     

1
ЛЕКЦИЯ 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
9.1 Определение определенного интеграла
y  f  x  определена на отрезке a, b, a  b  .
Пусть функция
Разобьем отрезок a, b на n произвольных частей точками
a  x0  x1  x2  ...  xi 1  xi  ...  xn  b (рис.36).
y
y  f x 
0 x a 
0
1
x1
2
x2
xi 1  i
Рисунок 36
n
xi
xn  b
x
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку 
и
i
вычислим значение функции в ней, т.е. величину f i  , i = 1,2,…,n.
Составим сумму произведений значений функции f i  на длину
частичного отрезка
Δ xi  xi  xi 1 ,
получим
n
S n  f 1 x1  f  2 x 2  ...  f  n x n   f  i xi .
(9.1)
i 1
Сумма (9.1) называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й функции
f  x  на отрезке a, b. Обозначим через  длину наибольшего частичного
отрезка
  maxx i .
1i  n
Если существует конечный предел интегральных сумм S n при
  0 , который не зависит ни от способа разбиения отрезка a, b на
частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называется
i
о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м от функции f  x  на отрезке a, b и
b
обозначается
 f x  dx .
a
Таким образом,
2
b
n
a
i 1
 f  i xi .
 f x dx  lim
0
(9.2)
Числа а и b называют соответственно н и ж н и м и в е р х н и м
пределами интегрирования.
Теорема Коши. Если функция f  x  непрерывна на отрезке a, b, то
b
 f x  dx существует.
a
Теорема. Если функция f  x  интегрируема на отрезке a, b, то она
определенный интеграл
ограничена на этом отрезке.
9.2 Основные свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл
меняет знак на противоположный, т.е.
b
a
a
b
 f x  dx   f x  dx .
2. Определенный интеграл с равными нижним и верхним пределами
равен нулю, т.е.
a
 f x  dx  0 .
a
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла, т.е.
b
b
a
a
 k  f x dx  k   f x dx ,
k  const .
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких
функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от
слагаемых
b
b
b
a
a
a
  f x   x  dx   f x  dx   x  dx .
5. Для любых чисел а , b и c имеет место равенство
b
6. Если f  x   0
c
b
 f x  dx   f x  dx   f x  dx .
a
a
c
x  a, b , то
b
 f x  dx  0 .
a
7. Если f  x     x  x  a, b , то
b
8. Если m  f  x   M
b
 f x  dx   x  dx .
a
a
x  a, b, a < b, то
3
b
m b  a    f x  dx  M b  a  ,
a
где m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции у  f  x  на отрезке a, b.
9. Теорема о среднем. Если функция y  f  x  непрерывна на отрезке
a, b, a  b  , то найдется такое значение c  a, b, что
b
 f x  dx  f c   b  a  .
a

2  f  x dx, если f  x   четная
10.  f  x dx   0
a
0, если f x   нечетная
a
a
11.
b
b
a
a
 f x  dx   f x  dx .
12. Производная определенного интеграла от непрерывной функции по
переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной
функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

x

  f t  dt   f  x  .
a

13. Связь между неопределенным и определенным интегралами

x
f x  dx   f t  dt  c .
a
14. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования
b
b
b
a
a
a
 f x  dx   f t  dt   f z  dz .
9.3 Формула Ньютона – Лейбница
Теорема. Если функция y  f  x  непрерывна на отрезке a, b и F  x 
– любая ее первообразная на отрезке a, b , то имеет место формула
b
 f x dx  F b  F a  .
a
Эта формула называется ф о р м у л о й Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а
и ее можно записать в виде
b
b
a
a
 f x  dx  F x 
 F b   F a  .
4
Примеры.
x3
1.  x dx 
3
2
3
2
3
2

2.

 sin xdx   cos x  cos   cos 0   1  1  2 .
0
0
2
3.
2
dx
 ln x  ln 2  ln 1  ln 2 .
x
1
1

3
4.
33 2 3 19


 .
3
3
3
e
0
x
dx  e
x
3
 e 3  1.
0
9.4 Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть f  x  непрерывная функция на отрезке a, b .
Если:
1) функция x   t  и  t  непрерывны при t   ,  ;
2) множеством значений функции x   t  при t   ,   является
отрезок a, b ;
3)     a и     b ,
то
b

a

 f x  dx   f t t  dt .
Эта формула называется ф о р м у л о й з а м е н ы п е р е м е н н о й
в определенном интеграле.
Замечания.
1.
Часто вместо подстановки x   t  применяют подстановку t  g  x  .
2.
При замене переменной нужно поменять пределы интегрирования.
3.
При вычислении определенного интеграла методом замены
переменной не надо возвращаться к старой переменной.
1
Пример 9.1. Вычислить

1  x 2 dx .
0
1

Решение.
x  sin t


dx  cos tdt
2
2
2
2
1  x dx  при x  0, t  0   1  sin t  cos t dt   cos2 t dt 
0


при x  1, t 
2

2
0

2
0
1
1  cos2t dt  1  t  1 sin 2t   1    1 sin   sin 0   .

20
2 2
 0 2 2 2
 4
5
9.5 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Теорема. Если функции U  U x  и V  V x  имеют непрерывные
производные на отрезке a, b , то справедлива формула:
b
b
a
a
 U dV  UV
Доказательство.
Т.к.
b
  V dU .
a
UV   U   V  U  V 
x  a, b,
то UV является первообразной для U   V  U  V  , тогда
b
b
a
a
 U   V  U  V  dx  UV
или
b
b
 V  U  dx   U  V  dx  UV
a
a
b
,
a
отсюда
b
b
a
a
 U dV  UV
b
  V dU .
a
2
Пример 9.2. Вычислить  xe x dx .
1
Решение.
Ux
2
dU  dx
x
 xe dx  dV  e x dx
1
V   e dx  e
x
 xe
x
2
1
2
  e dx  2e  e  e
x
2
1
x
e
Пример 9.3. Вычислить  x  ln xdx .
1
Решение.
U  ln x
dx
dU 
e
x
 x  ln xdx  dV  xdx
1
x 2 e 1 e 2 dx
 ln x 
 x 

2 1 21
x
x2
V   xdx 
2
2
2 e
2
e
1 x
e
e2 1 e2 1 1 2
 0 
      e 1 .
2
2 2 1 2 4 4 4 4 4


x
2
1
 2e2  e  e 2  e  e 2 .