Формулы двойного и половинного угла. Задачи

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Тренировочные задачи
Формулы двойного и половинного угла
1. Вычислите:
а) 2 sin 15◦ cos 15◦ ;
б) sin
в) 4 sin 75◦ cos 75◦ ;
г)
√
3
;
2
а)
√
2
;
4
в) 1; г) − 81 ; д)
3
;
2
е) 1 +
π
π 2
+ sin
;
12
12
б)
cos
1
;
2
1
sin 105◦ cos 105◦ ;
2
2
7π
7π
− cos
.
е) sin
8
8
а)
д)
π
π
cos ;
8
8
2
2
√
2. Вычислите:
π
π
− cos2 ;
8
8
5π
г) 1 − 2 cos2 ;
8
а) cos2 15◦ − sin2 15◦ ;
б) sin2
в) 2 cos2 75◦ − 1;
7π
;
12
е) 2 sin2 165◦ − 1.
б) −
√
2
;
2
в) −
3
;
2
√
г)
√
2
;
2
д) −
3
;
2
е) −
√
д) 1 − 2 sin2
3
2
√
3. Упростите выражение:
2 sin2 α
;
sin 2α
1 + cos 2β
г)
;
cos β
cos 10◦
е)
+ sin 5◦ .
◦
◦
cos 5 + sin 5
sin 2α
;
cos α
1 − cos 2β
в)
;
sin β
cos 40◦ + sin2 20◦
д)
;
cos2 20◦
а)
б)
а) 2 sin α; б) tg α; в) 2 sin β; г) 2 cos β; д) 1; е) cos 5◦
4. Упростите выражение:
а) sin 2α + (sin α − cos α)2 ;
2 sin α − sin 2α
;
в)
1 − cos α
д) (cos 3α + sin 3α)(cos 3α − sin 3α);
б) sin 2α ctg α − 1;
cos 2x − cos2 x
г)
;
1 − cos2 x
е) 1 − 2 sin2 4x.
а) 1; б) cos 2α; в) 2 sin α; г) −1; д) cos 6α; е) cos 8x
1
5. Известно, что sin α =
4
5
и 90◦ < α < 180◦ . Найдите sin 2α и cos 2α.
24
7
sin 2α = − 25
, cos 2α = − 25
3π
2
< α < 2π. Найдите sin 2α и cos 2α.
120
sin 2α = − 169
, cos 2α =
5
6. Известно, что tg α = − 12
и
119
169
7. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 1/3. Найдите косинус угла
при вершине этого треугольника.
− 79
8. Вычислите sin π8 и cos π8 .
sin
π
8
=
√
√
2− 2
,
2
cos
π
8
=
√
√
2+ 2
2
9. Упростите выражение:
π
6 tg 12
б)
π ;
1 − tg2 12
π+x
π+x
г) 2 sin
cos
;
2
2
π+α
π+α
− sin2
.
е) cos2
4
4
√
3; в) sin α; г) − sin x; д) cos 2α; е) − sin
д) (1 − tg2 α) cos2 α;
а) tg 6◦ ; б)
2 tg 3◦
а)
;
1 − tg2 3◦
2
в)
;
α
tg 2 + ctg α2
α
2
10. Докажите тождество:
а) (cos α + sin α)2 = 1 + sin 2α;
б) cos4 α − sin4 α = cos 2α;
α
α
г) ctg − tg = 2 ctg α;
2
2
е) (ctg α − tg α) sin 2α = 2 cos 2α;
1
з) sin α cos3 α − sin3 α cos α = sin 4α;
4
sin 2α − 2 cos α
к)
= −2 ctg α;
2
sin α − sin α
sin α
sin α
м)
+
sin 2α = 4 cos α;
1 + cos α 1 − cos α
1 − cos 2α + sin 2α
о)
= tg α.
1 + cos 2α + sin 2α
в) ctg α − sin 2α = ctg α cos 2α;
д) sin 2α − tg α = cos 2α tg α;
ж) (1 + cos 2α) tg α = sin 2α;
cos 2α
= ctg α − 1;
2
sin
α cos α + sin α
cos α
cos α
л)
+
sin 2α = 4 sin α;
1 + sin α 1 − sin α
1 − cos α + cos 2α
н)
= ctg α;
sin 2α − sin α
и)
11. Найдите sin 2α, если sin α + cos α = 12 .
− 34
12. Докажите тождество:
sin 3α cos 3α
−
= 2.
sin α
cos α
2
13. Докажите тождество:
а) sin4 α + cos4 α = 1 −
1 2
sin 2α;
2
б) sin6 α + cos6 α = 1 −
3 2
sin 2α.
4
14. Выведите формулы тройного угла:
а) sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α;
б) cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α;
3 tg α − tg3 α
в) tg 3α =
.
1 − 3 tg2 α
15. Исходя из равенства cos 54◦ = sin 36◦ , вычислите sin 18◦ .
5−1
4
а) cos
π
2π
1
cos
= ;
5
5
4
б) cos 20◦ cos 40◦ cos 80◦ =
3
1
.
8
√
16. Покажите, что: