М Е Х А Н И К А

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
правила действия со степенями:
ах . ау = а (х+у)
ах / ау = а (х-у)
(ах)у = аху
1/ах = а-х
тригонометрия
α
sinα = a/c
cosα = b/c
b b
c
tgα = a/b
а
формулы приведения
теорема Пифагора:
с2 = а2 + b2
теорема косинусов: с2 = а2 + b2 – 2 аb cosα
площадь треугольника
S = (ab/2)sinα = ah/2
площадь круга
S = π r2 = π d2/4
длина окружности
l = 2π r = π d
объем шара V = 4/3 π r3 = π d3/6
действия с векторами
площадь трапеции
площадь сферы
S = (a + b) h /2
S = 4π r2 = π d2
площадь сектора с углом α S = α r2/2
объем параллепипеда V = S h = ld h
МЕХАНИКА
I.
КИНЕМАТИКА
Физические величины – буквенное обозначение (единицы измерения)
Основными единицами измерения являются: кг, м, с.
Остальные единицы измерения могут быть выражены через них.
Связь основных и составных единиц измерения
1 Н = (кг м)/с2; 1 Дж = (кг м2)/с2 = Н м;
1 Вт = (кг м2)/с3 = Дж/с = (Н м)/с
1 Па = кг/(с2 м) = Н/м2
Координата – х,у (м);
пройденный путь(длина) – l (м);
перемещение - S (м);
высота – h (м)
скорость (линейная) – v (м/с);
угловая скорость – w (рад/с);
ускорение – а (м/с2);
время – t (с)
ускорение свободного падения – g=9,8 м/с2
период вращения – Т (с);
частота вращения – n (с-1);
угловая скорость – ω (рад/с)
Основная задача механики: определение положения тела относительно других тел в любой
момент времени.
Система отсчета: тело (точка) отсчета, связанная с ним система координат и часы.
Материальная точка: тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
законы сложения скоростей и перемещений
в векторной форме: v = v1 + v2
s = s1 + s 2
где:
v - cкорость тела относительно неподвижной системы отсчета (перемещение – s)
v1 – cкорость тела относительно подвижной системы отсчета (перемещение – s1)
v2 - cкорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета
(перемещение – s2)
кинематические уравнения - это уравнения зависимости x(t); y(t); v(t)
уравнение траектории это уравнение y(x) – надо из уравнения x(t) выразить t, подставить
это значение в y(t) и получится y(x).
средняя скорость – весь путь, деленный на все время:
vcp = (l1 + l2 + …) / (t1 + t2 + …)
дополнительные формулы для перемещения: s = (v2 – v02)/2a
перемещение за n-ую секунду движения:
sn = a/2(2 n – 1)
Геометрический смысл пройденного пути: перемещение тела за время t определяется по графику
зависимости скорости от времени (v(t)) как площадь фигуры ограниченной этим графиком и
значением времени.
Задачи на движение под действием силы тяжести
движение по вертикали:
высота
h=gt2/2
время полета
t=√2ℎ/𝑔
тело брошено с некоторой высоты, скорость направлена горизонтально:
высота
h=gt2/2
дальность
L=v0t
время полета
тело брошено со скоростью направленной под углом к горизонту:
дальность
L=(2v02 sinα cosα)/g
время подъема: t=(v0 sinα)/g
высота
h=(vo2 sin2α)/2g
время полета: t=(2v0 sinα)/g
t=√2ℎ/𝑔
Особенности криволинейного движения:
1. Если точки расположены на одном диске, но на разных расстояниях от центра, то у них одинаковая
угловая скорость.
2. Если диски разные, но вращаются вместе (связанные – ременная передача, или соприкасающиеся),
то одинаковая линейная скорость.
3. Расчет движения различных точек обода колеса, движущегося по горизонтали со скоростью Vг
А
По правилу сложения скоростей:
точка А: VA = Vг + Vвр
или VA = 2Vвр
точка В и D: VВ = VD = Vг + Vвр или VВ = VD = Vвр 2
D
B
точка С: VС = Vг - Vвр
или VС = 0
точка О: VО = Vг
C
Алгоритм решения задач с использованием уравнений движения:
1. Сделать схематичный рисунок с указанием направления скоростей и системой координат
2. Написать общий вид необходимых уравнений движения: x(t), y(t), vx(t), vy(t)
3. Записать начальные и конечные условия (x0, y0, vox, voy, x, y, vx, vy )
4. Уравнения движения записать с учетом (3) и решить полученные уравнения относительно искомой
величины.
II.
ДИНАМИКА
Физические величины – буквенное обозначение (единицы измерения)
масса тела – m (кг)
плотность – ρ (кг/м3)
коэффициент жесткости – k (Н/м);
коэффициент трения (сопротивления) - µ
сила – F (Н),
сила реакции опоры – N (Н),
сила натяжения нити – Т (Н),
вес тела - Р (Н)
правила нахождения проекций векторов
Инерция – явление сохранения скорости тела
Закон инерции (принцип относительности Галилея): если на тело не действуют другие тела или
их действие скомпенсировано, то тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.
