Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
y  f x  НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ a ; b
Теорема 1. Функция y  f x  , непрерывная на отрезке a ; b , достигает на нем наибольшего и
наименьшего значений.
Теорема 2. Областью значений функции y  f x  , непрерывной на a ; b , является отрезок
min f x ; max f x 
a ;b
a ;b
Алгоритм
1. Найти критические точки функции y  f x  (внутренние точки из области определения функции, в
которых производная равна нулю или не существует).
2. Выбрать из них те, которые лежат внутри a ; b .
3. Вычислить значение функции y  f x  в точках a и b , а также в критических точках функции ,
лежащих внутри a ; b .
min f x 
max f x 
4. Выбрать из полученных чисел наименьшее (это будет a ;b 
) и наибольшее (это будет a ;b 
).
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
y  f x  НЕПРЕРЫВНОЙ НА ИНТЕРВАЛЕ a ; b 
1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале a ; b  , надо
исследовать ее, если это возможно, на отрезке a ; b . Если наибольшее (наименьшее) значение
достигается функцией во внутренней точке отрезка a ; b , то оно будет наибольшем (наименьшим)
значением и на интервале a ; b  , а если на конце отрезка a ; b , то на интервале a ; b  наибольшего
(наименьшего) значения функция не имеет.
2. На практике часто встречается такой случай, когда внутри интервала a ; b  заданная непрерывная
функция имеет только одну точку экстремума. Тогда помогает следующая теорема.
Теорема
Пусть функция y  f x  , непрерывная на интервале a ; b  , имеет на этом интервале только одну
точку экстремума – точку x1 . Тогда если x1 - точка максимума, то f x1 - наибольшее значение
функции f x  на интервале a ; b  ; если же x1 - точка минимума, то f x1  - наименьшее значение
функции f x  на интервале a ; b  .