математика для экстернов

Мельникова С.В,
МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации, вопросы к экзамену, типовые задания
для студентов-экстернов
Прямая на плоскости
Различные виды уравнения прямой.
1. Уравнение прямой l с угловым коэффициентом: y  k  x  b .
(1)
φ – угол наклона прямой.
k = tg φ – угловой коэффициент прямой.
Если φ – острый, то k > 0, φ – тупой, то k< 0.
3
Например, l: 3x  2 y  6  0  y   x  3 
2
3
k=  , b  3 .
2
2. Общее уравнение прямой l:
A  x  B  y  C  0.
Вектор N ( A, B) - нормальный вектор прямой l
( N  l ).
3. Уравнение прямой, проходящей через 2
точки: M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) .
x  x1
y  y1
.
(3)

x2  x1 y 2  y1
4. Уравнение прямой, проходящей через точку M 1 ( x1 , y1 ) с данным угловым
коэффициентом k: y  y1  k  ( x  x1 ).
(4)
Взаимное расположение прямых.
Даны прямые l1 : y  k1  x  b1 и l 2 : y  k 2  x  b2 .
1. Прямые пересекаются в точке М под углом θ.
 y  k1 x  b1 ;
Чтобы найти координаты точки М, надо решить систему уравнений: 
(5)
 y  k 2 x  b2 .
k  k1
Тангенс угла θ находится по формуле: tg  2
.
(6)
1  k1  k 2
Условие перпендикулярности прямых: l1  l 2  k1  k 2  1.
(7)
2. Условие параллельности прямых: l1 || l 2  k1  k 2 .
(8)
Задача. Даны вершины треугольника АВС: А(-4; 1); В(8; 10); С(6; -4).
Найти: 1) уравнение стороны АВ, угловой коэффициент; 2) уравнение стороны АС, угловой
коэффициент; 3) тангенс угла А; 4) уравнение прямой l, проходящей через вершину В параллельно
стороне АС; 5) уравнение высоты СД; 6) координаты точки Д; 7) уравнение медианы АМ; 8)
систему линейных неравенств, определяющих
треугольник АВС.
Решение. 1) Чтобы написать уравнение стороны
АВ, воспользуемся формулой (3):
x  x1
y  y1
. Так как А(-4; 1), то x1  4; y1  1 ;

x2  x1 y 2  y1
x  (4) y  1


В(8; 10), то x2  8; y2  10 
8  (4) 10  1
x  4 y 1

 12  ( y  1)  9  ( x  4) 
12
9
12 y  12  9 x  36 
9
48
3
12 y  9 x  48  y   x 
 y  x4 12
12
4
3
уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом; угловой коэффициент k AB  .
4
2) Аналогично, найдем уравнение прямой АС: x1  4; y1  1 ; x2  6; y2  4 .
x  x1
y  y1
x  4 y 1
x  (4)
y 1

 10  ( y  1)  5  ( x  4) 




10
5
6  (4)  4  1
x2  x1 y 2  y1
10 y  10  5 x  20  10 y  5 x  10  y  0,5 x  1 - уравнение прямой АС с угловым
1
коэффициентом; угловой коэффициент k AC    0,5.
2
3) Угол А отсчитывается против часовой стрелки от прямой АС до прямой АВ, тогда
k k
1
3
k1  k AC   , k 2  k AB  . По формуле (6) найдем тангенс угла А: tgA  2 1 =
2
4
1  k1  k 2
3  1
3 2
  

4  2
4
4  5 : 5  5  8  2. Итак, tgA  2.


3  1 8 3 4 8 4 5

1  
4  2 8 8
4) Так как прямая l по условию параллельна стороне АС, то воспользуемся условием
1
параллельности прямых (8): l || AC  k l  k AC   . Так как прямая l проходит через вершину
2
В(8; 10), то есть x1  8, y1  10 , то воспользуемся уравнением (4) прямой, проходящей через точку
с данным угловым коэффициентом: y  y1  k  ( x  x1 ). Получаем:
1
y  10    ( x  8)  2( y  10)  ( x  8)  2 y  20   x  8 
2
x  2 y  28  0 - общее уравнение прямой l.
5) Так как СД – высота, то, по определению высоты, она перпендикулярна
1
1
4

  . Так как прямая
противоположной стороне: CD || AB  k CD  k AB  1  k CD  
k AB
34
3
СД проходит через вершину С(6; -4), то есть x1  6, y1  4 , то воспользуемся уравнением (4)
прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом: y  y1  k  ( x  x1 ).
4
Получаем: y  (4)    ( x  6)  3( y  4)  4  ( x  6)  3 y  12  4 x  24  4 x  3 y  12  0 3
общее уравнение высоты СД.
6) Точка Д является точкой пересечения прямых СД и АВ. Чтобы найти координаты точки
Д, надо решить систему, состоящую из уравнений прямых СД и АВ:
3

y  x  4,
3


4
 y  x  4,

Решим второе уравнение:

4

4 x  3 y  12  0 4 x  3 3 x  4   12  0.

