ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание
непрерывной случайной величины и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Виды распределений. Нормальный закон распределения. Кривая Гаусса и
ее вид в зависимости от параметров распределения.
Если множество значений случайной величины содержит целый отрезок
числовой оси, то такие случайные величины называются непрерывными.
Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины
(НСВ) Х называется функция переменной x, выражающая вероятность того, что
Х в результате испытания примет значение, меньшее, чем число x.
Заметим, что если вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее чем x, обозначить через P ( X < x ) , то интегральная функция
распределения есть функция F (x) переменной x, определенная равенством
F ( x) = P( X < x) .
Перечислим основные свойства интегральной функций распределения:
1. lim F ( x) = 0 ;
x→ − ∞
2. lim F ( x) = 1 ;
x→ + ∞
3. Функция F (x) – монотонно неубывающая;
4. Вероятность P ( x1 ≤ X < x2 ) того, что случайная величина Х примет зна-
чение в полуинтервале [x1 , x2 ) равна F ( x2 ) − F ( x1 ) (рис. 2), т.е.
P ( x1 ≤ X < x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) .
(19)
Производная F ′(x) интегральной функции распределения называется
дифференциальной функцией распределения (дифференциальным законом
распределения) непрерывной случайной величины Х, а значения функции
называются плотностью вероятности случайной величины Х.
62
Геометрический смысл дифференциальной функции распределения иллюстрирует рисунок 3: вероятность P (a ≤ X < b ) численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции.
F (x )
f (x)
1
O
x1
x2
O
x
Рис. 2. График интегральной
функции распределения
a
b
x
Рис. 3. График дифференциальной
функции распределения
Дифференциальная функция распределения имеет следующие основные
свойства:
1. Если существует F ′(x) , то f ( x) ≥ 0 ;
b
2. Справедливо равенство P (a ≤ X < b ) = ∫ f ( x ) dx ;
a
+∞
3. Справедливо равенство
∫ f (x )dx = 1.
−∞
Математическим ожиданием НСВ Х называется число
M [X ] =
+∞
∫ x f ( x) dx .
(20)
−∞
Дисперсией НСВ Х называется число
D[ X ] =
+∞
∫ (x − M [X ])
2
f ( x) dx
(21)
−∞
Начальным моментом v q порядка q НСВ Х называется число
+∞
α q = ∫ x q f ( x) dx .
−∞
Центральным моментом порядка q НСВ Х называется число
63
(22)
µq =
+∞
∫ (x − M [X ])
q
f ( x) dx .
(23)
−∞
Коэффициентом асимметрии А НСВ Х называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения:
A=
µ3
.
σ3
(24)
Если коэффициент асимметрии (24) отрицателен (положителен), то говорят, что имеет место левосторонняя (правосторонняя) асимметрия (рис. 4).
Отметим, что коэффициент (24) распределения симметричного относительно
математического ожидания равен нулю.
Эксцессом Е называют уменьшенное на 3 единицы отношение центрального момента четвертого порядка к четвертой степени среднего квадратичного
отклонения, т.е.
E=
µ4
− 3.
σ4
(25)
За стандартное значение эксцесса принимают нуль – эксцесс так называемой нормальной кривой. Кривые, у которых эксцесс отрицательный по сравнению с нормальной, менее крутые, имеют более плоскую вершину и называются
«плавновершинными». Кривые с положительным эксцессом более крутые по
сравнению с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются
«островершинными» (рис. 5)
f(x)
f(x)
E>0
E=0
A<0
A>0
O
E<0
x
O
Рис. 4. Асимметрия распределения
случайной величины
M [X ]
x
Рис. 5. Эксцесс распределения
случайной величины
64
Распределение НСВ Х, заданное дифференциальной функцией распределения
f (x ) =
1
σ 2π
e
−
( x − m )2
2σ
2
(26)
называется нормальным распределением.
Укажем смысл параметров распределения: параметр m нормального распределения равен математическому ожиданию случайной величины; параметр
σ нормального распределения совпадает со средним квадратическим отклонением, а σ
2
– с дисперсией случайной величины.
График функции (26) изображен на рисунке 6. Кривая симметрична относительно прямой x = m. Зависимость графика от параметров такова: m является
абсциссой максимума функции; малым σ соответствует крутой горб кривой,
большим σ – пологий горб. Точки с абсциссами m ± σ являются точками
перегиба.
Функция (26) быстро убывает при x → +∞ . Площадь под всей кривой равна
единице.
