ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЯ
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №1
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
x2
;
a) x + y = 8, y =
2
2
2
3
3
b) x = 4 2 cos t , y = 2 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ;
c)
ρ = 1 + cos ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln cos x , 0 ≤ x ≤
3
2
π
3
;
4
b) x = 8at , y = 3a ( 2t − t ), y ≥ 0;
c)
ρ = aϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , a > 0 .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = − x 2 + 5 x − 6, y = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
b)
∫
dx
2
−∞
x +4 x + 9
1
x −1
∫
−1
3
x
5
∞
;
c)
∫
1
e−x
x
d)
∫
0
2
dx ;
sin 4 x
1
dx ;
5
3
3
2 2
(1 − x )
dx .
4
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫ x dx по формулам трапеций и Симпсона, деля
0
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №2
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) x = y, õ + y = 4, y = 3 x ;
b) x = 2 cos t , y = 2 sin t , 0 ≤ t ≤
c)
π
4
;
ρ 2 = a 2 cos 2ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) x =
1 2 1
y − ln y , 1 ≤ y ≤ 2 ;
4
2
5
5
b) x = a cos t , y = a sin t ,0 ≤ t ≤ 2π ;
c)
ρ = aϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
x
x
− ⎞
a ⎛⎜ a
y = e + e a ⎟, x = a, x = − a .
⎟
2⎜
⎝
⎠
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
−∞
3
b)
∫
0
∞
dx
x 2 +4 x + 4
c)
∫
2
5
dx
(3 − x)
;
3
d)
;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
0
3
∫
2
dx
2
x x −1
sin x cos 2 x
x3
4 + sin 2 x
( x − 5)
2
dx ;
dx .
по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №3
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
a) y = 2 px, x = 2 py ;
b) x = 4(t − sin t ), y = 4(1 − cos t ), y = 4 ( y ≥ 4, 0 < x < 8π ) ;
c)
ρ = 2 cos ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 ;
4
π
2
b) x = sin t , y = cos t , 0 ≤ t ≤
c)
ρ = 5(1 − sin ϕ ), −
π
2
2
≤ϕ ≤ −
π
6
;
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = 3 sin x, y = sin x, 0 ≤ x ≤ π .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
2
0
b)
∫
−1
∞
dx
;
x ln x
1
ex
x
2
c)
∫
0
3
d)
dx ;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
2
4
dx
∫ x 2 ( x + 1)
dx
3 4
x + x +1 + 3
;
cos x + 4
dx .
x−2
по формулам трапеций и Симпсона,
2
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №4
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
a) y = 2 x − x , y = − x ;
3
3
b) x = 16 cos t , y = 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ;
c)
ρ = 4 sin 2ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln sin x ,
π
3
≤x≤
π
2
;
t3
− t , y = t 2 + 2, 0 ≤ t ≤ 3;
b) x =
3
c)
ρ=
1
,
π
sin 2 (ϕ ) 2
2
≤ϕ ≤
3π
.
2
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = 5 cos x, y = cos x, x = 0, x ≥ 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
∞
a)
∫ arctgxdx ;
c)
1
1
b)
∫
−1
2
2
dx
(2 − x)
∫
3
d)
;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
0
3
∫
2
dx
2
x x −1
sin x cos x
x
3
dx ;
4 + sin 2 x cos x
( x − 2)
2
dx .
по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №5
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
a) xy = 20, x + y = 41 (I четверть);
b) x = 2 cos t , y = 6 sin t , y = 3 ( y ≥ 3) ;
c)
ρ = 2 sin ϕ cos 2 ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = 1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤
4
π
4
;
4
b) x = cos t , y = sin , 0 ≤ t ≤
c)
π
2
;
ρ = aϕ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 4 .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями y
= sin 2 x, x =
π
2
, y = 0.
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
1
1
b)
∫
0
∞
x 8 dx
10
x +x +1
c)
∫
3
e −ax dx (a < 0) ;
0
1
dx
(x − 1)
;
;
d)
∫
0
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
dx
01+
x
3
8 + sin x
x
2
dx .
