Ответом к заданиям 1

Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-1
Единая городская диагностическая работа по математике
(профильный уровень)
Ф.И. ________________________________________________________
_____________________________________________________________
Ученика (цы) класса_____________________________________
Школы __________________
декабрь 2015 г.
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-2
Инструкция по выполнению работы
Диагностическая работа состоит из двух частей, включающих в
себя 14 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности
с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом и 2
задания с развёрнутым ответом.
На выполнение диагностической работы по математике отводится
90 минут.
Ответы к заданиям 1 – 12 записываются в виде целого числа или
конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте
работы.
При выполнении заданий 13– 14 требуется записать полное
решение в специально отведенном для этого месте.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать
наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-3
Ответом к заданиям 1 – 13 является целое число или
конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в
тексте работы. Единицы измерения писать не нужно
1
Часть 1
Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее количество таких
тетрадей можно будет купить на 250 рублей после понижения
цены на 25%?
Ответ:__________
2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в
Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали
указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах
Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с
положительной среднемесячной температурой.
Ответ:__________
3
Найдите площадь трапеции,
изображенной на рисунке.
Ответ:__________
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-4
За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке
рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность
того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.
4
Ответ:__________
5
Найдите корень уравнения
Ответ:__________
6
1
1

.
9 x  2 8x  4
В треугольнике ABC угол A равен
78 , биссектрисы BD и CE
пересекаются в точке O . Найдите
угол DOE . Ответ дайте в градусах.
Ответ:__________
7
На рисунке изображен график функции y  f  x , определенной
на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в
которых производная функции y  f  x  отрицательна.
Ответ:__________
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-5
8
В сосуде, имеющем форму конуса,
1
уровень жидкости достигает высоты.
2
Объём жидкости равен 70 мл. Сколько
миллилитров жидкости нужно долить,
чтобы полностью наполнить сосуд?
Ответ:__________
9
Часть 2
3 135  4 16
Найдите значение выражения
.
3 40
Ответ:__________
10
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по
прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным
ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле v  2la .
Определите наименьшее ускорение, с которым должен
двигаться автомобиль, чтобы проехав 0,3 км приобрести
скорость не менее 90 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.
Ответ:__________
11
Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса
второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух
сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди.
Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Ответ:__________
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-6
12
Найдите наибольшее значение функции y  6 cos x 
 2

отрезке 
; 0 .
 3

Ответ:__________
27

x  4 на
Запись решения на задания 13-14 выполняйте в специально
отведенном месте. Решение записывайте четко и
разборчиво.
13
14
3 