Площади
криволинейных
трапеций
над
интервалами
[m − σ , m + σ ) , [m − 2σ , m + 2σ ) , [m − 3σ , m + 3σ ) равны соответственно 0,6827;
0,9545; 0,9973. Поскольку площадь криволинейной трапеции численно равна
вероятности того, что случайная величина примет значение в соответствующем
интервале, имеем
P(m − 3σ ≤ X < m + 3σ ) = 0,9973 .
Это утверждение составляет содержание правила «трех сигм» для нормального распределения.
Интегральный закон распределения, соответствующий дифференциальному закону (26) имеет вид
x
1
F (x ) =
σ 2π
−∞
∫
e
−
(t − m )2
2σ
2
dt .
Последний интеграл нельзя вычислить по формуле Ньютона – Лейбница,
поскольку подынтегральная функция не выражается через элементарные
65
функции. Однако удобно выразить F ( x ) через (табулированную) функцию
Лапласа следующим образом
F (x ) =
1
⎛ x − m⎞
+ Ф⎜
⎟.
2
⎝ σ ⎠
(27)
График функции (27) изображен на рисунке 7.
F (x )
f(x)
1
0,5
O
m −σ m m +σ
x
O
Рис. 6. Дифференциальный закон
нормального распределения
m
x
Рис. 7. Интегральный закон
нормального распределения
Распределение НСВ величины, заданное дифференциальной функцией
распределения
⎧ 1
,
a ≤ x ≤ b;
⎪
f (x ) = ⎨b − a
⎪⎩ 0,
x < a или x > b.
(28)
называется равномерным распределением.
График функции (28) изображен на рисунке 8. Равномерно распределенная
на отрезке [a, b] случайная величина принимает значения только в данном
отрезке.
Интегральный закон равномерного распределения имеет следующий вид:
⎧ 0, x < a ;
⎪⎪ x − a
F (x ) = ⎨
, a ≤ x ≤ b; .
b
a
−
⎪
⎪⎩ 1, x > b.
График функции (29) изображен на рисунке 9.
66
(29)
F(x)
f(x)
1
1
b−a
O
a
b
O
x
Рис. 8. Дифференциальный закон
равномерного распределения
a
b
x
Рис. 9. Интегральный закон
равномерного распределения
Распределение НСВ Х, заданное функцией распределения
x < 0;
⎧ 0,
f ( x ) = ⎨ −λ x
⎩λ e , x ≥ 0.
(30)
называется показательным (экспоненциальным) распределением; λ >0 – некоторый параметр.
График функции (30) изображен на рисунке 10; функция y = f ( x ) быстро
убывает. Величина Х принимает только неотрицательные значения.
Интегральная функция распределения F ( x ) показательной случайной величины Х имеет вид
⎧ 0,
F (x ) = ⎨
−λ x
⎩1 − e ,
x < 0;
x ≥ 0,
а её график изображен на рисунке 11.
F(x)
f(x)
λ
O
1
x
x
O
Рис. 10. Дифференциальный закон
показательного распределения
Рис. 11. Интегральный закон
показательного распределения
В таблице 4 приведены значения числовых характеристики для основных
законов распределений НСВ.
Таблица 4
67
Значения основные числовых характеристик распределений НСВ
Распределение
M [X ]
D [X ]
σ [X ]
Равномерное
a+b
2
(b − a )2
a −b
2 3
Нормальное
m
σ
Показательное
1
1
1
λ
λ2
λ
12
2
σ
Пример 7.1. Величина Х распределена нормально с параметрами m = 5,
σ = 1 . Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале [4, 7).
Решение. Вероятность попадания в интервал [а, b) случайной величины X,
подчиненной нормальному закону, определяется через интегральную и дифференциальную функции распределения следующим образом:
b
P(a ≤ X < b ) = ∫ f ( x ) dx = F (b) − F (a ) .
a
Выражая правую часть через функции табулированные функции, получим:
⎛a − m⎞
⎛b − m⎞
P(a ≤ X < b ) = Ф⎜
⎟.
⎟ − Ф⎜
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
Подставляя данные из условия, имеем
⎛ 4 − 5⎞
⎛7 − 5⎞
P(4 ≤ X < 7 ) = Ф⎜
⎟ = Ф(2 ) − Ф(− 1) = Ф(2 ) + Ф(1) =
⎟ − Ф⎜
⎝ 1 ⎠
⎝ 1 ⎠
= 0,47725 + 0,34134 ≈ 0,8186 . ►
Пример 7.2. Дана функция распределения случайной величины Х:
⎧ 0,
⎪
F ( x ) = ⎨ x 2 16,
⎪ 1,
⎩
х ≤ 0,
х < 0 ≤ 4,
x > 4.
