Я выношу на обсуждение решение этой задачи в том виде, в каком оно видится мне. Не буду переходить в падающие системы координат или системы координат, связанные с одним из тел. Основная идея состоит в том, что все это de facto получается автоматически и никаких дополнительных усилий прилагать не нужно. Вторая и не менее важная сторона такого подхода в том, что он работает всегда без всяких особенных изобретений. Я не сторонник упрощений в тех случаях, когда не отработан основной метод. Именно при последовательном применении общей схемы и будет видно, где, что и как конкретно можно упростить. Совершенно простой и банальный пример: есть общая схема решения квадратного уравнения, а есть редукция этой общей схемы для случая четного коэффициента при “x” в первой степени. Нужно ее заучивать? НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ!!! 1. Перехожу к задаче, сформулированной miflin’ом. Все изложение, учитывая его тривиальность, будет очень конспективно. 2. Уравнение движения любого тела в однородном силовом поле имеет вид: ⃗ 𝑡2 𝒂 ⃗𝒓𝑖 (𝑡) = ⃗𝒓0𝑖 + ⃗𝒗0𝑖 𝑡 + , 2 ⃗ где 𝒂 – ускорение, одинаковое для всех тел в данном однородном силовом поле; ⃗ 0𝑖 , 𝒗 ⃗ 0𝑖 - радиус-вектор 𝒓 ⃗ 𝑖 (0) и скорость 𝒗 ⃗ 𝑖 (0) 𝑖-го тела в начальный момент времени 𝑡 = 0. 𝒓 3. Ясно, что для любых двух тел: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑗 (𝑡) − 𝒓 ⃗ 𝑖 (𝑡) = (𝒓 ⃗ 0𝑗 + 𝒗 ⃗ 0𝑗 𝑡)- (𝒓 ⃗ 0𝑖 + 𝒗 ⃗ 0𝑖 𝑡) = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ отн 0𝑖𝑗 𝑡 . 𝛥𝒓𝑖𝑗 (𝑡) = 𝒓 𝛥𝒓0𝑖𝑗 − 𝒗 Запишем это выражение только для двух тел (1) и (2) в самом простом виде: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑡 𝛥𝒓(𝑡) = ⃗⃗⃗ 𝒅 + 𝒖 (!!!) ⃗ 2 (𝑡) − 𝒓 ⃗ 1 (𝑡) , 𝒅 = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 02 − 𝒓 ⃗ 01 и 𝒖 ⃗ =𝒗 ⃗ отн 012 . где ⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝒓(t) = 𝒓 𝛥𝒓12 (0) = 𝒓 4. Уравнение (!!!) – основное уравнение. Разумеется, ничего нового не написано! Что из него можно вывести? Поставим вопрос чуть-чуть по-другому: на какое минимальное расстояние могут сблизиться эти два тела? Из уравнения (!!!) находим: 2 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)| = 𝑢2 𝑡 2 + 2(𝒖 · 𝒅) 𝑡 + 𝑑2 . |𝛥𝒓 Минимум этого выражения достигается при 𝑡= − (𝒖 · 𝒅) 𝑢2 и равен 2 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)| = |𝛥𝒓 𝑚𝑖𝑛 При этом ⃗⃗⃗⃗ 𝛥𝒓(𝑡)𝑚𝑖𝑛 = 𝒅 − 𝒖 (𝒖·𝒅) 𝑢2 = [𝒖[𝒅𝒖]] 𝑢2 |[𝒖·𝒅]|2 𝑢2 . . Здесь, как и обычно, квадратные скобки обозначают векторное произведение. 5. Пункт 5. Фактически отвечает на все возможные вопросы. Применим его результаты к интересующему нас случаю. Ясно, что встреча возможна лишь в том случае, когда 2 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)| =0 и (𝒖 · 𝒅) < 0 . В свою очередь первое равносильно условию [𝒖 · 𝒅] = 0, т.е. |𝛥𝒓 𝑚𝑖𝑛 вектор относительной начальной скорости и вектор 𝒅 коллинеарны, но с учетом неравенства (𝒖 · 𝒅) < 0 антипараллельны. Соотношение [𝒖 · 𝒅] = 0 можно записать развернуто: [𝒗01 · 𝒅] = [𝒗02 · 𝒅]. Это говорит о том, что траектории двух точек лежат в одной плоскости. Это очевидное для встречи требование получено автоматически, и ничего добавлять не нужно. За что я и люблю математику! 6. Последнее, о чем хочу упомянуть: условие встречи [𝒖 · 𝒅] = 0 удовлетворяется и при 𝒖 = (𝒖·𝒅) 0. Однако, это противоречит условию 𝑡встр = − 2 . Поэтому при всем желании 𝑢 последние рассуждения о том, что встреча возможна, когда что-то чууууууть больше не соответствует действительности, поскольку это и есть 𝒖 → 𝟎. Время события отодвигается на бесконечность и становится бессмысленным. Я не согласен со случаем «чуть-чуть»… ! ̂ ) = 0, что с учетом cos(𝒖𝒅 ̂) < 0 7. Итак, условие встречи [𝒖 · 𝒅] = 0. Или 𝑢 · 𝑑 · 𝑠𝑖𝑛(𝒖𝒅 ̂ ) = π. возможно лишь при (𝒖𝒅 8. Поставленный вопрос о минимальной скорости решается без проблем из уравнения: [𝒗01 · 𝒅] = [𝒗02 · 𝒅], что равносильно ̂ |𝒗01 | sin( 𝒗̂ 01 𝒅) = |𝒗02 | sin( 𝒗02 𝒅), а это и есть следствие упомянутой мной ранее теоремы синусов. Я не буду дальше развивать эту мысль. 9. Вот это и есть маленький пример работы математики, когда все, что нам нужно и ранее заложенное в исходных физических уравнениях, полностью нашло свое отражение в решении. Если у кого-нибудь есть желание вернуться к физике, пожалуйста! ⃗ - это и есть переход в «падающую с ускорением 𝒂 ⃗ " систему координат. «Исчезновение» 𝒂 Зависимость только от 𝒖 - это и есть переход в систему первого тела. И т.д., и т.п.