Математика, 9 класс

Математика, 9 класс
Пишкова Н.Е., преподаватель кафедры математики и ИТ ДВГГУ
Квадратный трехчлен и его приложения
Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их являются
необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач. Для
активного применения
свойств
квадратного трёхчлена необходимо,
естественно, свободно владеть его «азбучными» свойствами, которые мы
сейчас и перечислим - без доказательства, но обращая внимание на некоторые
наиболее важные моменты, ускользающие зачастую из поля зрения учащихся.
Квадратным трёхчленом называется выражение ax 2  bx  c , a  0
Выражение x 2  px  q называют приведённым квадратным трёхчленом.
Важнейшей теоремой о корнях квадратного трёхчлена является теорема
Виета.
Теорема Виета.
Между корнями x1 и x2 квадратного трёхчлена
2
ax  bx  c и коэффициентами этого трёхчлена существуют соотношения:
b

 x1  x2   a

x  x  c
 1 2 a
Обратная теорема Виета. Если числа x1 и x2 таковы, что x1  x2   p;
x1  x2  q ,
то x1 и x2 - корни приведённого квадратного трёхчлена x 2  px  q .
Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима лишь для
приведённого квадратного уравнения.
Следствия из теоремы Виета
Пусть
x1 и
x2 - корни квадратного трёхчлена x 2  px  q , тогда
x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  p 2  2q,
x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x22  x1 x2 )   p ( p 2  3q)   p 3  3 pq,
x14  x24  ( x12  x22  2 x1 x2 )  ( p 2  2q) 2  2q 2  p 4  3 p 2 q  2q 2
Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного
трёхчлена.
Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели
одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:
c
D  b 2  4ac  0; x1 x 2  >0, при этом оба корня будут положительны, если
a
b
a
дополнительно выполняется условие x1  x2    0 , и оба корня отрицательны,
b
a
если x1  x2    0 .
Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели
различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения
x1  x2 
c
 0.
a
Заметим также, что многое в теории квадратного трёхчлена и решении
задач «вытекает» из единственной формулы
ax 2  bx  c  a( x 
b 2 4ac  b 2
) 
.
2a
4a
Такое преобразование квадратного трёхчлена называется, как известно,
выделением полного квадрата. Эту основную формулу можно запомнить, но
более полезно понять, как именно она получается, и в каждом конкретном
случае выделять полный квадрат этим способом.
2
b
c
b
b
b
c
b  b2


ax  bx  c  a( x  x  )  a x 2  2
x  ( ) 2  ( ) 2    a x   
c 
a
a
2a
2a
2a
a
2a  4a


2
2
b  b  4ac
b  4ac  b


 a x   
 a x   
;
2a 
4a
2a 
4a


2
2
2
(*)
2
Аналогично, для приведённого квадратного трёхчлена x 2  px  q имеем:
p
p 2  4q

x  px  q   x   
.
2
4

(*) и появляется выражение b 2  4ac , которое называется
2
2
В формуле
дискриминантом квадратного трёхчлена и имеет определяющее значение для
всех его свойств.
Если дискриминант квадратного трёхчлена больше нуля, то этот
трёхчлен можно представить в виде ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) .
Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то трёхчлен
можно представить в виде ax 2  bx  c  a( x  x1 ) 2 .
Если дискриминант квадратного трёхчлена меньше нуля, то
квадратный трёхчлен не разлагается на линейные множители с
действительными коэффициентами.
Рассмотрим некоторые примеры:
Пример 1. x1 и x2 - корни квадратного трёхчлена x 2  6 x  q . Они
удовлетворяют условию x2  2x1 . Найдите q, x1 и x2
Решение. Из теоремы Виета следует, что x1  x2  6 , по условию же
задачи x2  2x1 , поэтому 3x1  6, x1  2 ; теперь найдём x2  2x1  4 , тогда
q  x1  x2  8 .
Пример 2.
Найдите
x2
x
 1 , где x1 и x2 - корни квадратного
1  x1 1  x2
трёхчлена 2 x 2  3x  9 .
Решение. Преобразуем выражение
x2
x
x  x22  x1  x12  x2  x1    x1  x2   2 x1 x2
. По теореме Виета
 1  2

1  x1 1  x2 1  x2  x1  x1 x2
1   x1  x2   x1 x2
2
2
3 3
 9
    2   3  9  9
3
9
51
2 2
 2  2 4
x1  x2  и x1  x2   , поэтому имеем
 .
3 9
2
2
2
8
1 
2 2
Пример 3. Изобразить на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению 6 x 2  6 xy  y 2  0 .
Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трёхчлен
относительно x , считая y параметром; тогда как легко подсчитать, оно имеет
корни x1  y и x2  y . Следовательно, данное уравнение можно представить в
2
4
y
y
виде  x     x    0 , т.е. оно выполняется при x  y и при x  y , так что
2 
4
2
4