а) Найдите плотность вероятности f(x); б) постройте графики f(x) и F(x);
в) докажите, что Х – непрерывная случайная величина; г) найдите вероятности
P( X = 1), P( X < 1), P(1 ≤ X < 4) и покажите их на графиках f(x) и F(x); д)
вычислите математическое ожидание и дисперсию.
68
Решение. а) Плотность вероятности находим по определению
х ≤ 0 , x > 4,
⎧0,
f ( x ) = F ′( x ) = ⎨
0 < х ≤ 4.
⎩0,125 x,
б) Графики f(x) и F(x) (отрезок прямой и «полупарабола» соответственно)
изображены на рисунках 12 и 13.
в) Случайная величина Х – непрерывная, так как функция распределения
f(x) непрерывна, а ее производная – плотность вероятности f(x) – непрерывна
во всех точках, кроме одной ( x = 4 ) ;
г) P( X = 1) = 0 как вероятность отдельно взятого значения непрерывной
случайной величины.
f(x)
F(x)
Q
0,5
0,25
O
1
(
)
P( X < 1)
P 1≤ X < 4
A
B
1
mX
R
4
x
1
O
Рис. 12. График функции плотности
вероятности к примеру 7.2
4
x
Рис. 13. График функции
распределения к примеру 7.2
Вероятность P( X < 1) можно найти либо по определению функции распределения, либо через плотность вероятности f(x):
12 1
P( X < 1) = F (1) = =
16 16
(ордината графика F (1) на рисунке 13) – или
1
0
1
1
x
x2
1
P( X < 1) = f ( x )dx = 0 ⋅ dx +
dx = 0 +
=
8
16 0 16
−∞
−∞
0
∫
∫
∫
(площадь под кривой распределения f(x) (треугольник OAB) – рис. 12).
Вероятность P(1 ≤ X < 4 ) можно найти либо как приращение функции распределения по формуле (19)
69
4 2 12 15
P(1 ≤ X ≤ 4 ) = F (4 ) − F (1) =
− =
16 16 16
(приращение ординаты графика F ( X ) на промежутке [1; 4 ) – рис. 13), либо
через плотность вероятности f(x):
4
4
x
x2
4 2 12 15
P(1 ≤ X ≤ 4 ) =
dx =
=
− =
8
16
16
16 16
1
1
∫
(площадь под кривой распределения f(x) (трапеция ABRQ) на промежутке [1; 4 ) ,
– рис. 12).
д) По формуле (20) математическое ожидание
+∞
0
4
+∞
4
1 3 8
x3
⎛ x⎞
m X = M [ X ] = xf ( x )dx = 0 ⋅ dx + x⎜ ⎟dx + 0 ⋅ dx =
=
⋅4 = .
8
24
24
3
⎝
⎠
0
−∞
−∞
0
4
∫
∫
∫
∫
Если представить распределение случайной величины Х в виде единичной
массы, распределенной по треугольнику OQR (рис. 12), то значение M [ X ] = 2
2
3
означает абсциссу центра массы треугольника.
По формуле (21) вычислим дисперсию. В начале найдем
+∞
[ ] ∫
M X
2
4
4
x4
⎛ x⎞
= x f ( x )dx = 0 + x ⎜ ⎟dx + 0 =
= 8.
8
32
⎝
⎠
0
0
−∞
∫
2
2
2
⎛8⎞ 8
Окончательно получаем D [ X ] = 8 − ⎜ ⎟ = .►
⎝ 3⎠ 9
Упражнение 7.1. Случайная величина Х задана интегральной функцией рас-
пределения вероятностей
х ≤ 1,5;
⎧ 0,
⎪
F ( x ) = ⎨2 х − 3, 1,5 ≤ х ≤ 2;
⎪ 1,
х > 2.
⎩
Найдите вероятность того, что: а) в результате испытания случайная величина
Х примет значение, заключённое в интервале (1,75; 2); б) в результате двух
независимых испытаний случайная величина Х оба раза примет значение из
интервала (1,7; 1,9).
70
Упражнение 7.2. Интегральная функция распределения вероятностей случай-
ной величины Х имеет вид: F ( x ) = A + B arcctgx, − ∞ < x < ∞. Найдите параметры А и В.
Упражнение 7.3. Дана интегральная функция случайной величины X:
F (x ) =
1
1
arctg x + .
2
π
Найдите плотность вероятности f(x) и постройте ее график. Исследуя график
функции y=f(x), докажите, что: а) вероятности принятия случайной величиной
положительных и отрицательных значений равны между собой; б) математическое ожидание Х равно нулю.
Упражнение 7.4. Дана интегральная функция случайной величины X:
⎧4 x ,
F (x ) = ⎨
⎩ 1,
х ≤ 0;
х > 0.
