Ряды - Чебоксарский электромеханический колледж

Федеральное государственное образовательное учреждение
«Чебоксарский электромеханический колледж»
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по математике по теме «Ряды»
для студентов 2 курса
Разработал:
Беккер С.Ф.
2012
Тема 9 «Ряды»
Урок 1 «Понятие числового ряда. Сумма ряда, сходимость ряда, необходимое условие
сходимости»
Пусть дана последовательность действительных положительных чисел
an n 1
a1, a2 , ..., an ,... 
.

Определение 1. Выражение вида

a1  a2  ....  an  ....   an
n 1
называется числовым рядом с положительными членами.
a1
- 1-й член ряда,
Пример 1. Дан ряд
a2
- 2-й член ряда, … a n - n-й член ряда.
an 
n
. Назовите первые четыре
2n  1
члена ряда.
Ответ: 1/3+2/5+3/7+4/9+…
Пример 2. Дан ряд
Ответ: a n 
1 2 3 4
  
 ... . Напишите формулу общего члена.
3 5 9 17
n
2 1
n
Определение 2. Сумма первых
k
членов числового ряда называется
k -й частичной суммой
ряда и обозначается S k .
S1  a1 , S 2  a1  a2 , S 3  a1  a 2  a3 , Sn  a1  a2  ...  an
и т.д.
lim S n  S
Определение 3. Если существует конечный предел частичных сумм n 
, то числовой
ряд называется сходящимся и его сумма равна значению этого предела, иначе ряд называется
расходящимся.
Пример 3.

a  aq  aq 2  ...  aq n  ...   aq n 1
n 1
Sn  a  aq  aq 2  ...  aq n 1 
- сумма бесконечной геометрической прогрессии.
a(1  q )
a

(1  q n )
1 q
1 q
,
n
a
a
(1  q n ) 
lim (1  q n )
n  1  q
1  q n 
.
lim S n  lim
n 
При q<1 ряд сходится и его сумма равна a/(1-q).
При q>1 ряд расходится.
1  2  3  ...  n  ... 
Пример 4. .

n
n 1
.Очевидно, что этот ряд расходится.
Необходимое условие сходимости числового ряда.
Если ряд
u
n
сходится, то
необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является
2
достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд
точно расходится.

1
 n является расходящимся, хотя его общий
Например, так называемый гармонический ряд
n 1
член и стремится к нулю.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда 1  2  3  ... 
Решение. Найдем
lim
n
 lim
3n  1 n
2
1
5

1
3
n
не выполняется, значит ряд расходится.
n 
8
n
 ...
3n  1
- необходимый признак сходимости
1
0
3
Контрольные вопросы:
Что называется числовым рядом?
Что называется частичной суммой ряда, суммой ряда?
Какой ряд называется сходящимся? Приведите пример расходящегося ряда.
Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.
1.
2.
3.
4.
Для самостоятельного решения на уроке:
1. По формуле общего члена напишите первые четыре члена ряда, если a 
n
n2
n(2n  1)
2  10  26  82  242  730  ...
n 1

n 1 2 n  1
2. Найти формулу общего члена ряда

3. Исследовать сходимость ряда
Задание на дом:
В.С.Щипачев Задачник по высшей математике стр. 133 № 4,7
стр.134 №44,47
Тема 9 «Ряды»
Урок 2 «Достаточные признаки сходимости числового ряда »
Для
того
чтобы

выяснить,
или
 an  a1  a2  ...  an
сходится
расходится,
ли
числовой
ряд
(1)
необходимо
воспользоваться
n 1
достаточными признаками сходимости, а именно:
1. Признаки сравнения
Первый признак сравнения:
Если 0  a n  bn и ряд

 bn
n 1
 b1  b2  ...  bn

(2) сходится, то ряд (1)
также сходится, а если ряд (1) расходится, то
 an  a1  a2  ...  an
n 1
расходится и ряд (2).
В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать:
3
а) геометрическую прогрессию

 bqn ,
(b  0) , сходящуюся при
q 1 и
n 1
расходящуюся при q  1 ;
в) ряд Дирихле

1 , который расходится;
n 1n
 1
 P , сходящийся при p  1 и расходящийся, при p<1
n 1n
б) гармонический ряд

Второй признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
lim
n 
an
bn
, то ряды (1) и
(2) сходятся и расходятся одновременно.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

 ln(1 
n 1
1 .
)
7n
Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+  ), где
n
 - бесконечно малая величина при
 , и известно, что ln(1  )   , то этот ряд сравниваем с рядом

1
n
n 17

, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со
знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.
2.Признак Даламбера
Пусть
a n  0 , начиная с некоторого n=n0 и существует
предел
an 1
q
n   an
lim
то ряд (1) сходится при q<1 и расходится при q>0. Если q=1, то вопрос о сходимости ряда
(1) остается открытым.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд


n 1
n .
n!
Решение. Найдем
lim
n 
an 1
n  1  n!
n 1
n!
1
 lim
 lim
lim
 1  lim
 q  0,
n


n


n


n


an
(n  1)n!
n 1
(n  1)! n
n
следовательно, исследуемый ряд сходится.
3
5
2n  1
Пример 3. Исследовать ряд 1
 2  3  .. 
 ....
3
3
3
3n
Решение. Найдем
lim
n
an  1
[ 2( n  1)  1]3n
1
2n  1
1
,
 lim
 lim

 q 1
n 
3 n 1 ( 2n  1)
an
3
2n  1
3
n 
следовательно, ряд сходится.
3.Признак Коши
4
,
lim n an  q .
n
Тогда ряд (1) сходится , если q<1, и расходится, если q>1, а при q=1 вопрос о сходимости
ряда (1) остается открытым
Пусть
Пример 4
an  0
( начиная с некоторого n0) и существует предел
Исследовать на сходимость
5n  1 3n .
)
10 n  3

 (
n 1
n
lim
Найдем n  
5n  1 3n
5n  1 3
(
)
 lim (
)  (1 / 2)3  1
n


10 n  3
10 n  3
,
Решение.
следовательно, ряд расходится.
4.Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда
a
n 1
положительны и не возрастают, т.е.
n
a1  a 2  a3  ...,
и
пусть f(x) - такая непрерывная невозрастающая функция, что f(1)=a1, f(2)=a2,… . Тогда
ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится

несобственный интеграл
 f ( x)dx .
1

Пример 5.
Исследовать ряд на сходимость

n 1
1
n ln n
1
Решение. a n 
n ln n
Вычислим несобственный интеграл от функции f ( x ) 
1
, удовлетворяющий условиям
x ln x
интегрального признака.

b
1
dx
 lim ln(ln x)   lim (ln(ln b)  ln(ln 2))  .
1 x ln x dx  blim
   x ln x
b 
b 
2
Интеграл расходится , значит будет расходится и ряд.
Пример 6. Исследовать ряд на сходимость

ln n
n 1
n(ln n  1)
(
тогда
4
), an 
an  f (x) и
ln n
4
n(ln n  1)
f ( x)  (
 f ( n)
ln x
x(ln 4 x  1)
,
).
Исследуем несобственный интеграл на сходимость

ln x
)dx 
4
n  1)
 ( x(ln
2

2

1
ln x d ln x 1 d ln 2 x
1

  4
 lim arctg ln 2 x |   C ,
4
a
x  1) 2 2 ln x  1 2 a  
2
 (ln
т.е. этот несобственный интеграл сходится, следовательно, и исходный ряд также сходится.
В качестве характерных ошибок следует отметить, что иногда сразу пытаются пользоваться
каким-либо из достаточных признаков сходимости ряда, не проверив необходимого признака
сходимости, например, при исследовании на сходимость ряда:
5
Пример 7.


n 1
(
2n  7 n
)
2n  5
При исследовании этого ряда пытаются сразу применить признак Коши, не проверив,
выполняется ли необходимый признак сходимости.
Решение. Исследуем ряд на сходимость:
n
12 lim
12 n
.
2
n
5

n 
2n  7 n
1
2n  5
lim (
)  lim [1 
]
e
 e 6  0
2n  5
n 2n  5
n
(
)
 12
Таким образом, не выполнен необходимый признак сходства ряда, следовательно, все другие
исследования лишены смысла, ряд расходится.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Контрольные вопросы:
Перечислите достаточные признаки сходимости числовых рядов.
Сформулируйте признак Даламбера.
Как определить сходимость несобственного интеграла?
Сколько признаков сравнения и чем они отличаются?
Сформулируйте признак Коши.
Какие условия должны быть соблюдены в интегральном признаке?
Для самостоятельного решения на уроке:
Исследовать ряд на сходимость
1. 
При помощи признака сравнения с гармоническим рядом
1

n 1
(n  3)( n  5)

2.
n2
. При помощи признака Даламбера

n 1 (n  2)!
3.
 n  1 1

 n . При помощи признака Коши

2
n 1  n 
4.