4

9
16
9
25
3

4 x  3 x  4   12  0  4 x  x  12  12  0  x  x  0 
x  0  x  0, подставляем
4
4
4
4
4

3
3
значение x=0 в первое уравнение: y  x  4   0  4  4 . Таким образом, координаты точки
4
4
Д(0; 4).
7) Так как АМ – медиана, то, по определению медианы, М – середина противоположной
стороны, то есть стороны ВС: |BM|=|MC|. Учитывая координаты точек В(8; 10); С(6; -4),
x  xC 8  6
координаты точки М находятся по формулам: xM  B

 7,
2
2
y  yC 10  (4)
yM  B

 3. Таким образом, М(7, 3).
2
2
Чтобы написать уравнение стороны АМ, воспользуемся формулой (3):
x  x1
y  y1
. Так как А(-4; 1), то x1  4; y1  1 ; М(7; 3), то x2  7, y2  3.

x2  x1 y 2  y1
x  4 y 1
x  4 y 1



 11  ( y  1)  2  ( x  4)  11y  11  2 x  8  2 x  11y  19  0  общее
7  4 3 1
11
2
уравнение медианы АМ.
8) Чтобы написать систему неравенств, определяющих треугольник АВС, нужны уравнения
всех трех сторон треугольника: АВ, АС и ВС. Уравнения сторон АВ и АС уже найдены. Найдем
уравнение стороны ВС, где В(8; 10); С(6; -4), тогда x1  8, y1  10, x2  6, y2  4. Подставляем
x  x1
y  y1
координаты точек в формулу

x2  x1 y 2  y1
x 8
y  10
x  8 y  10



 2  ( y  10)  14  ( x  8)  2 y  20  14 x  112 

6  8  4  10
2
 14
14 x  2 y  92  0  7 x  y  46  0  общее уравнение прямой ВС.
Подставим координаты точки А(-4; 1) в уравнение прямой ВС: 7  (4)  1  46  0 . Тогда
первое неравенство имеет вид: 7 x  y  46  0.
Подставим координаты точки В(8; 10) в уравнение прямой АС: y  0,5 x  1. Получаем,
10  0,5  8  1. Тогда второе неравенство имеет вид: y  0,5 x  1.
3
Подставим координаты точки С(6; -4) в уравнение прямой АВ: y   x  4 . Получаем,
4
3
3
 4   6  4 . Тогда третье неравенство имеет вид: y   x  4 .
4
4
Итак, система линейных уравнений, задающая треугольник АВС имеет вид:

7 x  y  46  0,

 y  0,5 x  1,

3
 y  x  4.
4

Задание для самостоятельной работы, аналогично приведенной задаче, выполнить для
точек А(-2; 3), В(10; -6); С(8;8).
Векторы.
Даны точки A( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y2 , z 2 ) . Координаты вектора a(a x , a y , a z ) , если a  AB ,
находятся по формулам: a x  x2  x1 , a y  y 2  y1 , a z  z 2  z1 .
(9)
Длина вектора: a  a x2  a y2  a z2 .
Направляющие косинусы вектора: cos  
(10)
ax
a
, cos  
ay
, cos  
a
az
.
(11)
a
a  a x  i  a y  j  a z  k - разложение вектора a(a x , a y , a z ) по координатным ортам i, j , k .
Действия с векторами. Даны векторы: a(a x , a y , a z ) , b(bx , b y , bz ) .
Сумма/разность векторов: a  b  (a x  bx )  i  (a y  b y )  j  (a z  bz )  k .
(12)
Умножение вектора на число:   a  a x  i  a y  j  a z  k .
(13)
Скалярное произведение векторов: a  b  a  b  cos (a, b) .
(14)
a  b  a x  bx  a y  by  a z  bz – скалярное произведение векторов в координатной форме. (15)
Условие перпендикулярности векторов: a  b  a  b  0 .
(16)
Угол между векторами: cos (a, b) 
a b
ab

a x  bx  a y  b y  a z  bz
a x2  a y2  a z2  bx2  b y2  bz2
.
(17)
Задача. Даны точки А(6; -2; -3), В(2; 2; -1), С(1; 5; 3), Д(0; 4; 2).
Найти: 1) координаты вектора a  2  AB  CD , разложение вектора a по координатным
ортам, длину вектора a ; 2) координаты вектора b  CA  BD , разложение вектора b по
координатным ортам, длину вектора b ; 3) скалярное произведение векторов a и b ; 4) косинус
угла между векторами a и b .
Решение. 1) А(6; -2; -3), В(2; 2; -1)  AB(2  6;2  (2);1  (3))  AB(4;4;2) 
2  AB(8;8;4) .
С(1; 5; 3); Д(0; 4; 2)  CD(0  1;4  5;2  3)  CD(1;1;1)
a  2 AB  CD  a(8  (1);8  (1);4  (1))  a(7;9;5) – координаты вектора a .
Разложение вектора a по координатным ортам имеет вид: a  7i  9 j  5k . Длину вектора a
находим по формуле (10): a  (7) 2  9 2  5 2  49  81  25  155 .
2) С(1; 5; 3), А(6; -2; -3)  CA(6  1;2  5;3  3)  CA(5;7;6) ;
В(2; 2; -1), Д(0; 4; 2)  BD (0  2;4  2;2  (1))  BD (2;2;3) .
b  CA  BD b(5  (2);7  2;6  3)  b(3;5;3) – координаты вектора b .
Разложение вектора b по координатным ортам имеет вид: b  3i  5 j  3k . Длина вектора:
b  3 2  (5) 2  (3) 2  9  25  9  43 .
3) скалярное произведение векторов a и b : так как a (7;9;5) , b(3;5;3) , то по формуле
(15) получаем a  b  7  3  9  (5)  5  (3)  21  45  15  81 .
4) cos (a, b) 
a b
ab

 81
155  43
(формула (17)).
Задание для самостоятельной работы, аналогично приведенной задаче, выполнить для
точек А(-2; 3; 11), В(1; 0; 6); С(4; 8; 8), Д(5; 6; 3).
Матрицы. Определители.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
Матрица А размерности m x n: A  
, или, кратко, A  aij mxn .
... ... ... ... 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица А – нулевая.
Если m = n (число строк равно числу столбцов), то матрица А – квадратная n-го порядка:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
.
A
... ... ... ... 


a

a
...
a
n2
nn 
 n1
Числа a11 , a 22 ,..., a nn – главная диагональ.
Если матрица – квадратная, на главной диагонали стоят 1, а остальные – нули, то матрица –
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
единичная. Обозначается E: E  
.
... ... ... ...


