ВОПРОСЫ к переводному экзамену в 10 класс по курсу математики

ВОПРОСЫ
к переводному экзамену в 10 класс по курсу математики
1. Четные и нечетные функции. Доказать теоремы об их графиках. Доказать
арифметические теоремы об указанных функциях. Привести примеры.
2. Периодические функции. Основной период (Лемма). Доказать теорему о
периоде для функции y=f(kx), по периоду функции y=f(x). Привести примеры.
3. Периодические функции. Доказать арифметические теоремы о периодических
функциях. Доказать теорему о сложной функции от периодической функции.
Привести примеры.
4. Функции синус и косинус, доказать свойства и построить график.
5. Функции тангенс и котангенс, доказать свойства и построить график.
6. Функции секанс и косеканс, доказать свойства и построить графики.
7. Доказать теоремы сложения. Вывести формулы приведения и формулы
двойных и половинных углов.
8. Вывести формулы тригонометрических функций через тангенс половинного
угла.
9. Вывести формулы для суммы и произведения тригонометрических функций.
10.Прямая на плоскости. Вывести уравнение прямой, проходящей через две
точки. Доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вывести
формулу для угла между прямыми.
11.Квадратный трехчлен Выделение полного квадрата и формулы для его корней.
Дискриминант. График квадратичной функции.
12. Квадратное уравнение. Доказать прямую и обратную теоремы Виета.
13.Необходимые и достаточные условия для заданного расположения корней
квадратичной функции на числовой оси. (Доказать одну из теорем по указанию
преподавателя)
14.Скалярное произведение векторов. Угол между векторами и расстояние между
точками. Доказать неравенство Коши-Буняковского.
15.Декартова система координат. Доказать теоремы о длине вектора, расстоянии
между точками и угле между векторами, о де-лении отрезка в данном отношении.
16. Определение прямой. Доказать единственность прямой, проходящей через две
точки. Вывести векторное уравнение прямой в аффинной системе.
17. Определение плоскости. Доказать единственность плоскости, проходящей
через три точки. Базис плоскости. Вывести формулы перехода от одного базиса к
другому.
18. Компланарные и коллинеарные векторы. Доказать признак компланарности
векторов.
19. Векторное произведение векторов. Доказать свойства векторного
произведения (кроме дистрибутивности). Векторное произведение и
коллинеарность векторов. Вычисление векторного произведения в декартовой
системе координат.
20. Смешанное произведение векторов. Доказать свойства смешанного
произведения. Смешанное произведение векторов в декартовой системе
координат. Доказать признак компланарности векторов.
21. Теорема Безу. Следствия.
22. Связь между корнем многочлена и делимостью его на линейные множители.
Схема Горнера.
23.Простой и кратный корень многочлена. Теоремы о рациональных корнях
многочлена с целыми коэффициентами.
24. Дробнорациональная функция. Правильная и простейшая рациональные
дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и
правильной дроби.
25. Степенная функция с натуральным, целым и рациональным показателем,
свойства и график.
26. Показательная функция, свойства и график.
27. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Доказать теорему о
логарифме произведения. Доказать теорему о логарифме степени. Доказать
теорему о логарифме частного
28. Доказать теорему о логарифме числа по основанию а и теорему о переходе к
новому основанию.
29. Логарифмическая функция, свойства и график.
30.Предел последовательности. Доказать теорему о единственности предела.
31. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, ее сумма.
32. Функции y=arcsin x, y=arccos , свойства и график.
33. Функция y=arctg x, y=arcctg x, свойства и график.
34. Решение простейших тригонометрических уравнений.
35.Предел функции по Коши. Предел функции по Гейне. Доказать
эквивалентность этих определений.
36. Бесконечно малая функция. Доказать теорему о функции, ее пределе и
бесконечно малой, а также теорему о произведении бесконечно малой функции на
ограниченную.
37. Доказать арифметические теоремы о пределах.
38. Бесконечно большая функция. Доказать теорему о связи бесконечно большой
и бесконечно малой функций.
39. Односторонние пределы. Связь существования предела в точке с
существованием односторонних пределов.
40. Доказать теоремы о единственности предела в точке и о предельном переходе
в равенстве.
41. Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве и теорему о "зажатой"
функции.
42. Доказать теорему о пределе сложной функции (замена переменной в пределе).
43. Первый замечательный предел и следствия.
44. Второй замечательный предел и следствия
45. Непрерывность функции в точке. Доказать эквивалентность двух определений
непрерывности.
46. Арифметические теоремы о непрерывных функциях.
47. Непрерывность элементарных функций. Доказать теоремы о непрерывности
сложной функции.
48. Классификация точек разрыва. Вертикальные асимптоты.
49. Обратная функция. Признак обратимости
50. Производная, ее геометрический смысл. Касательная и нормаль к графику
функции в точке.
51. Вывести формулу для производной степенной функции и функции, обратной
синусу.
52. Вывести формулу для производной показательной функции и функции,
обратной косинусу.
53. Вывести формулу для производной логарифма и функции, обратной тангенсу.
54. Вывести формулы для производной синуса и тангенса.
55. Вывести формулы для производной косинуса и котангенса.
58. Левая и правая производные. Бесконечная производная. Производная сложной
функции.
57. Арифметические теоремы о производных.
58. Понятие максимума и минимума функции в точке. Теорема Ферма.
51. Доказать теорему Ролля.
60. Доказать теорему Лагранжа. Формула конечных приращений.
61. Докаэать необходимое и достаточное условия экстремума.
62.АСИМПТОТЫ. Виды и уравнения асимптот.
6З. Вторая производная. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
64.0бщая схема исследования и построения графика функции. Привести примеры,
65.Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и
плоскости.
66.Перпендикулярность в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
67. Нормаль к плоскости. Теорема о существовании. Следствия. Признак
перпендикулярности плоскостей.
70. Теорема о трёх перпендикулярах.
71. Комплексные числа. Комплексная плоскость. Операции над комплексными
числами в декартовой форме.
72. Комплексно-сопряженные числа. Арифметические теоремы о комплексносопряженных числах.
73.Основная теорема алгебры (без док-ва). Следствие о разложении многочлена nой степени в произведение n линейных сомножителей.
74.Основная теорема алгебры. Следствие о количестве корней многочлена
степени n. Обобщенная теорема Виета.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. При ответе на вопросы билета обязательно теоретический материал
иллюстрировать примерами.
2. Весь пройденный материал, не включенный в список вопросов, может быть
проверен с помощью задач и дополнительных вопросов.