 3
n 1
n2
arctg n При помощи интегрального признака
1 n2
Задание на дом:
Исследовать ряд на сходимость
1. При помощи признака Даламбера а)
2. При помощи признака Коши
а)

n!
 n
n 1 2
б)
n4
 n
n 1 5 n!
 3n  1 


n 1  4n  3 

3. При помощи интегрального признака а)
 6

n 2

2n
n
 4n  3  5


n 1  3n  2 
2

ln 5 n б)  n
2
n 1 n  1
n
6
б)

Тема 9 «Ряды»
Урок 3 «Упражнения на исследование сходимости знакочередующихся числовых рядов»
Определение 1. Ряд
с членами произвольных знаков называется знакопеременным.
Определение 2. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
составленный из модулей членов данного ряда.
Определение 3. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а
ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Среди знакопеременных рядов особо выделяют класс знакочередующихся рядов.
Определение
4.
a1  a 2  a3  ...  (1) n 1 a n  ...
Ряд,
называется
знакочередующимся.
Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде:
- члены, начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине;
1)
, то ряд сходится.
2)
Пример 1. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
.
Решение
Исследуем данный знакочередующийся ряд сразу на абсолютную сходимость. С этой целью
составим ряд из модулей членов данного ряда:
Даламбера:
,
. Применим к этому ряду признак
, где (2n + 2)! = (2n)!(2n + 1)(2n + 2),
= 0 < 1.
Здесь использован 2-й замечательный предел
.Ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный ряд сходится
абсолютно.
7
Контрольные вопросы:
Какой ряд называется знакочередующимся, знакопеременным?
какой ряд называется абсолютно сходящимся, условно сходящимся?
Сформулируйте признак Лейбница.
Для самостоятельного решения на уроке:
Исследовать ряд на сходимость
1.
2.
3.
n1
1. 1  1  1  1  ...  (1)  ... 3.
5
7
2n  1
n
2. 1  1  1  ...  (1)  ...
2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4
n ln n
3

 (1)
n 1
n 1
2n  1
.
n(n  1)
Задание на дом:
Исследовать ряд на сходимость
1 1 1
(1) n1
1  2  2  2  ... 
 ...
3 5 7
(2n  1) 2
1.

2.
1
 ( 2 )
n 1
n 1
n
.
n 1
3. В.С.Щипачев Задачник по высшей математике стр. 137 № 92. 95. 96
Тема 9 «Ряды»
Урок 4 «Функциональные и степенные ряды. Область сходимости степенного ряда»
Определение 1. Функциональным рядом называется выражение: u1 ( x)  u 2 ( x)  ...  u n ( x)  ... ,
члены которого являются функциями от x.
Давая x числовое значение x0 мы получаем числовой ряд:
u1 ( x0 )  u 2 ( x0 )  ...  u n ( x0 )  ... , который может быть как сходящимся, так и
расходящимся.
Определение 2. Множество тех значений x, при которых функциональный ряд сходится,
называется его областью сходимости. В области сходимости сумма (S(x)) функционального ряда
является некоторой функцией от x).
Выделяют особый класс функциональных рядов – степенные ряды вида:
=
называется степенным.
Члены ряда - степенные функции
коэффициентами ряда .
,а
,
,
, ...,
, ... - называются
Этот ряд всегда сходится, по крайней мере, при
. При фиксированном x ряд
представляет из себя числовой ряд, который либо сходится, либо расходится.

Ряд
с0  с1 x  c 2 x 2  ...  c n x n  ...   c n x n
n 0
8
частный случай при x0=0
Определение 3. Интервал (x0-R, x0+R), внутри которого ряд сходится, а вне его - расходится,
называется интервалом сходимости, а число R - радиусом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формул
или
при условии, что пределы, в них входящие, существуют.
Замечание. Для каждого степенного ряда вида, если только он не является всюду
расходящимся, область сходимости представляет собой сплошной промежуток от x0-R до x0+R,
со включением концов или нет. Промежуток этот может быть и бесконечным.
Исследовать степенной ряд на сходимость - значит, найти интервал его сходимости и
выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Найдем радиус сходимости. Здесь
2
.
,
, следовательно,
n 1
cn
n 2
2
 lim n
n  2 ( n  1) 2
n  c
n 1
R  lim
Интервал сходимости характеризуется неравенством -2 < x < 2. Исследуем сходимость ряда в
граничных точках этого интервала. При x = ± 2 степенной ряд принимает вид
.
Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому признаку сходимости
. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с
его интервалом сходимости:
Ответ: область сходимости
.
.
Пример 2.Найти область сходимости степенного ряда
1
x

x3

x5
5 2 52 3 53 4
 ... 
(1)k x 2k 1
 ...
5k k  1
Решение. Формула для радиуса сходимости применима только тогда, когда все ci ≠ 0. В
данном случае с2k = 0 при k ≥ 1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость по признаку
Даламбера при каждом х:
9
lim
k 
ak 1
ak
x 2 k 1
k 1
1
 lim 5 2 kk1 2  x 2 .
k 
x
5
x2
1
k
5 k 1
Следовательно, ряд сходится при 5
и расходится
x2
1
при 5
(так как не выполнено необходимое условие сходимости). Таким образом, данный
степенной ряд сходится при х є (  5 , 5 ). Исследуем сходимость ряда на границах
интервала (самостоятельно).
Свойства степенных рядов
Теорема 1. Степенной ряд (7) можно почленно интегрировать сколько угодно раз на любом
отрезке [а,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда.
Теорема 2. Степенной ряд (7) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз в
каждой точке x его интервала сходимости.
1.
2.
3.
4.
5.
Контрольные вопросы:
Какой ряд называется функциональным?
Что называется областью сходимости функционального ряда?
Какой ряд называется степенным?
Формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда?
Что значит исследовать степенной ряд на сходимость?
Для самостоятельного решения на уроке:
Найти область сходимости степенного ряда

1.
.
xn
.

n
n

1
2.

3.
xn
.

n
n 1 2 n!
Задание на дом:
В.С.Щипачев Задачник по высшей математике стр. 139 № 106. 107. 111
Тема 9 «Ряды»
Урок 5 "Разложение функции в ряд Тейлора"
Если функция f(x) имеет в точке x = x0 и некоторой ее окрестности производные до n-го порядка
включительно, то в каждой точке этой окрестности она представима в виде ряда Тейлора
f ( x)  f ( x0 ) 
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n  ...
1!
2!
n!
При x0= 0 ряд Тейлора имеет вид
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  ... и называется рядом
1!
2!
n!
Маклорена.
10
Основными табличными разложениями являются следующие ряды Маклорена (доказать):
Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других
функций.
ln
Пример 1. Разложить функцию
Решение.
ln
1 x
.
1  x в степенной ряд


1 x
x 2 x3 x 4 x5
 ln( 1  x)  ln( 1  x)   x 



 ...  
1 x
2
3
4
5




x 2 x3 x 4 x5
2 x3 2 x5
   x 



 ...   2 x 

 ...
2
3
4
5
3
5


1.
2.
3.
Контрольные вопросы:
Какой ряд называется рядом Тейлора, Маклорена?
Какое свойство степенных рядов используется для вывода ряда Тейлора?
Вывести ряд Тейлора.
Для самостоятельного решения на уроке:
Разложить в степенной ряд
1.
e x
2
.
x10
.
2. 1  x
3.
cos 2 x.
Задание на дом:
В.С.Щипачев Задачник по высшей математике стр. 142 № 122. 129. 138
11
Тема 9 «Ряды»
Урок 6 "Упражнения на разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Самостоятельная работа"
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
Пример 1. Вычислить приближенно sin1 с точностью 0,0001:
Решение. Полагая х = 1 в разложении в ряд Маклорена для sin x, имеем
1
1
1
sin 1  1   
 ...
3! 5! 7!
Если в разложении оставить три первых члена, то погрешность по абсолютной величине будет
1
1
1 1

sin 1  1    0,8417
7
!
5040
3
! 5!
меньше
. Отсюда
с точностью до 0,0001.
Подготовка к самостоятельной работе
1.
2.
3.
4.
1 1
1
1
 

 ...
2 12 30 56
1 1
2n  1
Исследовать ряд на сходимость а) a n 
б) 1    ...
n
4 9
2
n

( x  3)
Найти интервал сходимости 
n2
n 1
1
Разложить в степенной ряд а)
б) sin 3x
1  2x
Найти формулу общего члена ряда
Задание на дом:
В.С.Щипачев Задачник по высшей математике стр. 133 №19 стр. 75. 78
стр.137 №98 стр.139 №105 стр.142 №120. 121
12