаемые 3х2 + 18х. Если вынести общий
множитель 3 за скобки, тогда имеем 3(х2 + 6х).
Введем новую переменную а = (х + З)2, à  0 , тогда
3х2 + 18х = 3х2 + 18х + 27 - 27 = 3(х2 + 6х + 9) - 27 = 3а - 27.
Исходное уравнение будет иметь вид а2 + 3а - 21 - 1 = 0. Получили квадратное
уравнение относительно переменной а. Решим его.
а2 + 3а - 28 = 0
а = -1 или а = 4
а = -7 — посторонний корень.
Вернемся к переменной х.
(х + 3)2 = 4.
Как проще решить это уравнение?
1-й способ. Раскрыть квадрат суммы и применить основную формулу корней
квадратного уравнения.
2-й способ. Перенести 4 в левую часть и применить формулу разности квадратов.
3-й способ. Извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.
х + 3 = 2 или х + 3 = -2.
х = -1 или х = -5.
Прежде чем записать ответ, вспомните, на какой вопрос требуется ответить в
задании.
О т ве т: -5.
Метод разложения на множители
Прежде чем приступать к решению уравнений с помощью данного метода,
советуем повторить тему «Числа и выражения. Преобразование выражений».
Задание 13. Сколько корней имеет уравнение х3 - 3х2 - 32х + 96 = 0?
1.1 2. 2 3. 3 4. 0
Решение.
В левой части уравнения четыре слагаемых, поэтому применяем метод группировки.
(х3 - 3х2) - (32х - 96) = 0
х2(х - 3) - 32(х - 3) = 0
(х - 3)(х2 - 32) = 0
Произведение равно 0, значит, х - 3 = 0 или х2 - 32 = 0. Уравнение имеет три корня:
3;  4 2 .
О т ве т: 3.
Задания второй части экзаменационной работы на 4 и 6 баллов по теме «Уравнения»
часто содержат уравнения с параметром. Рассмотрим примеры решения двух таких
заданий.
Уравнения с параметром
Задание 14. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 2х + а = 0 имеет: 1)
два различных корня; 2) имеет корень, равный 2?
Решение.
1) Так как уравнение х2 + 2х + а = 0 имеет два различных корми, то D > 0.
D = 4 - 4а, 4 - 4а > 0, а < 1
О т ве т: при а < 1 уравнение имеет два различных корня.
2) Так как 2 является корнем уравнения х2 + 2х + а = 0, то 22 + 2 • 2 + а = 0, а = 8.
О т ве т: при а = -8 уравнение имеет корень, равный 2.
Задание 15. При каких значениях параметра т оба корня уравнения х2 - тх + 2 = 0
лежат в промежутке (0;3)?
Решение.
Рассмотрим функцию f(x) = х2 - тх + 2. Графиком данной функции является
парабола. Изобразим параболу с указанными свойствами.
Запишем условия, соответствующие этому расположению параболы.
 f (0)  0,
 f (3)  0,


0  xâåðøèíû  3,
 D  0.
Решим отдельно каждое из этих неравенств.
f (0) = 2 > 0, значит, первое условие выполняется автоматически.
11
3
f (3) = 9 – 3m + 2 > 0, - 3 т > -11, т < .
b
m m
m

 , 0   3, 0  m  6.
2a
2
2
2
2
D = т - 8  0, m   ;2 2 2 2 ; .
xâåðøèíû  


2
Решением системы неравенств будет промежуток 2 2 ;3 .

3
Ответ: при m  2 2 ;3  оба корня уравнения лежат в проежутке (0; 3).
3

2
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЧАСТЬ I
1 . Решите уравнение х - 5(х - 4) = 6 х + 5.
2 . Найдите корень уравнения 4 
õ
 3. .
2
3 . Какое из уравнений имеет бесконечное число корней?
1) 0  х=0
2) 0  х=1 3) 0 + х=0 4) 0 - х=0
m4 m
4 . Решите уравнение
  1 .
6
9
1