Инертность – свойство тел сохранять скорость
Масса тела – это мера его инертности
m=ρV
Сила – физическая величина, характеризующая взаимодействие тел и являющаяся причиной
ускорения.
Результирующая (равнодействующая) сила – векторная сумма всех сил, действующих на тело.
Fрез = F1 +… + FN
1-й закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета (инерциальные), относительно которых,
тело, на которое не действуют другие тела или их действие скомпенсировано
(Fрез =0) покоится или движется равномерно и прямолинейно.
Инерциальные системы – это неподвижные или движущиеся равномерно и прямолинейно
системы отсчета
2-й закон Ньютона: Результирующая сила (векторная сумма всех сил действующих на тело) равна
произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. Fрез = ma; F ↑↑ a
3-й закон Ньютона: Сила действия равна противодействию. F12 = - F21
Силы приложены к разным телам. Пример: сила реакции опоры (нормального
давления) и вес тела.
Сила Всемирного тяготении:
сила тяжести
Fтяж = mg
F = GMm/R2
ускорение свободного падения при
1-я космическая скорость и скорость полета спутника
h≪R
g = GM/R2
vI =√𝐺𝑀/𝑅 = √𝑔𝑅 ; vII = vI √2
Для Земли vI = 7,9 км/с; vII = 11 км/с
Вес тела:
а = о, Р = mg
а↑↑g, P = m(g – a)
a↑↓g, P = m(g + a)
Невесомость – вес равен 0, свободное падение: а = g
Частным случаем сил упругости являются сила натяжения нити
частный случай силы упругости: сила натяжения нити (Т) и сила реакции опоры или нормального
давления (N)
Сила трения – сила возникающая между соприкасающимися телами и направленная против
возможного движения
Fтр = µN (для движения по горизонтали Fтр = µmg )
Алгоритм решения задач на динамику:
1. Сделать рисунок, где изобразить все силы, действующие на тело или несколько тел.
2. Выбрать и начертить систему отсчета (иногда для нескольких тел, например для связанных
тел).
3. Записать для данной задачи 2-й закон Ньютона в векторной форме для каждого тела.
4. Переписать (3) в проекциях на оси координат и с учетом данных задачи.
5. Полученные уравнения решить относительно искомой величины.
III. СТАТИКА
Точка опоры(точка вращения) – точка, относительно которой может вращаться тело.
Плечо силы – кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы – d (м)
Момент силы – произведение силы на ее плечо – М (Нм)
Если сила вращает тело по часовой стрелке, то М>0, если протии часовой стрелки, М<0
Условия равновесия:
1) Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна 0. 𝛴Fi = 0
2) Cумма моментов всех сил равна 0.
𝛴 Мi = 0
«Золотое» правило механики: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз
проигрываем в расстоянии – ни один из механизмов не дает выигрыша в работе.
Если в сообщающихся сосудах налиты неоднородные жидкости, то чем больше плотность
жидкости, тем меньше высота столба этой жидкости в колене сообщающегося сосуда.
При движении жидкости (газа) по трубам разной толщины – действует следующее правило
(закон Бернулли): чем толще труба (больше площадь поперечного сечения), тем меньше
скорость и больше давление, отсюда и возникает подъемная сила крыла.
IV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Физические величины – буквенное обозначение (единицы измерения)
работа – А (Дж);
энергия – Е (Дж);
мощность – N (Вт);
коэффициент полезного действия КПД – η (%)
импульс тела – р (кг м/с)
Импульс силы – произведение силы на время ее действия (F t). Импульс силы равен изменению
импульса тела
Ft=∆p
Механическая работа:
A = Fs cosα
Работа силы тяжести
Работа силы упругости
Работа результирующей силы
A(Fтяж) = - ∆Ep
A(Fупр) = - ∆Ep
A(Fрез) = ∆Eк
если действуют силы сопротивления, то
или
Ер2 + Ек2 = Ер1 + Ек1 + Q
A(Fтр) = - ∆Eп = - ((Ер2 + Ек2) - (Ер1 + Ек1)) = Q
(где Q – выделившееся в результате трения количество теплоты)
Алгоритм решения задач на законы сохранения:
1. Записать закон сохранения (изменения) энергии (импульса) в общем виде.
2. Определить начальную и конечную энергию (импульс) тела.
3. Записать (1) с учетом (2) (и проекций для импульса).
4. Решить полученные уравнения относительно искомой величины.
V.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием периодически
изменяющейся внешней силы.
Резонанс – резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадение частоты внешней силы и
собственной частоты колебаний.
Звук – механическая продольная волна. Распространяется только в веществе, чем плотнее
вещество, тем больше скорость звука в нем.
Высота тона звука зависит от частоты колебаний источника звука
Громкость звука зависит от амплитуды колебаний источника звука