 0 0 ... 1 


Определитель второго порядка:  
a11
a12
Определитель третьего порядка: a 21
a 22
a32
a31
a11
a12
a21 a22
 a11  a22  a12  a21 .
a13
a
a 23  a11  22
a32
a33
a 23
a33
 a12 
(18)
a 21
a 23
a31
a33
 a13 
a 21
a 22
a31
a32
. (19)
Действия с матрицами.
Сумма матриц А и В: A  aij mxn , B  bij mxn , C  cij mxn . Пусть C  A  B  cij  aij  bij . (20)
Умножение матрицы А на число λ: A  aij mxn , B  bij mxn . Пусть B    A  bij    aij . (21)
Произведение матриц А и В: A  aij mxn , B  bij nxp , C  cij mxp . Пусть C  A  B 
cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  ain  bnj .
Обратная матрица. Матрица А-1 – обратная к матрице А, если A  A1  A1  A  E .
Если матрица А – квадратная, определитель матрицы |А|≠0, то существует обратная
матрица А-1, которая находится по формуле:
 A11 A21 A31 

1 
1
A 
  A12 A22 A32  ,
A 

 A13 A23 A33 
где Aij  (1) i  j  M ij – алгебраические дополнения элементов a ij матрицы А.
(22)
(23)
(24)
Миноры M ij получаются вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
 a11

a
Транспонирование матриц. Пусть A   21
...

a
 m1
 a11

a
матрица AT имеет вид AT   12
...

a
 1n
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
, тогда транспонированная
... ... 

... a mn 
a 21 ... a m1 

a 22 ... a m 2 
.
(25)
... ... ... 

a 2 n ... a mn 
1 
 6  2  3
0 4 
2






Задача. Даны матрицы A   2 3
1  , B    1 4  , C   2  1 . Найти: 1) 2  B  C ;
4 5
7 5 
 3  2
4 





T
2) A  3  E ; 3) транспонированную матрицу C ; 4) произведение матриц В и C T ; 5) произведение
матриц C T и В; 6) обратную матрицу A1 .
1   4
2 
2

 

Решение. 1) По формуле (21), получаем: 2  B  2    1 4     2 8  .
 3  2  6  4

 

По формуле (20) получаем:
2  4   4  2
2  0 4   4  0
 4

 
 
 

2  B  C    2 8    2  1    2  2 8  (1)     4 9  .
 6  4  7 5   6  7
 4  5    1  9 
 

 
1 0 0  3 0 0
 1  2  3  3 0 0   4  2  3

 


 
 

2) 3  E  3   0 1 0    0 3 0  ; A  3  E =  2 3
1   0 3 0   2 6
1 .
 0 0 1  0 0 3
4 5
4   0 0 3   4 5
7 

 


0 4 


0 2 7
 .
3) C   2  1 ; по формуле (25) получаем: C T  
4

1
5


7 5 


1 
2

 0 2 7
T
 
4) По формулам (22) получаем: B  C    1 4   
4

1
5


 3  2


2  2  1  (1)
2  7  1 5   4
3 19 
 2  0  1 4

 

 1  2  4  (1)
 1  7  4  5    16  6 13  .
  1 0  4  4
 3  0  (2)  4 3  2  (2)  (1) 3  7  (2)  5    8 8 11 

 

1 
2

0 2 7 
T
    1 4  
5) По формулам (22) получаем: C  B  
 4 1 5 

 3  2
0  1  2  4  7  (2)   19  6 
 0  2  2  (1)  7  3

  
 .
 4  2  (1)  (1)  5  3 4  1  (1)  4  5  (2)   24  10 
6) Найдем определитель матрицы А по формуле (19):
6 2 3
3 1
2 1
2 3
 (2) 
 (3) 
 6·(3·4-1·5)+2·(2·4-1·4)-3·(2·5-3·4)=56.
A 2 3
1 =6
5 4
4 4
4 5
4 5
4
Найдем алгебраические дополнения Aij матрицы А по формулам (24):
A11  
3 1
 3  4  1  5  7;
5 4
A21  
2 3
 (8  (15))  7;
5
4
A31  
2 3
 2  9  7;
3
1
A12  
2 1
 (2  4  1  4)  4;
4 4
A22  
6 3
 24  12  36;
4 4
A32  
6 3
 (6  6)  12;
2 1
2 3
6 2
6 2
 2  5  3  4  2;
A23  
 (30  8)  38;
A33  
 18  4  22.
4 5
4 5
2 3
По формуле (23) получаем обратную матрицу A1 :
7
7   0,125  0,125 0,125 
 A11 A21 A31 
 7
 1 
 

1 
1
A 
  A12 A22 A32  
   4 36  12  =   0,071 0,643  0,214  .
A 
 56   2  38 22    0,036  0,679 0,393 
 A13 A23 A33 


 
Задание для самостоятельной работы, аналогично приведенной задаче, выполнить для
 2 4  2
3 1 
 8  1






матриц A   3 1  1  , B   1
0  , C   2 2 .
5 1 3 
  2  5
 6
4 





A13  
Решение систем линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
 a11  x1  a12  x2  a13  x3  b1 ;

Дана система линейных уравнений a 21  x1  a 22  x2  a 23  x3  b2 ;
a  x  a  x  a  x  b .
32
2
33
3
3
 31 1
(26)
Неизвестные x1 , x2 , x3 находятся по формулам Крамера:
x1 
1


; x 2  2 ; x3  3 ,



(27)
a11
a12
a13
где   a 21
a 22
a32
a 23
a33
a31
b1
 0 ; 1  b2
a12
a 22
a13
a11 b1
a 23 ;  2  a 21 b2
a13
a11
a 23 ;  3  a 21
a12
a 22
b1
b2 .
b3
a32
a33
a33
a32
b3
a31 b3
a31
Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Систему (26) линейных уравнений можно записать в матричной форме A  X  B ,
(28)
 a11 a12 a13 
 x1 


