Document 3714440

Лекция 4
Криволинейные интегралы.
Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.
Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.
Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).
Как было доказано во втором семестре:
y
|L|=∫dl
так как y = y(x), то
dl  1  ( y ( x)) 2 dx
L
 y  y (t )
,

 x  x(t )
dl  ( x (t )) 2  ( y (t )) 2 dt
x
Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если y ( x)  C[a, b]
Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:
0, x  0

y
,где x  0,1
1
 x sin x , x  0
Кривая является синусоидой, заключенной
между двумя прямыми y  x и y   x .
1
Для функции x sin , x  0 условие
x
непрерывности y (x) в точке х=0
нарушается. Кривая, заданная
1
уравнением: y  x sin не имеет конечной
x
длины (доказать самостоятельно)
Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости
называется:
a
 x  x(t )
2
2
fdl

L
b f ( x(t ), y(t )) ( x(t ))  ( y(t )) dt ,где L – кривая, заданная уравнениями  y  y(t ) .
Докажем корректность определения:
t  t (u )
t ( )  a
Сделаем замену:
,где   u   и
t (u )  ca, b 
t( )  b
x(t (u )) u/  xt/  t u/
 y (t (u )) u/  yt/  t u/
,где t u/  0 и dt  t u/  du ,
тогда xu/  xt/  t u/  xt/ 
xu/
y u/
/
,аналогично
и
y

t
t u/
t u/

 xu/   yu/  /




fdl

f
(
x
(
t
(
u
)),
y
(
t
(
u
)))


t
du

f ( x(t (u )), y(t (u )))  ( xu/ ) 2  ( yu/ ) 2 du ,
L
a

 t/   t/  u
 u   u 

Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.
2
b
2
Опр. Кривая ( K )  ( AB) , заданная
параметрическими уравнениями x   t  и
y   t  называется гладкой, если функции  и
 имеют непрерывные производные, не
обращающиеся одновременно в нуль.
Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой)
кривой называется кривая, которая является
непрерывной и состоит из нескольких гладких
кривых.
Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):
10         
L
2
0
L1
 (c
1
L2
L3
L4
f  c2 g )dl  c1  f1dl  c2  f 2 dl (свойство аддитивности)
L
L
L
Аналогично кривая L   3 задается системой:
 x  x(t )

это уравнение кусочнонеперывной кривой
L :  y  y (t )
 z  z (t )

Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало
кривой в точке А и конец в точке В.
L
А
В
Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком
направлении мы интегрируем по прямой от A  B ,или от B  A .
b
Опр. Интеграл  f ( x, y, z )dL   f ( x(t ), y(t ), z (t )) ( x(t )) 2  ( y (t )) 2  ( z (t )) 2 dt называется
L
a
криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве  3 .
Криволинейные интегралы второго типа.
Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго
рода будем рассматривать на плоскости (в  2 ).
  b
Криволинейным интегралом второго рода называется  Fdr :  ( Px   Qy )dt ,
L
a

где F  ( P, Q) и L  AB , dr  (dx, dy ) .
Точки А и В имеют координаты
А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.
L+ означает, что выбрано положительное
направление движения по кривой, т.е. то
направление, при котором интеграл от А до В имеет
положительное значение.

Обозначим r  ( x, y ) - радиус вектор и
 x  x(t )
L : 
 y  y (t )
Работа по перемещению тела из точки А в точку В

в поле F выражается интегралом:
 
A   Fdr
L
в этом и есть физический смысл интеграла.
Докажем корректность определения:
t ( )  a
Делаем замену t=t(u) и 
,
t (  )  b
xu/ / y u/
, y t  / и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит
t u/
tu
интеграл можно представить в виде:

    xu/
yu/  /
/
/


L Fdr    P tu/  Q tu/ tu du   Pxu  Qy u du

xt/ 


т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.
Свойства:
10 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е.
 
  
 
 
 
 
(
F

G
)
d
r

F
d
r

Q


 dr и  Fdr   Fdr   Fdr
L
L
L1  L2
L
L1
L2
А
20
 
 
F
d
r


F

 dr
L
L+
L-
L+=AB
L
L-=BA
В
Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в
поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус
в другом направлении
Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.
В
Зададим касательный вектор движения по прямой
( xt/ , yt/ )

(dx, dy )
e 

dl
(dx) 2  (dy ) 2


r   ( xt/ , yt/ )
ex



e dl  r dt , r dt  dl

Fe   f
А
 
 

 Fdr   ( Fe ) r  dt   ( Fe )dl   fdl ,а этот интеграл является интегралом первого типа.
 
L
L
L
L
Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в  3 .

Рассмотрим векторное поле F  P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )  , для которого

r  ( x, y, z ) является радиус вектором, тогда

dr  dx, dy, dz  , и

dl  dr  dx 2  dy 2  dz 2
 x  x(t )

Кривая L задается системой L :  y  y (t ) .
 z  z (t )

По определению:
b
 
/
 Fdr   Pdx  Qdy  Rdz    Px  Qy   Rz t dt ,
L
L
a
а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора
параметра доказывается также, как и в  2 .
Пример
Рассмотрим пример, в котором точка с массой М
находится в начале координат и неподвижна, а
точка m, с массой m, движется по АВ.
Вычислить работу по перемещению точки m,
приняв гравитационную постоянную равной  .
  mMr
F   3 , т.е.
z

mM  x, y, z 
F 
3
x2  y2  z2


 
 xdx  ydy  zdz
A   Fdr  mM 
3
L
x2  y2  z2


 x  x(t )

L :  y  y (t ) ,а
 z  z (t )

точки А и В имеют координаты Ax(a), y(a), z(a) и Bx(b), y(b), z(b) соответственно.
b
A  mM 
a
 x(t ) x (t )dt  y (t ) y (t )dt  z (t ) z (t )dt
 ( x(t ))
2
 ( y (t )) 2  ( z (t )) 2
рассмотрим U  x(t ), y (t ), z (t )  
 ( x(t ))

3
1

, тогда U (t ) , как производная
 ( y (t )) 2  ( z (t )) 2
сложной функции от нескольких переменных, будет равна
u
u
u
u u u
U (t ) 
x(t ) 
y (t ) 
z (t ) ,для вычисления U (t ) , представим
, и в виде
x
y
z
x y z
u
x
u
y
u
z



,
и
,соответственно,
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x

y

z
x y z
x y z
x y z


2




тогда подставив эти выражения в уравнение для U (t ) , получаем:
 x(t ) x (t )  y (t ) y (t )  z (t ) z (t )
U (t ) 
, а так как работа выражается через определенный
3
2
2
2
( x(t ))  ( y (t ))  ( z (t ))
интеграл, то подставив это выражение, получаем


b
A  mM  U (t )dt  mM  U (t ) ba  mM U ( x(b), y (b), z (b)))  U ( x(a ), y (a ), z (a ))  
a
 mM U ( B )  U ( A) 
mM

mM
( x(b)) 2  ( y (b)) 2  ( z (b)) 2
( x(a )) 2  ( y (a )) 2  ( z (a )) 2
Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только
от начальной А и конечной В точек этого пути.