АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ В ДРЕВНОСТИ Цели урока: Познавательные:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ В
ДРЕВНОСТИ
Цели урока:
Познавательные:

закрепить знания по теме «Арифметическая и геометрическая
прогрессии»;

учиться применять полученные знания и способы действий в
разнообразных ситуациях, на практике;

формировать умения сравнивать математические понятия, находить
сходства и различия, анализировать;
Развивающие:

продолжить работу по развитию умений наблюдать, подмечать
закономерности, проводить рассуждения по аналогии;

создавать условия для самостоятельного комплексного применения
знаний.

развитие интереса к истории математики.
Воспитательные:
 содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям,
активности, умению общаться, работать коллективно, аргументировано
отстаивать свои взгляды;
 воспитание чувства товарищества, ответственности, сотрудничества.
План урока:
I. Организационный момент.
Нам людям свойственно искать
закономерности в явлениях нас окружающих.
И миру чисел исключением не стать:
Прогрессии – движенье мысли в умах рождающие,
закономерности, которые нам надо постигать.
Вчера, сегодня, завтра…
Древнейшие задачи на прогрессии,
в папирусах дошедшие до нас,
ни капли не несущие агрессии,
И в нашем веке увлекают не на час.
Задачу о делении хлеба
(2 тысячи лет до нашей эры),
египетский папирус сохранил,
сегодня её не всякий школьник бы решил.
Индийский изобретатель шахмат
нас очень сильно удивил,
поскольку остроумие, смекалку проявил.
Сегодня на уроке лозунг нас зовёт:
«Прогрессио – движение вперёд!»
Мы начинаем наш урок.
Ваши глубокие познания прогрессии
должны всех нас сегодня удивить.
Все устные задания
вам нужно на одном дыхании решить.
Ведь формулы и определения известны нам теперь.
И в мир задач решения нам широко открыта дверь.
II. Систематизация знаний
Учитель: Сегодня на уроке мы будем решать старинные задачи на
арифметическую и геометрическую прогрессии. Но прежде чем приступить
к их решению, необходимо вспомнить теоретический материал, на котором
базируется решение задач.
Фронтальная работа с классом.
1. Дать определение арифметической и геометрической прогрессий.
2. Как называются элементы в арифметической и геометрической
прогрессиях?
3. Что называется разностью арифметической прогрессии?
4. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
5. Какая последовательность называется возрастающей?
6. Какая последовательность называется убывающей?
7. Среди каждой группы формул выбрать верную.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Сумма первых n- членов арифметической прогрессии:
Сумма первых n -членов геометрической прогрессии:
8. Решите устно задачи.
№1. Дано: ( a n ) – арифметическая прогрессия, a1 =-2, a 2 = 4.
Найти: d- ?, a 7 - ?
№2. Дано: ( bn ) – геометрическая прогрессия, b1 =2, b2 = 1.
Найти: q- ?, b4 - ?
№3. Дано: ( a n ) – арифметическая прогрессия, a1 =-2, a 8 = 14.
Найти: S 8 - ?
№4. Дано: ( bn ) – геометрическая прогрессия, b1 =1, b2 = 2.
Найти: S 4 - ?
№9. Определите вид прогрессии, соответствующий условию данной
задачи. Объясните свой ответ.

Игорь начал утренние тренировки в беге с 2 км в день. Он решил
каждую неделю увеличивать дистанцию на одно и то же расстояние,
так чтобы в одиннадцатую неделю пробегать 4 км в день. Найдите это
расстояние.
Ответ: Арифметическая прогрессия, так как дистанция
увеличивается на одно и то же расстояние.

Завод приобрел 5 электромоторов, мощности которых отличаются в
одно и то же число раз. Рассчитать мощности трех средних моторов,
если известно, что наименьшая мощность мотора 5 кВт, а наибольшая
13,72 кВт.
Ответ: Геометрическая прогрессия, так как мощности моторов
отличаются в одно и то же число раз.