 
где A   a 21 a 22 a 23  – основная матрица системы; X   x 2  - столбец неизвестных,
a

x 
 31 a32 a33 
 3
 b1 
 
B   b2  - матрица правых частей.
b 
 3
Систему (28) можно решить с помощью обратной матрицы: X  A1  B .
(29)
6 x  2 y  3z  15;

Задача. Систему линейных уравнений  2 x  3 y  z  3; решить двумя способами:
 4x  5 y  4z  4

1) методом Крамера; 2) матричным способом.
1) Вычислим определители Δ, Δ1, Δ2, Δ3.
6 2 3
 2 3
1 =56 (вычислен ранее, на с.6);
4
5
4
15  2  3
1  3
4
3
5
3 1
3 1
3 3
1  15 
 (2) 
 (3) 
 15  (12  5)  2  (12  4)  3  (15  12)  112 ;
5 4
4 4
4 5
4
6 15  3
2  2
4
3
4
3 1
2 1
2 3
1  6
 15 
 (3) 
 6  (12  4)  15  (8  4)  3  (8  12)  0 ;
4 4
4 4
4 4
4
6  2 15
3 3
2 3
2 3
3 3  6
 (2) 
 15 
 6  (12  15)  2  (8  12)  15  (10  12)  56 .
5 4
4 4
4 5
5 4
По формулам (27) Крамера найдём решение системы:



112
0
 56
x1  1 
 2 ; x2  2 
 0 ; x3  3 
 1 .

56
 56

56
Ответ: (2, 0, -1).
 6  2  3


2) Основная матрица системы A   2 3
1  , обратная матрица A1 (найдена ранее,
4 5
4 

7
7 
 7
15 

 
1 
1
с.6) имеет вид A 
   4 36  12  , столбец свободных членов B   3  . Найдем столбец
56 

4
  2  38 22 
 
неизвестных Х по формуле (29):
7
7  15 
 7  15  (7)  3  7  4 
 112   2 
 7
   1 
 1 
  
1 
1
   4 36  12    3  =    4  15  36  3  (12)  4  
 0    0 .
X  A B 
56 
   56   2  15  (38)  3  22  4  56   56    1



  
  2  38 22   4 
3  2
4
Ответ: (2, 0, -1).
Задание для самостоятельной работы, аналогично приведенной задаче, выполнить для
 x  2 y  3z  2;

системы линейных уравнений  x  2 y  2 z  3;
 3x  3 y  z  8.

Функция
Предел функции.
Пусть даны два непустых числовых множества D и E. Если каждому числу x из множества
D по определённому правилу ставится в соответствие одно и только одно число у из множества E,
то говорят, что на множестве D задана функция y=f(x). Множество D называется областью
определения функции, множество E называется областью значений функции; число х называется
независимой переменной (аргументом), число у называется зависимой переменной (функцией).
Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного
числа ε (эпсилон) найдётся положительное число δ (дельта), зависящее от ε, такое что, для всех х,
удовлетворяющих условию 0<|x – x0|<δ, выполняется неравенство |f(x) – A|<ε.
Обозначается: lim f ( x)  A .
x  x0
Существование предела функции f(x) в точке x0 означает равенство односторонних
пределов в точке x0: lim f ( x)  lim f ( x) .
x  x0 0
x  x0  0
(30)
Свойства пределов.
1. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
(31)
2. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
(32)
3. lim c  f ( x)  c  lim f ( x) .
(33)
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
x  x0
x x0
lim f ( x)
f ( x ) x  x0

4. lim
, если lim g ( x)  0 .
x  x0 g ( x )
x  x0
lim g ( x)
(34)
x  x0
1
 .
f ( x)
1
6. Если lim f ( x)   , то lim
 0.
x  x0 f ( x)
x  x0
5. Если lim f ( x)  0 , то lim
x  x0
(35)
x  x0
Замечательные пределы.
I замечательный предел.
sin x
lim
1
(37)
x 0
x
(36)
II замечательный предел.
x
 1
lim 1    e ;
x 
x

(38)
lim 1  x  x  e .
(39)
1
x 0
2 x 2  5x  2
;
x 2 4 x 2  7 x  2
Задание для самостоятельной работы. Вычислить пределы функций: 1) lim
2) lim
x  1
x2x
1  2 x 2  3x
3x 2  2 x  7
lim
lim
;
3)
;
4)
.
x  4 x 2  x  2
x  x 3  6 x  4
x2 1
Непрерывность функции.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел функции f(x) в точке x0
равен значению функции в этой точке f(x0): lim f ( x)  f ( x0 ) .
(40)
x x0
Если f(x) непрерывна в точке x0, то lim f ( x)  f ( x0 )  lim f ( x) .
x x0 0
x x0 0
(41)
Все элементарные функции непрерывны на своей области определения D(y).
Точки, в которых функция не является непрерывной (не выполняется условие (41)),
называются точками разрыва.
Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то на этом промежутке она принимает свои
наибольшее и наименьшее значения.
Задание для самостоятельной работы. Найти промежутки непрерывности и точки разрыва
x
указанных функций, односторонние пределы в точках разрыва: 1) y 
;
( x  1)( x  2)
 x 2  4, если x  2;
2) y  
6  2 x, если x  2.
Производная функции.
Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции
Δу к соответствующему приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю:
y
f ( x  x)  f ( x)
y   lim
 lim
.
x 0 x
x 0
x
Геометрический смысл производной:
y
y   lim
 lim tg  tg .
x 0 x
x 0
Производная функции f(x) в точке x
равна тангенсу угла наклона (угловому
коэффициенту) касательной,
проведенной к графику функции f(x) в
точке М(x, f(x)).
Процесс нахождения производной
функции – дифференцирование
функции.
Дифференциал функции
y  f (x) обозначается df, dy и находится по формуле dy  f ( x)  x  f ( x)  dx ; дифференциал
независимой переменной равен приращению аргумента: x  dx
Правила дифференцирования. Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции в
точке x (имеют производные в точке х).
1. (u  v)  u   v  .
(43)
2. (u  v)  u   v  u  v  .
(44)
3. (c  u )  c  u  .
(45)

 u  u   v  u  v
4.   
.
(46)
v2
v
5. Если y  f (u ) , где u   (x) , то производная от сложной функции y  f ( ( x)) находится
по формуле: y x  y u  u x .
(47)
Таблица производных.
1. C  0 .
10. (sin x)  cos x.
2. x  1.
11. (cos x)   sin x.
1

3. ( x n )  n  x n 1 .
.
12. tgx 
cos 2 x
1
1

.
4. ( x ) 
13. ctgx   2 .
sin x
2 x
5.
6.
7.
8.
9.

1
1
   2.
x
 x
x
x
(a )  a  ln a.
(e x )  e x .
log a x   1 .
x  ln a
ln x   1 .
x
14. (arcsin x) 
1
1 x2
15. (arccos x)  
.
1
1 x2
.
1
.
1 x2
1
.
17. (arcctgx)  
1 x2
16. (arctgx) 
Задание для самостоятельной работы. Найти производные указанных функций:
4
5
arctgx
1) y  3 x 4  3  93 x 2  1 ; 2) y  ( x 3  2 x )  ln( 4 x  1) ; 3) y 
; 4) y  e 3 x  sin tgx .
2
3x
1 x


Исследование функции.
Схема исследования функции.
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Исследовать функцию на чётность – нечётность.
Если выполняется условие f(-x) = f(x), то функция является чётной. График функции симметричен
относительно оси Оу.
Если выполняется условие f(-x) = - f(x), то функция является нечётной. График функции
симметричен относительно начала координат - точки О.
Иначе функция f(x) называется функцией общего вида.
4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти промежутки непрерывности функции,
точки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва.
5. Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремум с помощью первой
производной y  .
Если y   0 на некотором промежутке, то функция на данном промежутке возрастает.
Если y   0 на некотором промежутке, то функция на данном промежутке убывает.
Если y ( x0 )  0 или y ( x0 ) не существует, то x 0 - критическая точка. Критическая точка может
быть точкой экстремума.
Если x 0 - критическая точка и, проходя через x 0 , производная y  меняет знак , то x 0 - точка
экстремума функции.
6. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и перегиб с помощью второй
производной y  .
Если y   0 на некотором промежутке, то график функции на
данном промежутке вогнутый.
Если y   0 на некотором промежутке, то график функции на
данном промежутке выпуклый.
Если y ( x0 )  0 или y ( x0 ) не существует, первая производная
y  непрерывна в точке x 0 , а вторая производная y  , проходя
через x 0 , меняет знак, то ( x0 , f ( x0 )) - точка перегиба графика функции.
7. Найти асимптоты графика функции.
Прямая x  a - вертикальная асимптота, если lim f ( x)   .
(48)
xa
f ( x)
Если существуют конечные пределы k  lim
, b  lim ( f ( x)  k  x) ,
x 
x 
x
то прямая y  k  x  b - наклонная асимптота,
8. Построить график функции.
9. Найти область значений функции.
(49)
Задание для самостоятельной работы. Исследовать функцию и построить график y 
Неопределённый интеграл.
2x 2
.
x2  3
Функция F(x) - первообразная от функции f(x) на некотором промежутке, если на этом
промежутке выполняется условие F ( x)  f ( x) .
Неопределённый интеграл от функции f(x) - множество всех первообразных от f(x):
(50)
 f ( x)  dx  F ( x)  C ,
где С – произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла.

1.  f ( x)  dx  f ( x) .
(51)


2.  F ( x)  dx  F ( x)  C .
(52)
3.  dF ( x)  F ( x)  C .
(53)
4.  ( f ( x)  g ( x))  dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
(54)
5.  k  f ( x)dx  k   f ( x)dx .
Таблица интегралов.
1.  0  dx  C
9.  sin xdx   cos x  C .
2.  dx  x  C
10.  cos xdx  sin x  C .
3.  x n  dx 
4.
5.
6.
7.
8.

dx
x n 1
 C , n  1.
n 1
 2 x C
x
dx
1
 x2   x  C .
dx
 x  ln x  C .
ax
x
a

dx

C.

ln a
x
x
 e  dx  e  C .
(55)
dx
11.
 cos 2 x  tgx  C .
12.
 sin 2 x  ctgx  C .
dx
x
C .
a
a2  x2
dx
1
x
  arctg  C .
14.  2
2
a
a
a x
dx
1
xa

 ln
C.
15.  2
2
2a
xa
x a
dx
16. 
 ln x  x 2  a 2  C .
2
2
x a
13.

dx
 arcsin
Замена переменной в неопределённом интеграле.
 f ( ( x))   ( x)  dx   f (t )dt ,
где t   ( x), dt   ( x)  dx .
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле:
 u  dv  u  v   v  du .
Задание для самостоятельной работы. Вычислить неопределённые интегралы:

5
3 
dx
  dx ; 2) 
1)   7 x 4  6 
; 3)  x 2  ln xdx .

2
3
x
x ln x  3
x 

(56)
(57)
(58)
Определённый интеграл.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок [a; b] на n произвольных
частей точками x1 , x2 ,..., xn1 так, чтобы a  x0  x1  x2  ...  xn1  xn  b . Получили отрезки
[x0;x1], [x1;x2], [xn-1;xn]. Обозначим через λ – наибольшую из длин полученных отрезков:
  max xi  max ( xi  xi 1 ) . λ называется рангом разбиения отрезка [a; b]. Выберем в каждом
i
i
отрезке произвольно точку ci , i = 1, 2, …, n. Интегральной суммой σ называется сумма вида
n
   f (ci )  xi  f (c1 )  x1  f (c2 )  x2  ...  f (cn )  xn .
i 1
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется конечный предел
интегральных сумм σ при условии, что ранг разбиения λ →0, если этот предел не зависит ни от
способа разбиения отрезка [a; b] на части, ни от выбора точек ci .
b

a
n
 f (ci )  xi .
 0
f ( x)dx  lim   lim
 0
(59)
i 1
Формула Ньютона-Лейбница.
b
 f ( x)dx  F ( x) a
b
 F (b)  F (a) ,
(60)
a
где F(x) – первообразная от f(x) на отрезке [a; b].
Геометрический смысл определённого интеграла.
Если f(x)>0 на отрезке [a; b], то определённый
интеграл от f(x) на отрезке [a; b] равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной сверху
графиком функции f(x), снизу осью Ох с боков вертикальными прямыми x = a, x = b.
b
 f ( x)dx  S кр .тр.
(61)
a
Площадь плоской фигуры можно вычислить
через определенный интеграл.
Если f ( x)  g ( x) на отрезке [a; b], то
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций вычисляется по формуле:
b
S   ( f ( x)  g ( x))  dx
(62)
a
Замена переменной в определённом интеграле.
b

a

 f ( ( x))   ( x)  dx   f (t )  dt ,
где t   ( x), dt   ( x)  dx ,    (a),    (b).
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле:
b
a
(64)
b
 u  dv  u  v a   v  du .
b
(63)
(65)
a
Задание для самостоятельной работы. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями: y  3x 2  1, y  3x  7 .
Функции двух переменных.
Пусть даны два непустых числовых множества D и E. Если каждой
паре чисел (x, y) из множества D по определённому правилу ставится в
соответствие одно и только одно число z из множества E, то говорят, что
на множестве D задана функция двух переменных z=f(x, y). Множество
D называется областью определения функции, множество E называется
областью значений функции; числа х, y называется независимыми переменными (аргументы),
число z называется зависимой переменной (функцией).
Областью определения функции z=f(x, y) является либо часть плоскости D, ограниченная
кривой (граница области), причем точки границы могут как принадлежать области определения,
так и не принадлежать; либо вся плоскость; либо совокупность нескольких частей плоскости хОу.
Геометрическим изображением функции (графиком функции) z=f(x, y) называется
геометрическое место точек пространства М(х,у,f(х,у)), где точка (х, у) «пробегает» область
определения функции D. Таким образом, графиком функции двух переменных является некоторая
поверхность Γ в пространстве.
Частным приращением функции z=f(x, y) по переменной х в точке М(х, у) называется
разность  x z  f ( x  x, y)  f ( x, y) ; по переменной у – разность  y z  f ( x, y  y )  f ( x, y ) , где
Δх, Δу – произвольные приращения аргументов. Полным приращением функции z=f(x, y) в точке
М(х, у) называется разность z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) .
Частной производной от функции z=f(x, y) по независимой переменной х называется
конечный предел частного приращения функции  x z к вызвавшему его приращению аргумента
z
Δх, когда последнее стремится к нулю. Обозначается z x , f x ( x, y) ,
.
x
 z
f ( x  x, y)  f ( x, y)
.
(66)
z x  lim x  lim
x 0 x
x 0
x
Аналогично определяется частная производная функции z по переменной у:
yz
f ( x, y  y)  f ( x, y)
.
(67)
z y  lim
 lim
y 0 y
y 0
y
Полный дифференциал dz функции z=f(x, y) называется главная часть полного
приращения Δz, линейная относительно приращения аргументов Δх, Δу и вычисляется по формуле
dz  z x  x  z y  y  z x  dx  z y  dy .
(68)
Частными производными второго порядка от функции z=f(x, y) называются частные
производные от её частных производных первого порядка. Обозначения частных производных
второго порядка:
2z
2 z
( z x )x  z xx  f xx ( x, y )  2 ; ( z x )y  z xy  f xy ( x, y) 
;
x
xy
2z
2z
; ( z y )y  z yy  f yy ( x, y )  2 .
(69)
( z y )x  z yx  f yx ( x, y) 
y
yx
Частные производные z xy , z yx называются смешанными. Смешанные производные,
отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой,
если они непрерывны: z xy  z yx .
Точка М0(х0, у0) – точка максимума (точка минимума) функции z=f(x, y), если в
некоторой окрестности М0 выполняется f(x0, y0)≥ f(x, y) (для точки минимума выполняется f(x0,
y0)≤ f(x, y)). В этом случае точка М0 называется точкой экстремума. Экстремум функции
z extr (максимум или минимум) – значение функции в точке экстремума: z extr  z (M 0 ) .
Если М0 – точка экстремума функции z=f(x, y), то её частные производные в этой точке
равны нулю (или не существуют):
f ( M 0 )
f ( M 0 )
(70)
 0,
 0.
x
x
Обозначим: A  f xx ( M 0 ) , B  f xy ( M 0 ) , C  f yy ( M 0 ) и   AC  B 2 .
(71)
Если в точке М0 – частные производные равны нулю или не существуют, то возможны
следующие случаи:
Δ>0, A>0 → М0 – точка минимума;
(72)
Δ>0, A<0 → М0 – точка максимума;
(73)
Δ<0 → в точке М0 – нет экстремума;
(74)
Δ = 0 – сомнительный случай (требуется дальнейшее исследование).
Задание для самостоятельной работы. Найти экстремум функции z  x 2  xy  y 2  3x  6 y
Элементы теории вероятностей.
Испытания и события.
Испытание – наличие определённого комплекса условий (проведение эксперимента, опыта,
наблюдение явления). Результат (исход) испытания – событие. Обозначаются события: A, B, C, …
Вероятность события А – мера возможности появления события. Обозначается Р(А) или р.
Достоверное событие – обязательно произойдет в данном испытании.
Невозможное событие – в данном испытании произойти не может.
Случайное событие – в данном испытании может произойти, может не произойти.
Несовместными событиями называются события, когда появление одного события
исключает появление остальных, иначе события называются совместными.
Равновозможными событиями называются события, когда нет оснований полагать, что
одно из этих событий произойдёт скорее, чем остальные.
Зависимыми называются события, когда вероятность появления одного события меняется
от появления/непоявления других событий. P(A/B) – условная вероятность события А, при
условии, что событие В – произошло.
Полной группой несовместных событий называются события, если в результате
испытания обязательно происходит одно из этих событий.
События A и A - противоположные, если они образуют полную группу событий.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А
ведёт к появлению события В.
Классическое определение вероятности. Пусть в результате испытания возможно n
равновозможных и несовместных исходов, образующих полную группу. Предположим, что m
исходов благоприятствуют событию А.
Вероятностью события А (в классическом смысле) называется отношение числа m
исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу n всех несовместных и
m
равновозможных исходов: P( A)  .
(75)
n
Сочетания из n-элементного множества по m элементов - наборы по m элементов, которые
отличаются друг от друга составом элементов. Число сочетаний: C nm .
n!
,
(76)
C nm 
m!(n  m)!
где n! 1 2  ...  n - факториал числа n, 0! 1.
(77)
Задание для самостоятельной работы. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов
программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы на 2 вопроса из трех вопросов,
предложенных экзаменатором.
Сумма и произведение событий.
Сумма событий А и В – новое событие А+В, если произойдёт хотя бы одно из событий:
или только А, или только В, или оба события А и В.
Произведение событий А и В – новое событие А·В, если произойдут оба события: и А, и В.
Если А1, А2, …, Аn – несовместные события , то
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )
(78)
Если А1, А2, …, Аn – полная группа несовместных событий , то
P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  1
(79)
Сумма вероятностей противоположных событий = 1: P( A)  P( A)  1 .
Если А1, А2, …, Аn – независимые события , то
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) .
Если А1, А2, …, Аn – зависимые события , то
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 / A1 )  ...  P( An / A1  A2  ...  An ) .
Если А1, А2, …, Аn – совместные события , то
(80)
(81)
(82)
P( A1  A2  ...  An )  1  P( A1  A2  ...  An ) .
Задание для самостоятельной работы. 1) На участке 2 бригады. Вероятность выполнения
плана первой бригады равна 0,8, а вероятность выполнения плана второй – 0,9. Найти: а)
вероятность выполнения плана участка; б) вероятность выполнения плана только одной бригадой;
в) вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой.
2) В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 3 – нестандартные. Найти
вероятность того, что взятые одна за другой 2 лампочки окажутся: а) стандартными;
б)нестандартными; в) одна – стандартная, другая – нестандартная.
Повторные испытания.
Серия независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность р=Р(А)
появления события А постоянна ( 0  P( A)  1 ) называется схемой Бернулли.
В каждом испытании: либо появляется событие А с вероятностью р, либо событие А не
появляется с вероятностью q = 1 – p.
(83)
Pn (m) - вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз находится
по формуле Бернулли: Pn (m)  C nm  p m  q n  m .
(84)
Pn (m  mk )  Pn (mk )  ...  Pn (n) .
Pn (m  mk )  Pn (0)  ...  Pn (mk ) .
В случае большого числа испытаний (n велико) используются локальная и интегральная
теоремы Лапласа.
Локальная теорема Лапласа: Pn (m) 
1
  ( x) , где  ( x) 
1
e