а) Решите уравнение sin 2 x  cos x    .
2 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
 5 7 
 2 ; 2  .
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны
основания равны 6, боковые ребра равны 4.
а) Постройте сечение, проходящее через вершины A , B , и
середину ребра A1C1.
б) Найдите площадь сечения.
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-7
План контрольно-измерительных материалов единой городской
диагностической работы 11 класс. Математика профильный уровень.
декабрь 2015
Обоз
наче
ние
зада
ния в
рабо
те
1
Проверяемые
элементы
содержания
Целые числа, дроби,
проценты,
рациональные числа,
применение
математических
методов для решения
содержательных задач
из различных
областей науки и
практики.
Интерпретация
результата, учёт
реальных
ограничений
2
Табличное и
графическое
представление данных
3
Фигуры на
Проверяемые
умения
Коды
проверяе
мых
требован
ий к
уровню
подготов
ки по
кодифик
атору
6.1.
Коды
проверяе
мых
элементо
в
содержан
ия (по
кодифик
атору)
1.1.1
1.1.3.
2.1.12
Уметь использовать
приобретённые
знания и умения в
практической
деятельности и
повседневной жизни
Уметь использовать
приобретённые
знания и умения в
практической
деятельности и
повседневной жизни:
описание с помощью
функций различных
реальных
зависимостей между
величинами и
интерпретация их
графиков; извлечение
информации,
представленной в
таблицах, на
диаграммах, графиках
Уметь выполнять
Уровень
сложност
и задания
Базовый
3.1
6.2
3.1- 3.3
6.2.1
Базовый
Базовый
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-8
Обоз
наче
ние
зада
ния в
рабо
те
Проверяемые
элементы
содержания
Проверяемые
умения
плоскости, их
свойства; теоремы
планиметрии
4
действия с
геометрическими
фигурами
Уметь моделировать
реальные ситуации на
языке теории
Вероятности событий
вероятностей и
статистики, вычислять
в простейших случаях
вероятности событий
Коды
проверяе
мых
требован
ий к
уровню
подготов
ки по
кодифик
атору
4.1
Коды
проверяе
мых
элементо
в
содержан
ия (по
кодифик
атору)
5.4.
6.3
5
Уметь решать
уравнения
6
Фигуры на
плоскости, их
свойства; теоремы
планиметрии
Уметь выполнять
действия с
геометрическими
фигурами
7
Применение
производной к
исследованию
функций,
геометрический
смысл производной,
понятие
первообразной
Уметь исследовать в
простейших случаях
функции на
монотонность,
находить наибольшее
и наименьшее
значения функции
8
Многогранники,
площадь поверхности,
объем, фигуры
вращения.
Уметь решать
простейшие
стереометрические
задачи на нахождение
геометрических
величин
5.1
5.5
Базовый
2.1
Квадратные, дробнорациональные
уравнения
Уровень
сложност
и задания
2.1
Базовый
4.1
5.2
3.1.-3.3.
5.1.15.1.4
5.5.15.5.5
Базовый
4.1.-4.3.
Базовый
4.2
5.2-5.5
Базовый
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-9
Обоз
наче
ние
зада
ния в
рабо
те
Проверяемые
элементы
содержания
9
Рациональные числа,
иррациональные
числа,
действительные
числа. Степень с
целым, рациональным
и действительным
показателем; корни;
синус, косинус,
тангенс и котангенс
числа.
Арифметические
действия с числами.
10
11
12
13
Тригонометрические,
рациональные
уравнения
Текстовые задачи
Производные суммы,
разности,
произведения,
частного, основных
элементарных
функций
Тригонометрические
уравнения
Проверяемые
умения
Коды
проверяе
мых
требован
ий к
уровню
подготов
ки по
кодифик
атору
1.1-1.3
Коды
проверяе
мых
элементо
в
содержан
ия (по
кодифик
атору)
1.1.-1.4
Уметь выполнять
вычисления и
преобразования
Уметь использовать
приобретённые
знания и умения в
практической
деятельности и
повседневной жизни
Уметь строить и
исследовать
простейшие
математические
модели
Уметь исследовать в
простейших случаях
функции на
монотонность,
находить наибольшее
и наименьшее
значения функции,
вычислять
производные
элементарных
функций.
Решать
тригонометрические
уравнения. Уметь
отбирать корни,
Уровень
сложност
и задания
Повышен
ный
6.1-6.3
2.1, 2.2
Повышен
ный
5.1.
2.1, 2.2
Повышен
ный
3.2, 3.3
4.1, 4.2
Повышен
ный
2.1-2.3
2.1, 2.2
Повышен
ный
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-10
Обоз
наче
ние
зада
ния в
рабо
те
14
Проверяемые
элементы
содержания
Проверяемые
умения
удовлетворяющие
условию.
Решать задачи на
взаимное
расположение прямых
Взаимное
и плоскостей в
расположение прямых
пространстве с
и плоскостей в
использованием
пространстве.
фактов стереометрии.
Теоремы о взаимном
Уметь находить
расположении прямых
элементы фигур,
и плоскостей.
пользуясь
стереометрическими
фактами и свойствами
фигур.
Коды
проверяе
мых
требован
ий к
уровню
подготов
ки по
кодифик
атору
Коды
проверяе
мых
элементо
в
содержан
ия (по
кодифик
атору)
4.1, 4.3,
5.2, 5.3
5.2-5.6
Уровень
сложност
и задания
Повышен
ный
Система оценивания.
Ответы к заданиям 1–12.
Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если
экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной
десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1
баллом.
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
Ответ
11
7
30
0,125
-6
129
7
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-11
8
9
10
11
12
490
3
13500
45
19
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-12
Решения и критерии оценивания заданий 13–14
Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–
14, зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым
ответом: решение должно быть математически грамотным, полным,
все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения,
формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За
решение, в котором обоснованно получен правильный ответ,
выставляется максимальное количество баллов.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в
0 баллов.
Проверяется
только
математическое
содержание
представленного решения, а особенности записи не учитывают.
При выполнении задания могут использоваться без
доказательства
и
ссылок любые математические факты,
содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в
Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию
при
реализации
имеющих
государственную аккредитацию
образовательных программ среднего общего образования.
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-13
3 

а)
Решите
уравнение
sin
2
x

cos
x

 .

13
2 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
 5 7 
 2 ; 2  .
Решение.
а) Запишем уравнение в виде 2 sin x cos x   sin x ;
2 sin x cos x  sin x  0 ; sin x2 cos x  1  0 .
sin x  0 , x  n, n  Z , или
1
2
cos x   , откуда x  
 2k , k  Z .
2
3
б) С помощью числовой окружности
отберем корни уравнения,
 5 7 
принадлежащие отрезку  ;  .
2 2 
8
10
Получим числа:
; 3 ;
.
3
3
Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим
способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.
2
 2k , k  Z .
Ответ:
а) x  n, n  Z ; x  
3
8
10
б)
; 3 ;
.
3
3
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обеих пунктах.
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или в пункте 1
б)
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но
при этом имеется верная последовательность всех шагов
решения.
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-14
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше.
Максимальный балл: 2
14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания
равны 6, боковые ребра равны 4.
а) Постройте сечение, проходящее через вершины A , B , и
середину ребра A1C1.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
а) Обозначим через M и N середины
ребер A1C1 и B1C1 соответственно.
MN - средняя линия A1B1C1 .
MN || A1B1, AB || A1B1 , прямые MN и AB
лежат в одной плоскости. Равнобедренная
трапеция AMNB - искомое сечение.
б) Основания призмы AB  6 , MN  3 .
По теореме Пифагора:
AM  AA12  A1M 2  16  9  5 .
Проведем в трапеции высоту MH .
AH 
AB  MN 3
 .
2
2
2
MN  AB
9 91 9
91
 3
. S AMNB 
 MH  

91 .
MH  5    
2
2
2
4
2
2
 
9
91 .
Ответ:
4
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. 2
Обосновано найдено сечение в пункте а)
1
ИЛИ
Верно решен пункт б) при отсутствии обоснования в
пункте а).
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
2
Единая городская диагностическая работа ЕГЭ МАТЕМАТИКА 11 класс.
Профильный уровень. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
2015 / 1-15
перечисленных выше.
Максимальный балл: 2