5 . Найдите корни уравнения  x  3 (0,2 x  1)  0 .
2

6 . Решите уравнение 4n - 10,5 = 5n - 3(2n - 1,5).
7 . Корнем квадратного уравнения -5х2 = -25 является число
1
1
1) -5
2)
3) 
4)  5
5
5
8 . Найдите корни уравнения -2к 2 + 32-0. Ответ:
.
2
9 . Найдите корни уравнения -2k + 32k = 0.
9
õ  0 . В ответе укажите наименьший из его корней.
1 0 . Решите уравнение  9 õ 2 
25
5
9
1
1) 
2) 0 3) 
4)
3
25
25
1 1 . Укажите верную формулу корней квадратного уравнения
kх 2 + т х + п = 0.
 m  m 2  4kn
2
m  m 2  4kn
2) x 
2
 n  n 2  4k
3) x 
2k
 m  m 2  4kn
4) x 
2k
1 2 . Решите уравнение х 2 - 6 х + 7 = 0.
1) 3  2 ;3  2
2) 3  3;3  3
3) 6  2 2 ;6  2 2 4)  3  2 ;3  2
1 3 . Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней.
1) õ 
1) 0,2х2 - 5х = 0;
2 ) 0 ,2 х 2 - 5 = 0; 3) 0,2х2 = 0.
а) 0;
б) -5 и 5;
в) 0 и 25.
1 4 . Найдите положительный корень уравнения 2х2 – 3х - 5 = 0.
1)1
2) 2 3) 5 4) 2,5
1 5 . Укажите наименьший корень уравнения х 2 + 2 х - 24.
y7
 0.
( y  7)( y  9)
y7
0.
1 7 . Решите уравнение
( y  7)(Y  9)
( y  7)( y  9)
 0.
1 8 . Решите уравнение
y7
( y  7)( y  9)
0
1 9 . Решите уравнение
y7
1 6 . Решите уравнение
20.
Решите уравнение
21.
Решите уравнение
22.
6
5
.

õ4 õ 2
2 õ 2  3õ  14
0.
õ 2
2 õ2  5õ  7
Решите уравнение
 0.
õ 1
õ2  8
2õ
.

õ2 2 õ
23.
Укажите количество корней уравнения
24.
Найдите сумму корней уравнения х2 - 28х + 27 = 0.
ЧАСТЬ II
25.
2õ  5 
2
Укажите общий корень уравнений 
  1  0 и х – 5х – 24 = 0.
26.
27.
28.
29.
Решите уравнение -х + 5х + 10х - 50 = 0.
Решите уравнение х3+ 2х2 - 18х - 36 = 0.
Решите уравнение (х2 + 2)(х2 - 8) = 11.
Выясните, имеет ли уравнение х2 + 2х =  2 õ 3  8 корни.
30.
Решите уравнение
31.
Решите уравнение
32.
Решите уравнение
 õ3 
3
2
õ2
30
 2
 3.
õ3 õ 9
õ3
20
 2
 2  0.
õ 2 õ 4
1
õ
5õ  2
 2
 3
.
õ  2 õ  2õ  4 õ  8
Решите уравнение (х - 2)4 - 4х2 + 16х - 61 = 0.
При каком значении а уравнение х2 - 4х + а = 0 имеет один корень?
Один из корней уравнения х2 + рх - 15 = 0 равен 5. Найдите сумму корней
этого уравнения.
3 6 . Найдите произведение корней уравнения (х2 + 3х)2 - х2 - 3х = 12.
3 7 . Решите уравнение õ  17 õ  18  0 .
3 8 . Не решая уравнения 3х2 + 3х - 1=0, найдите õ12 õ2  õ22 õ1 , где х1 и х2 — корни
уравнения.
3 9 . Не решая уравнения 3х2 + 3х - 1=0, найдите õ12  õ22 , где х1 и х2 — корни
уравнения.
33.
34.
35.
40.
При каких значениях а уравнение х2 - 3х + а = 0 имеет корень, равный 3?
41.
При каких значениях параметра b уравнение
õ2  b
 0 имеет единственное
õ6
решение?
42.
При каких значениях параметра b уравнение
õ 2  36
 0 имеет единственное
õb
решение?
43.
õ2  bx  4
 0 имеет единственное
При каких значениях параметра b уравнение
õ6
решение?
4 4 . Укажите наибольшее целое значение а, при котором уравнение х2 - 2ах + 2а +
24 = 0 имеет различные отрицательные корни.
4 5 . Укажите наибольшее значение а, при котором уравнение
x 2  (a  7) x  a 2  5a  0 имеет три решения.
Числа 13 и -24 являются корнями уравнения х4 - 745х2 + 97344 = 0. Укажите
наибольший корень уравнения.
4 7 . Укажите все значения а, при которых уравнение х3 - 2ах2 - (2а - 3)х = 0 имеет
три различных корня.
46.
48.
49.
50.
õ2  5 õ  2 õ2  5 õ  3

 0.
õ2  5 õ  4 õ2  5 õ  9
1
1
1
1


 0.
Решите уравнение 
õ õ 2 õ3 õ5
3õ  6
õ  2 õ2
Решите уравнение 2

 2.
2 õ
2õ  õ
Решите уравнение
Докажите, что уравнение (х2 - 2х + 7)(х2 + 6х + 11) = 11 не имеет корней.
При каких значениях b оба корня уравнения х2 - bх + 2 = 0 лежат в
промежутке (1; 3)?
51.
52.
Работу составила учитель математики АМОУ СОШ № 11 Засыпкина Е.В.