Каждый курильщик выкуривает в день в среднем 8 сигарет. После
выкуривания первой сигареты в легких оседает 0, 2 мг никотина и
табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество
увеличивается на 0,001 мг . Какое количество вредных веществ оседает
в легких за неделю?
Ответ: Арифметическая прогрессия, так как количество вредных
веществ увеличиваетсяна одно и то же число.
III. Самостоятельная работа:
I уровень: математический диктант по формулам. (менее подготовленные
обучающиеся)
II уровень: самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой
III уровень: компьютерное тестирование.
I уровень Математический диктант по формулам
1
2
bn q  b1
q 1
1
bk2  bk 1  bk 1
2
Sn 
Формула суммы n первых членов
арифметической прогрессии
Характеристическое
свойство арифметической прогрессии
3
 n  1  (n  1)d
3
Первый член арифметической прогрессии равен
6, пятый член – 6. Найти сумму первых пяти
членов.
4
S5 = 11
4
Формула n - го члена геометрической
прогрессии
5
Sn 
1   n
2
n
5
Характеристическое
свойство геометрической прогрессии
6
2;4;8;16;32;…;
6
Первый член геометрической прогрессии равен
1, знаменатель равен – 2. Найти сумму первых
пяти членов.
7
bn  b1  q n 1
8
k 
7
 k 1   k 1
Пример арифметической прогрессии
Формула суммы n первых членов
8
2
геометрической прогрессии
9
1;4;7;10;13;…;
9
10
S5 = 0
10
Пример геометрической прогрессии
Формула n - го члена
арифметической прогрессии
Лист ответа:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Выполнил:___________________________
Количество правильных ответов:________
Оценка:______
Проверка выполнения работы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
6
1
5
4
2
7
3
Критерии оценок:
«5» - 9-10 правильных ответов
«4» - 7-8 правильных ответов
«3» - 4-6 правильных ответов
«2» - менее 4 правильных ответов
II уровень. Самостоятельная работа.
Ответы
Вариант I
Вариант II
Вариант Вариант
I
II
Дана арифметическая прогрессия
1)
1)
-3
-2
2)
2)
10
8
3)
3)
28
46
4)
4)
-15
-20
Дана геометрическая прогрессия
5)
6)
1/2
1/2
6)
7)
27
8
7)
8)
-2
-1
8)
9)
15
5
Взаимопроверка:
«5» - 8 баллов;
«4» - 6 – 7 баллов;
«3» - 5 – 4 баллов;
«2» - меньше 4 баллов.
IV. Игровая разминка.
На экране записано 20 чисел:
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40.43,46,49,52,55,58.
Учитель стоит спиной к экрану. Ученики называют номер числа, а
учитель мгновенно называет само число. Потом он предлагает учащимся
объяснить, как ему это удаётся
(Учитель помнит формулу n-го члена а=3n -2).
V.
Исторический экскурс.
Сообщение обучающегося «Из истории прогрессий».
Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским
автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение
вперед” (как слово «прогресс»).
Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних
народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах
встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что
в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача –
легенда на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат,
насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. «Индийский царь
Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету,
чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём,
потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за
вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д. Оказалось, что царь не был в
состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». В задаче надо найти
сумму 64 членов геометрической прогрессии
1; 2; 22; 23; ...; 263 с
первым членом 1 и знаменателем 2.
S  1  2  22  23  24...  263  264  1  18446744073709551615
(18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона
709 миллионов 551 тысяча 615)
Такое количество зерен можно собрать лишь с урожая планеты,
поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.
Задачи на геометрические и арифметические прогрессии
встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском
трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек
вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической
прогрессии 1; 2; 22; ..; 2
n 1
; ....
Вот другая задача, которую решали в Древнем Вавилоне во втором
тысячелетии до новой эры: «10 братьев, 1 и две трети мины серебра. Брат
над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6
шекелей. Брат над братом - на сколько он выше?»
Здесь требуется по сумме первых десяти членов геометрической
прогрессии 1 и двух третей мины (1 мина = 60 шекелей) и известному
восьмому члену определить разность арифметической прогрессии.
Следует отметить, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия,
и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения
суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге
абака» (1202) Леонардо Пизанского.
Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
была известна П. Ферма (XVII в.). В старорусском юридическом сборнике
«Русская правда» (Х-Х1 вв.) содержатся выкладки количества зерна,
собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат
вычисление суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.
V I. Решение старинных задач.
А сейчас мы попытаемся решить старинные различных источников.
В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач есть более
старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском
папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад,
составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще
более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к
третьему тысячелетию до нашей эры.
Задача №1: Древнейшая задача о делении хлеба.
(задача из папируса Ринда)
Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на
столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго,
четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое
первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать
каждому?
Решение:
Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют
возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x,
разность y. Тогда:
а 1–Доля первого – x,
а2–Доля второго – x+y,
а3–Доля третьего – x+2y,
а4–Доля четвертого – x+3y,
а5–Доля пятого – x+4у.
На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:
После упрощений:
Решив эту систему, имеем:
Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:
Математическая зарядка:
Первое упражнение.
Все стоят, руки на поясе.
Второе упражнение.
Все стоят, руки на поясе. Возрастающая
Арифметическая прогрессия - руки последовательность – поворот направо,
вверх, геометрическая прогрессия - убывающая – поворот налево, не
руки вперёд, если не является
является ни возрастающей, ни
прогрессией - сесть.
убывающей – сесть.
а) 1;4;7;10;13;…;
а) 1;4;7;10;13;…;
б) 2;4;8;16;32;…;
б) 2;4;8;16;32;…;
в) 1;1/2;1/3;1/4;…;
в) 1;1/2;1/3;1/4;…;
г) 3;0;-3;-6;-9;…;
г) 3;0;-3;-6;-9;…;
д) 4;9;16;25;…;
д) 4;9;16;25;…;
е) 1;1/5;1/25;1/125;…;
е) 1;1/5;1/25;1/125;…;
ж) 1;8;27;64;…;
ж) 1;8;27;64;…;
з) 1;1/4;1/9;1/16;…;
з) 1;1/4;1/9;1/16;…;
и) -2;2;-2;2;…;
и) -2;2;-2;2;…;
к)5;5;5;5;…
к)5;5;5;5;
Задача №2.
1. По сообщению одной из газет 1914 года у судьи в городе Новочеркасске
разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую
овцу – 1 коп, за вторую – 2, за третью – 4 и т.д. Очевидно, покупатель
соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте,
какую сумму он должен был уплатить.
Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи
предупреждением:
“Хотяй туне притяжати,
От кого что принимати,
Да зрит то себе опасно…”,
то есть, если кто-нибудь соблазнится кажущейся дешевизною покупки, то он
может попасть в неприятное положение.
Решение:
n = 20, b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4 …
S20 = 1• (220 – 1)/(2 – 1) = 1048576 копеек = 10485 руб 76 коп.
Задача №3. из книги Е.Д.Войцеховского “Курс чистой математики”.
Служившему воину дано вознаграждение за 1-ю рану – 1 копейка, за 2-ю – 2
копейки, за 3-ю – 4 и т.д. Всего воин получил 20 рублей 47 копеек. Сколько
ран у воина?
Решение:
b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4 …
q = 2, 2047 = 1• (2n – 1)/(2 – 1) 2n = 2048 n = 11
Задача №4. Выгодная сделка.
Богач-миллионер возвратился домой необычайно радостный: у него
была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает
он домашним: « Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в
пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня
дух захватывает».
«Сделаем,- говорит,- такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе
ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная.
В первый день я должен по уговору заплатить –смешно вымолвить – всего
одну копейку. А за вторую сотню тысяч-2 копейки. И так целый месяц,
каждый день вдвое больше предыдущего.
Решение:
Найдём выгодность сделки.
Богач-миллионер заплатил незнакомцу:
S30=230-1=210210210-1=10737418руб23коп=11миллионов рублей.
Незнакомец заплатил богачу:
30∙100тыс =3000 тыс =3000000 рублей.
Убыток: 8000000 рублей.
Задача №5. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.
«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько
поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько
выше?»
Решение:
Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3
мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность
арифметической прогрессии.
a + 7d = 6, 5*60/3 = (2a +9d)*10/2,
100/5 = 2a+9d, a= 6-7d. 2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.
Ответ: – 1, 6.
VII. ИТОГ УРОКА
Задачи, разобранные и решенные на этом уроке, были взяты из древних
рукописей
и старинных учебников. При решении задач важно уметь
логически рассуждать. Для тех,
кто увлекается математикой, этот урок
обязательно понравится.
Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
VIII. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Решите следующие задачи:
Задача №1. Некто продавал коня и просил за него 1000 руб. Купец
сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. “Хорошо, — ответил
продавец, — возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах. А
гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь полушку, за второй
гвоздь — две полушки, за третий гвоздь — четыре и т.д., за каждый гвоздь в
два раза больше, чем за предыдущий. Купец же, думая, что заплатит намного
меньше, чем 1000 руб., согласился. Проторговался ли купец?
(Ответ: купец заплатил 41 943руб.)
Задача №2. (задача Ахмеса)
“Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей.
На каждом костыле по 7 сучков.
На каждом сучке по 7 кошелей.
В каждом кошеле по 7 пирогов.
В каждом кошеле по 7 воробьев.
Сколько всего?”