Семинар №10

Семинар №10
Задача о делении отрезка. Теорема Пифагора.
Теорема о касательной и секущей.
Правда, в голове у меня теперь
полно всяких мыслей… только
вот о чём они – не знаю!
Л. Кэрролл. Алиса в Зазеркалье.
1. На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что 3ВМ = МС. В каком
отношении прямая АМ делит медиану, выходящую из вершины В?
2. На стороне ВС треугольника АВС взята точка М, а на стороне АВ – точка N.
Известно, что ВМ : МС = 1 : 2, BN : NA = 3 : 2. В каком отношении прямая MN делит
отрезок ВК, где К – точка на АС, такая, что АК : КС = 4 : 3?
3. В трапеции ABCD углы А и D при основании AD соответственно равны 60º и 30º.
Точка N лежит на основании ВС, причем BN : NC = 2. Точка М лежит на основании
AD, прямая MN перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции пополам.
Найдите AM : MD.
4. Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной
стороны угла, пересекает другую сторону в точках А и В и пересекает биссектрису
угла а точках C и D. Хорда АВ равна 6 , хорда CD равна 7 . Найдите радиус
окружности.
5. Дан отрезок а. Три окружности радиуса R имеют центры в концах отрезка и в его
середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трёх данных.
6. В треугольнике АВС сторона АВ равна 3, высота CD равна 2 3 , AD = BC. Найдите
АС.
7. В треугольнике АВС проведена медиана AD, DAC +  ABC = 90º. Найдите  ВАС,
если известно, что АВ ≠ АС.
8. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона
которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если
известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.
9. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена
биссектриса CL (CL = a) и медиана СМ (СМ = b). Найдите площадь треугольника
АВС.
10. Дан квадрат ABCD со стороной а. На стороне ВС взята точка М так, что ВМ = 3МС, а
на стороне CD – точка N так, что 2CN = ND. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник AMN.
11. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда
разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности,
если одна из хорд равна а.
12. В треугольнике АВС на наибольшей стороне ВС, равной b, выбирается точка М.
Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около
треугольников ВАМ и АСМ.
13. Отрезок АВ есть диаметр круга, точка С лежит вне этого круга. Отрезки АС и ВС
пересекаются с окружностью в точках D и Е соответственно. Найдите угол CBD, если
площади треугольников DCE и АВС относятся как 1 : 4.
14. В окружность радиуса R вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с
первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон
r
на три равные части. Радиус второй окружности r. Найдите .
R
15. Докажите, что отрезок общей внешней касательной, к двум окружностям,
заключённый между общими внутренними касательными, равен длине общей
внутренней касательной.
16. В окружности с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и
ОВ. С – точка на дуге АС такая, что АОС = 60º (ВОС = 30º). Окружность с
центром А и радиусом АВ пересекает продолжение ОС за точку С в точке D.
Докажите, что отрезок CD равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в
окружность. Возьмём теперь точку М, диаметрально противоположную точке С.
1
Отрезок MD, увеличенный на
своей длины, принимается приближённо равным
5
полуокружности. Оцените погрешность этого приближённого равенства.
17. Найдите радиус наименьшей окружности, содержащей равнобочную трапецию с
основаниями 15 и 4 и боковыми сторонами, равными 9.
18. О равнобедренном треугольнике АВС известно, что В = 120º. Найдите общую хорду
окружности, описанной около треугольника АВС, и окружности, проходящей через
центр вписанной окружности и основания биссектрис углов А и С, если АС = 1.
19. В окружность радиуса R вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного
основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности.
Боковая сторона видна из центра под углом . Найдите площадь трапеции.
Дополнительные задачи.
20. В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90) медиана АМ пересекает биссектрису
BD в точке О. Найти катеты, если известно, что ВО = 9 и OD = 5.
21. Точка М лежит на стороне АВ, точка К – на стороне ВС треугольника АВС, отрезки
АК и СМ пересекаются в точке О, АМ : МВ = 4 : 3, ВК : КС = 2 : 1. Чему равно СО :
ОМ и SМВКО : SАВС?
22. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот
треугольник на два. Расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти
треугольники, равно 1. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный
треугольник.
23. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Окружность, проходящая через
середины гипотенузы и меньшего катета, касается другого катета. Найдите длину
хорды этой окружности, высекаемой на гипотенузе.
24. Отрезок АЕ является высотой равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС).
Окружность проходит через точки А, С, Е и пересекает сторону АВ в точке D так, что
AD : AB = 7 : 9. Найти отношение длины окружности к периметру треугольника АВС.
25. Продолжения медиан АЕ и CF треугольника АВС пересекают описанную около него
окружность в точках D и N соответственно, причем AD : AE = 2 : 1 и CN : CF = 4 : 3.
Найти углы треугольника.
26. Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) описана окружность. Диаметр
AD пересекает сторону ВС в точке К, причем ВК : КС = 5 : 6. Найти радиус,
окружности, если площадь треугольника равна 32.
27. В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность радиуса R, касающаяся
основания AD в точке Р и пересекающая отрезок ВР в точке S такой, что PS = 3BS.
Найти углы и площадь трапеции.
28. В треугольнике АВС проведена биссектриса СР. Около треугольника ВСР описана
окружность радиуса 13 , центр которой лежит на отрезке АС. Найти площадь
треугольника АВС, если АР : АВ = 2 : 3.
29. В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям AD и ВС. Окружность
касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А и В, имеет с отрезком ВС
единственную общую точку С, проходит через вершину D и пересекает отрезок AD в
точке Е (E  D). Найти расстояние от точки К до прямой CD, если AD = 48, и ВС = 12.
30. В равнобедренной трапеции ABCD окружность касается большего основания AD,
боковых сторон АВ и CD и проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Найти радиус окружности, если AD : BC = 7 : 5 и площадь трапеции равна 4.
31. В трапеции ABCD с боковой стороной АВ = 10 диагонали пересекаются в точке Е, а
угол AED равен углу АВС. Окружность радиуса 13, проходящая через вершины А, В
и Е, пересекает основание AD в точке F и касается прямой CF. Найти высоту
трапеции и ее основания.