x2
2
, x
(85)
(86)
m  np
.
(87)
2
npq
npq
Интегральная теорема Лапласа находит вероятность того, что в n испытаниях событие А
1
x

x2
2
e
 dx .
(88)
2 0
Задание для самостоятельной работы. Всхожесть семян равна 0,8. Найти вероятность того,
что из 6 посеянных семян взойдут: 1) четыре; 2) не менее четырех. Найти вероятность того, что из
500 посеянных семян взойдут: 1) 390; 2) от 385 до 410.
наступит от m1 до m2 раз: Pn (m1 , m2 )  ( x2 )  ( x1 ) , где ( x) 
Случайные величины.
Величина называется случайной, если она принимает то или иное (но только одно)
значение, причем заранее (до опыта) неизвестно, какое именно.
Обозначаются: X, Y, Z, T,…
Случайная величина (с.в.) называется дискретной (д.с.в.), если её значения изолированы
друг от друга. С.в. называется непрерывной (н.с.в.), если её значения заполняют сплошь
некоторый промежуток.
Дискретные случайные величины.
Закон распределения д.с.в. Х – соответствие между значениями д.с.в. и соответствующими
вероятностями. Задается в виде таблицы.
Х х1 х2 … xn
р p1 p2 … pn
Для вероятностей выполняется условие: p1  p2  ...  pn  1 .
(89)
Числовые характеристики д.с.в.:
Математическое ожидание. Математическое ожидание д.с.в. – сумма произведений значеn
ний д.с.в. и соответствующих вероятностей: M ( X )   xi  pi  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn .
i 1
Свойства математического ожидания.
1. М(С) = С.
2. М(Х+С) = М(Х) + С.
3. М(С·Х) = С·М(Х).
(90)
4. Если все значения принадлежат интервалу (a, b), то a<M(X)<b.
Дисперсия. Дисперсия с.в. – математическое ожидание квадрата отклонения Х от М(Х):
n
D( X )  M ( X  M ( X )) 2   ( xi  M ( X )) 2  pi
(91)
i 1
D( X )  ( x1  M ( X ))  p1  ( x 2  M ( X ))  p 2  ...  ( x n  M ( X ))  p n
Свойства дисперсии.
1. D(С)=0.
2. D(Х+С) = D(Х).
3. D(С·Х) = С2·D(Х).
4. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата с.в. Х минус квадрат
2
2
2
n
математического ожидания : D( X )  M ( X 2 )  ( M ( X )) 2   xi  pi  ( M ( X )) 2
2
i 1
(92)
D( X )  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn  (M ( X ))
Средним квадратическим отклонением σ(X) называется квадратный корень из дисперсии:
(93)
 ( X )  D( X ).
Задание для самостоятельной работы. Д.с.в. задана законом распределения. Найти
числовые характеристики M(X), D(X), σ(X).
Х -3 1
5 11
р 0,1 0,3 ? 0,2
2
2
2
2
Непрерывные случайные величины.
Функция распределения (интегральная функция) F(x) – функция, каждому
действительному значению х ставящая в соответствие вероятность того, что с.в. Х в результате
испытания примет значение, меньшее х: F(X)=P(X<x).
(94)
Свойства. 1) 0F(x)1.
2) F(x) – неубывающая: x1  x2  F ( x1 )  F ( x2 ) .
3) P(  X   )  F (  )  F ( ) .
(95)
4) Если все значения X  (a, b) , то F(x) = 0 при xa, F(X)=1 при xb.
Плотность вероятности (дифференциальная функция) f(x) – первая производная от
функции распределения: f ( x)  F ( x) .
(96)
Свойства. 1) f ( x)  0 .

2) P(  X   )   f ( x)dx .
(97)

3) F ( x) 
x
 f ( x)dx .
(98)


4)
 f ( x)dx  1 - условие нормировки.
(99)

Числовые характеристики н.с.в. Х выражаются через плотность вероятности:
M (X ) 

 x  f ( x)dx ;



D( X )   ( x  M ( X ))  f ( x)dx =  x 2  f ( x)dx  (M ( X )) 2 .
2

(100)

Задание для самостоятельной работы. Н.с.в. Х задана функцией распределения F(x). Найти
плотность вероятности f(x) и числовые характеристики н.с.в. Х.
при x  1,
 0
 ( x  1) 2
F ( x)  
при 1  x  5,
 16
при x  5.
 1
Нормальное распределение.
Н.с.в. Х называется распределённой по нормальному закону, если её плотность
вероятности имеет вид f ( x) 
1
2  
e

( xa )2
2 2
.
a, σ – параметры распределения:
M(X)=a; D(X)=σ2, σ(X)=σ.
(101)
Нормальная кривая (кривая Гаусса) – график плотности
вероятности нормально распределенной с.в.
Основные формулы нормального распределения.
 a
  a 
1. P(  X   )  
(102)
  
,
  
  
где ( x) 
1
2
x
e

x2
2
 dx - функция Лапласа.

 
2. P( X  a   )  2  .
(103)
 
Правило «3 σ». Если с.в. Х распределена по нормальному закону, то с вероятностью 0,9973
значение с.в. находятся в промежутке (a - 3σ; a + 3σ).
Задание для самостоятельной работы. Средний вес плодов в одном ящике равен 12 кг, а
среднее квадратическое отклонение в весе плодов одного ящика равно 1,5 кг. Определить:
1)вероятность того, что в ящике окажется от 11,5 до 13,5 кг плодов; 2) наибольшее значение,
которое не превзойдет вес плодов в одном ящике с вероятностью 0,96.
Вопросы к экзамену.
1. Угловой коэффициент прямой, его смысл. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Вертикальные прямые.
2. Угол между прямыми. Условие параллельности, перпендикулярности прямых.
3. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении; через 2 точки.
4. Векторы. Сумма, разность векторов. Длина вектора. Единичный вектор. Проекция вектора
на ось.
5. Координаты вектора. Действия с векторами. Скалярное произведение векторов.
6. Матрицы. Действия с матрицами. Обратная матрица.
7. Определители 2-го, 3-го порядков. Алгебраические дополнения и миноры.
8. Метод Крамера для решения систем 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.
Матричный способ.
9. Функция, способы задания, график функции.
10. Предел функции в точке. Свойства.
11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.
12. Непрерывность функции в точке, свойства. Точки разрыва, классификация.
13. Приращение аргумента, приращение функции. Производная функции в точке,
геометрический смысл производной.
14. Правила дифференцирования. Сложная функция, производная сложной функции.
15. Возрастание и убывание функций. Признаки возрастания и убывания функций.
16. Точки экстремума. Необходимое условие; достаточное условие точек экстремума.
17. Выпуклость, вогнутость графика функции. Перегиб. Теоремы.
18. Асимптоты графика функции.
19. Первообразная функции, неопределённый интеграл. Свойства.
20. Определённый интеграл, геометрический смысл. Вычисление площади фигуры.
21. Функции двух переменных: определение, область определения, график функции. Частные
производные функции двух переменных. Полный дифференциал.
22. Частные производные второго порядка. Экстремум функции двух переменных.
23. Испытания и события. Классификация событий.
24. Элементарные события. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
25. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности.
26. Сумма и произведение событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
28. Случайные величины. Виды случайных величин. Закон распределения дискретной
случайной величины.
29. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины, свойства.
30. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, свойства.
31. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин, свойства
числовых характеристик.
32. Нормальное распределение.
Таблица значений функции  ( x) 
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,05
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,08
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
(x)
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3984
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3977
0,3825
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
x
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
(x)
0,3352
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
x
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
(x)
0,1989
0,1965
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
1
2
x
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
e

x2
2
.
(x)
0,0833
0,0818
0,0804
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
x
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
(x)
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
x
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,50
3,51
3,52
3,53
(x)
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0025
0,0025
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
0,0017
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
x
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
3,60
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,80
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
(x)
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
Таблица значений функции ( x) 
1
2
x
e

x2
2
 dx
0
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
(x)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
x
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
(x)
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
x
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
(x)
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
x
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
(x)
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,49
0,50
0,51
0,1879
0,1915
0,1950
1,01
1,02
1,03
0,3438
0,3461
0,3485
1,53
1,54
1,55
0,4370
0,4382
0,4394
2,10
2,12
2,14
0,4821
0,4830
0,4838
x
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
(x)
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,4999997

0,5