Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Урок 5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Y
r
vx
r r
v0y v0
αr
y0
0
v0x
x0
A
r
g
B
X
Рассмотрим движение тела, брошенного под углом α к горизонту с
r
r
начальной скоростью v 0 . Спроецируем начальную скорость v 0 и ускорение
r
a камня на оси X и Y. Проекция начальной скорости на ось X равна
r
v0x = v0 cosα. Проекция ускорения ax = 0, поскольку вектор
g
перпендикулярен оси X. Поэтому движение камня вдоль оси X будет
равномерным. Проекция скорости vx и координата x летящего камня
определяются соотношениями:
vx = v0 cosα,
x = x0 + v0t cosα
Проекция начальной скорости на ось Y равна v0y = v0 sinα. Проекция
r
ускорения ay = −g, поскольку вектор g направлен противоположно оси Y.
Поэтому вдоль оси Y движение камня равнопеременное. В этом случае
проекция скорости vy и координата y летящего камня задаются формулами:
gt 2
2
Когда тело достигнет максимальной высоты подъема, проекция его
скорости на ось Y будет равна нулю vy = 0. Тогда время подъема до
максимальной высоты t1 = v0sinα/g. Подставляя это значение в уравнение
для максимальной высоты подъема:
vy = v0 sinα − gt,
y = y 0 + v 0 t sin α −
v 2 sin 2 α
hmax = 0
2g
Если тело брошено от земли (y0 = 0), то общее время полета t0 равно
удвоенному времени подъема:
2 v sin α
t0 = 0
g
Дальность полета L камня определяется подстановкой времени полета t0 в
зависимость x(t): L = x0 + v0 t0cosα. При x0 = 0 и y0 = 0 дальность полёта равна
v 02 sin 2α
L=
g
Максимальная дальность полета для камня, брошенного с земли,
достигается при угле бросания α = 45°, поскольку в этом случае sin2α = 1.
Уравнение траектории
Определим, по какой траектории движется брошенное тело, то есть
найдем уравнение, связывающее между собой координаты тела по осям x и
y. Для этого выразим время из зависимости x(t):
x − x0
t=
v 0 cos α
и подставим его в формулу для y(t). Получаем квадратичную функцию y(x):
2
⎛ x − x0 ⎞
g ( x − x0 ) 2
1 ⎛ x − x0 ⎞
⎟⎟ sin α − g ⎜⎜
⎟⎟ = y 0 + ( x − x0 ) tgα −
y = y 0 + v 0 ⎜⎜
2 ⎝ v 0 cos α ⎠
2v 02 cos 2 α
⎝ v 0 cos α ⎠
Если выбрать систему координат таким образом, что x0 = 0, y0 = 0, то
формула упрощается:
y = xtgα −
gx 2
2 v 02 cos 2 α
Графиком полученной функции y = y(x) является парабола (см. рис.),
направленная ветвями вниз и пересекающая ось x в точках x1 = 0 (начало
v 02 sin 2α
. Координаты вершины этой параболы равны
координат) и x2 = L =
g
v 2 sin 2 α
xв = L/2 и yв = hmax = 0
.
2g
y
yв
x
х1
хв
х2
Пример. Два тела брошены одновременно: одно с земли под углом к
горизонту, а другое − горизонтально с высоты H = 10 м над землей. Вначале
тела находились на одной вертикали, а через некоторое время столкнулись в
полете (см. рис.). Известно, что если бы тела не столкнулись, то брошенное
с земли тело пробыло бы в полете вдвое дольше другого. Найдите высоту,
на которой произошло столкновение. Сопротивлением воздуха пренебречь.
2
H
1
Решение. Если бы тела не сталкивались, то время полета второго тела,
брошенного горизонтально, было бы равно t2 = 2 H g . Пpи этом время
полета первого тела было бы pавно, согласно условию, t1 = 2t2 = 2 2 H g .
С другой стороны, t1 = 2v 0 y g , где v0y − вертикальная составляющая
начальной скорости первого тела. Находим, что v0 y = 2 gH . В системе
отсчета, связанной со вторым телом, первое равномерно приближается ко
второму со скоростью v0y, поэтому время от начала полета тел до их
столкновения равно t ст = H v 0 y . В земной системе отсчета уравнение
движения первого тела имеет вид h1 (t ) = v 0 y t − gt 2 / 2 , откуда находим, что
столкновение тел происходит на высоте
3H
2
h1 (t ) = v 0 y t ст − gt ст
/2 =
= 7,5 м .
4
Пример. Тело брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной
скоростью v0 = 20 м/с. Через какое время вектор скорости тела окажется
перпендикулярен начальной скорости?
Решение. Запишем в векторном виде зависимость скорости свободно
падающего тела от времени:
r r
r
v = v 0 + gt
r r
Строим треугольник скоростей, учитывая, что по условию задачи v ⊥ v 0
(см. рис.)
r
v0
α
r
v0x
r
gt
r
v
α
По теореме Пифагора получаем, что (gt)2 = v2 + v 02 . Отсюда выражаем
искомое время:
t=
v 02 + v 2
g
r
Горизонтальная составляющая v 0 x скорости тела не изменяется, поэтому из
рисунка следует, что v0cosα = vsinα, откуда v = v0ctgα. Подставляя это
выражение, получаем ответ:
t=
v 02 + v 02 ctg 2α v
v
=
1 + ctg 2α =
g
g
g sin α
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Тело брошено вдоль склона вниз под углом α к поверхности горы.
Определить дальность полёта, если начальная скорость равна v0, угол
наклона горы β. Сопротивлением воздуха пренебречь.
[Ответ:
2 v 02 sin α cos(α − β )
g cos 2 β
]
Задача 2. Пушка выстреливает ядро под углом α = 60° к горизонту со
скоростью v = 100 м/с. Когда ядро достигает наивысшей точки траектории,
пушка стреляет второй раз. Через какое время после первого выстрела ядра
окажутся на минимальном расстоянии друг от друга (пока оба ядра в
полете)? Чему равно это расстояние? Сопротивлением воздуха пренебречь.
[Ответ: t = vsinα/(2g) ≈ 4,42 c, L = v2cosαsinα/g ≈ 442 м]