искомое множество является объединением двух прямых с уравнениями y  2 x
и y  4x .
Решение задач, для которых характерны следующие формулировки: при
каких значениях параметрах корни (только один корень) больше (меньше, не
больше, не меньше) заданного числа p; корни расположены между числами p и
q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках p и q и т. п.;
опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.
Приведем данные утверждения в удобной для решения форме. Пусть
числа x1 и x2 – корни квадратного трехчлена f ( x)  ax 2  b  c (положим x1 < x2 ), у
которого D =b2-4ac>0, a≠0 и даны А и B – некоторые точки на оси ОХ. Тогда:
1.
(Рисунок 1.) Оба корня меньше числа А, то есть
x1<A и x2<A
тогда и только тогда, когда
a  0, (1)

b

 A, (2)
 x0  
2a

 f ( A)  0 (3),
или
a  0, ( 4)

b

 A, (5)
 x0  
2a

 f ( A)  0 (6),
Если в первой системе объединить условие (1) и (3), а во второй условие
b

x0  
 A,

(4) и (6), то данные системы можно свести к одной: 
2a
a  f ( A)  0 .
x1
x2
x
x1
x2
A
x
x1
x2
A
x
A
a  0
 b

A

2
a

 f ( A)  0
2.
A < x2 ,
a  0
 b

A

2
a

 f ( A)  0
x1  A
x2  A
Рис. 1
(Рисунок 2.) Корни лежат по разные стороны от числа А, т.е. x1 <
a  0,

 f ( A)  0,
тогда и только тогда, когда
или
a  0,
Как и в

 f ( A)  0,
предыдущем случае, данное условие можно записать одним неравенством
a  f ( A)  0,
A
x1
x2
x
A
x1
x2
x
x1
a  0

 f ( A)  0
A
x2
x
a  0

 f ( A)  0
x1  A  x2
Рис. 2
3.
(Рисунок 3.) Оба корня больше числа А, то есть x1 > A и x2 > A,
тогда и только тогда, когда
a  0, (1)

 x0  A, (2)
 f ( A)  0 (3),

a  0, (4)

 x0  A, (5)
 f ( A)  0 (6),

или
Объединяя в первой системе условие (1) и (3), а во второй системе
 x0  A,

a  f ( A)  0 .
условие (4) и(6), получим одну систему:
x1
A
x1
x
A
a  0
 b

A

2
a

 f ( A)  0
4.
A < x2 <B,
x2
x2
x0
a  0
 b

A

2
a

 f ( A)  0
x
A x1
x2
x
x1  A
x2  A
Рис. 3
(Рисунок 4.) Оба корня лежат между точками А и B, т.е. A < x1 <B и
a  0, (1)
 A  x  B, (2)
0
тогда и только тогда, когда 
f
(
A
)
 0 (3)

 f ( B)  0 (4),
a  0, (5)
 A  x  B, (6)

0

f
(
A
)
 0 (7)

 f ( B)  0 (8),
или
Как и в предыдущих случаях можно значительно облегчить задачу,
 A  x0  B,
записав вместо двух систем одну a  f ( A)  0,
a  f ( B)  0.

x1
x2
A
x1
x
B
a  0

b

B
A  
2a

 f ( A)  0 ; f ( B)  0
x2
A
x
B
a  0

b

B
A  
2a

 f ( A)  0 ; f ( B )  0
A x1
x2 B
x
A  x1  B
A  x2  B
Рис. 4
5. (Рисунок 5). Корни лежат по разные стороны отрезка [A;B], т.е. x1 <A
<B< x2
a  0,
тогда и только тогда, когда  f ( A)  0,
 f ( B)  0,

a  0,

 f ( A)  0,
 f ( B)  0,

или
a  f ( A)  0,
данные две системы записываем одной: 
a  f ( B)  0.
x1
A
B
x2 x
x1
x2 x
A
x1 A
B x2
B
x1  A
a  0

 f ( A)  0 ; f ( B)  0
a  0

 f ( A)  0 ; f ( B)  0
Рис. 5
x2  B
x
Пример 4. При каких значениях параметра a число 2 находится между
корнями квадратного уравнения x  (4a  5)  x  3  2a  0 ?
Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения, причём x1  2  x2 .
Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трёхчлена и
придём к следующей системе:
2
 D  16a 2  48a  13  0,

 f (2)  2 2  (4a  5)  2  3  2a  0.
Или 17+6a < 0, откуда
a
17
6 .
Задачи для самостоятельного решения
1.
Выделите
трёхчленах:
а) x 2  2 x
полный квадрат (квадрат двучлена) в
b) x 2  5 x
c) 4 x 2  mx  m  2
2.
Разложите квадратный трёхчлен на множители:
а) 7 x 2  5 x  12
b) x 2  3  mx  3
c) ax 2  2ax  8
3.
Не решая квадратного уравнения 3x 2  x  11  0 , найдите
a) 1  1
x1
4.
x2
b) x12  x22
c)
x1 x2

x2 x1
При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения
x  a  1x  2aa  1  0 меньше, чем 1?
2
следующих