Поговорим про функции

Поговорим про функции
Опять функции
1. Доказать, что не существует функции f(n): Z+→Z+ такой, что
f(f(n)) = n+2009.
2. Функция f(n): N→N. Докажите, что если f(n+1) > f(f(n)) для любого
n, то f(n) = n
3. Найти все функции двух переменных
удовлетворяющие соотношениям:

f :NN
N,
10. Постройте непрерывную функцию, имеющую на каждом отрезке
бесконечно много максимумов и минимумов.
f(x, x) = x,
f(x, y) = f(y, x),
(x + y)f(x, y) = yf(x, x + y).
4. Пусть a – нечетная цифра, а b – четная цифра. Доказать, что для
любого натурального n существует число, кратное 2n, в десятичной
записи которого встречаются только цифры a и b.
5. Найти все функции f :R  R, удовлетворяющие соотношению: f(x)
+ f(y) = f(f(x)f(y)).
6. Пусть Pk(x) = 1 + x + x2 + … + xk–1. Доказать, что
9. Назовем
счетномерным
кубом
множество
всех
последовательностей действительных чисел, каждое из которых
0≤xi≤1. Докажите, что множество точек счетномерного куба имеет
мощность континуум.
n
C
k 1
k
n
Pk ( x ) =
 x  1  для любых натурального n и вещественного x.
2 n 1 Pn 

 2 
11. *Существует ли f: R  R и 1) f(1997)=1997 1997 ; 2) f ( f ( x))  x ;
3)
для
каждого
действительного
a
уравнение
f ( f (a  x)  x)  f ( f (a)  x)  x в любом интервале числовой оси
имеет бесконечно много иррациональных корней?
12. Найти все такие f: R  R ,
f ( x  y)  f ( x 3  y 3 ), x, y  R
13. Функция f(x, y): Z+×Z+ → R. Известно, что а) f(0,y) = y+1; б)
f(x+1,0) = f(x,1); в) f(x+1, y+1) = f(x, f(x+1,y)). Найдите f(4, 1981).
14. По кругу расставлен произвольный набор из 1 и -1 длиной 2k . Из
него получается новый набор по правилу: каждое число
умножается на соседнее против часовой стрелки. Доказать, что в
конце концов получится набор из одних 1
7. Функция f(n): Z+→Z+ удовлетворяет следующим условиям: а) f(1)
= 1; б)а(3) = 3; в) f(2n) = f(n); г) f(4n+1) = 2f(2n+1)−f(n); д) f(4n+3) =
3f(2n+1)−2f(n). Найдите количество таких значений n, для которых
f(n) = n и 1≤n≤2009.
15. Найдите все функции f(x): R→R такие, что
8. Докажите, что для любого
 3 n  3 n  2 3   1 делится на 8.


16. Функция f(n): N→Z+. Известно, что а) f(n+m)–f(m)–f(n) при любых n
и m принимает значение 0 или 1; б) f(2) = 0; в) f(3) > 0; г)
f(9999) = 3333. Найдите f(2007) и f(2008)


натурального
n>2
число
x  1 f  x  1   f ( x)  x
 x 1 
при x≠1.