Найдите плотность вероятности f(x). Вычислите вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (– 0,5; 0): а) используя свойства интегральной
функции; б) используя свойства функции y=f(x).
Упражнение 7.5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:
⎧ 0,
⎪⎪ 1
f ( x ) = ⎨ x,
⎪a
⎪⎩ 0,
x ≤ 0;
0 < х ≤ a;
x > a.
Найдите параметр а (а > 0 ) . Постройте график функции y=f(x). Используя
свойства графика, найдите вероятность того, что в результате испытания
случайная величина примет значение в интервале (1; 2).
Упражнение 7.6. Дана плотность вероятности случайной величины X:
x ≤ 0;
⎧ 0,
⎪
f ( x ) = ⎨0,125 x,
0 < х ≤ 4;
⎪ 0,
x > 4.
⎩
71
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины X. Определите вероятность того, что в результате испытания:
а) случайная величина примет значение в интервале (0,5; 1);
б) примет значение в интервале (0,5; 1) или в интервале (2; 2,5);
в) в результате пяти независимых испытаний случайная величина три раза
примет значение в интервале (1; 3).
Упражнение 7.7. Дана плотность вероятности случайной величины X:
⎧ 0,
⎪⎪ 1
f (x ) = ⎨ x − ,
2
⎪
⎪⎩ 0,
Найдите математическое ожидание и
x ≤ 1;
1 < х ≤ 2;
x > 2.
дисперсию случайной величины
Y = X − 1.
Упражнение 7.8. Случайная величина Х задана плотностью вероятности:
⎧2 x ,
f (x ) = ⎨
⎩ 0,
0 < х ≤ 1;
х ≤ 0 или x > 1.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = X 3 .
Упражнение 7.9. Случайная величина Х имеет равномерное распределение
вероятностей на интервале (4; 10). Найдите ее математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Упражнение 7.10. Закон равномерного распределения вероятностей случайной
величины Х задан плотностью вероятности
х ≤ 3;
⎧0,
⎪⎪ 1
f ( x ) = ⎨ , 3 < х ≤ 8;
⎪5
x > 8.
⎪⎩0,
Найдите интегральную функцию случайной величины X. Вычислите начальные
и центральные моменты до третьего порядка включительно.
72
Упражнение 7.11. Случайная величина Х имеет, равномерное распределение
вероятностей. Найдите плотность вероятности, если математическое ожидание
1
.
3
случайной величины Х равно 8, а дисперсия равна
Упражнение 7.12. Внутри шара радиуса R некоторым способом наудачу
выбирается точка. Необходимо найти f(x) и F(x) случайной величины X,
выражающей расстояние точки до центра шара.
Упражнение 7.13. В круге радиуса R наудачу проведена хорда параллельно
заданному направлению. Найдите интегральную функцию случайной величины
X, выражающей длину хорды.
Упражнение 7.14. Плотность вероятности случайной величины X, подчинен-
ной нормальному закону распределения, задана функцией
f ( x ) = Ae
−
( x − 4 )2
18
.
Найдите коэффициент А и определите вероятность того, что в результате
испытания случайная величина примет значение в интервале (2; 5).
Упражнение 7.15. Во сколько раз уменьшится максимальное значение ордина-
ты нормальной кривой, если дисперсия случайной величины увеличится в 9
раз?
Упражнение 7.16. Максимальное значение плотности вероятности случайной
величины X, подчиненной нормальному закону распределения, равно
1
4 π
.
Найдите среднее квадратическое отклонение и дисперсию этой случайной
величины.
Упражнение 7.17. Используя свойства кривой плотности вероятности случай-
ной величины X, подчиненной нормальному закону распределения, найдите ее
математическое ожидание, если известно, что P(− ∞ < X < −3) = P(7 < X < +∞ ) .
Упражнение 7.18. Случайная величина Х имеет плотность вероятности
f (x ) =
1
0,5 2π
73
e
−
( x −5 )2
0,5
.
Найдите вероятность того, что при двух независимых испытаниях случайная
величина Х хотя бы один раз примет значение вне интервала (4; 6).
Упражнение 7.19. Случайная величина Х – отклонение размера детали от
стандарта – имеет нормальное распределение вероятностей со средним квадратическим отклонением, равным 0,2. Систематическая ошибка отсутствует.
Найдите вероятность изготовления детали, отвечающей требованиям стандарта,
если задан допуск ± 0,5.
Упражнение 7.20. При измерении детали ее длина Х является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами M[X] = 22
см и σ[X] = 0,2 см. Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X.
74