по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №6
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = sin x, y = cos x, x = 0 ;
b) x = 2 sin t , y = 3 sin 2t , 0 ≤ t ≤ 2π ;
c)
ρ = 4 cos 3 ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
x2
a) y =
, 0 ≤ x ≤ 1;
2
5
5
b) x = a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ;
c)
ρ = aϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ 3 .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = 2 x − x 2 , y = − x + 2, x = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
3
a)
∫
−2
∞
b)
∫
π
2
dx
x
1
3
;
c)
2
∫
0
cos x + 4
x
1
dx ;
1
d)
3
∫
0
e−
x
x
dx ;
x
cos sin 4 x
2
dx .
8 7
x
1
xdx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
x
+
1
0
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №7
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
a) y = 0,25 x , y = 3 x − 0,5 x ;
t
t2
b) x = (6 − t ), y =
(6 − t ) (петля);
3
8
c) ρ = 3 + 5 cos ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln
ex +1
e −1
x
, 0 ≤ x ≤ 5;
b) x = 9(t − sin t ), y = 9(1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π ;
c)
ρ = aeϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
2
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x2 , y2 − x = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
1
b)
∫
0
∞
dx
;
3− x
c)
0
arccos 2 x
1− x
∫
2
1
dx ;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
d)
∫
0
dx
3
4
x +1
sin 4 x
2
x −1
;
dx .
4
∫ 1 + xdx
по формулам трапеций и Симпсона,
2
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №8
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
2
a) y = 6 õ, õ + ó = 16 ;
t3
b) x = t , y = t − (петля);
3
2
c)
ρ = a sin 5ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln x ,
3 ≤ x ≤ 8;
b) x =e cos t , y = e sin t , 0 ≤ t ≤ ln π ;
t
c)
t
ρ = ϕ 2, 0 ≤ ϕ ≤ π .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = 2x − x 2 , y = −x + 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
3
a)
∫
0
∞
b)
∫
2
∞
dx
;
2
x
c)
e
x
2
sin 2 xdx ;
0
sin 3x + 2
7
∫
−
x5
dx ;
1
d)
∫
0
Задача 5. Вычислить интеграл I =
4
∫
x
sin + 1
2 dx .
3 5
x
1 + x 2 dx по формулам трапеций и Симпсона,
2
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №9
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = ln x, y = 0, x = l ;
b) x = 2 cos t (1 + cos t ), y = 2 sin t (1 + cos t ) ;
c)
ρ = a cos 3ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y =
3
2x 2 ,
0 ≤ x ≤ 11;
b) x = 8 sin t + 6 cos t , y = 6 sin t − 8 cos t , 0 ≤ t ≤
c)
π
2
;
ρ = aϕ 3, 0 ≤ ϕ ≤ 4 .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линией
x 2 + ( y − 2) 2 = 1 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
1
1
b)
∫
0
3x + x 2
x3
∞
dx ;
∫
π
arccos x
1− x
c)
2
3
dx ;
d)
∫
0
9
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
1
dx
1− x
2
2
sin x cos 3xdx
x8
;
cos 2 x
dx .
3
x
по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №10
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
a) y + 8 x = 16, y − 24 õ = 48 ;
3
b) x = 2 cos t , y = 3 sin t ;
c)
ρ = 2 sin ϕ , ρ = 4 sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
2 x − x 2 − 1,
a) y =
3
1
≤ x ≤ 1;
4
3
b) x = àños t , y = b sin t ,
c)
ρ=
3ϕ
3e 4
,−
π
2
≤ϕ ≤
π
2
π
3
≤t≤
π
2
;
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = 1 − x 2 , x = 0, x =
y − 1, x = 1.
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
1
a)
∫
−1
∞
b)
∫
2
3x 2 + 2
3
õ
2
∞
c)
dx ;
dx
;
2
x ln x
Задача 5. Вычислить интеграл I =
d)
∫
1
x
1
sin x
∫
0
3
∫
1
ln( x 2 + 1)
5
dx ;
2 4
(1 − x )
dx .
x2 +1
dx по формулам трапеций и Симпсона,
x
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №11
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
2
a) x + y + 6 x − 2 y + 8 = 0, y = x + 6 x + 10 ;
2
3
b) x = t − 1, y = t − t , (петля);
c)
ρ = cos ϕ − sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = − x
2
3
− 1, 0 ≤ x ≤ 5 5 ;
b) x = (t − 2) sin t + 2t cos t , y = ( 2 − t ) cos t + 2t sin t , 0 ≤ t ≤ π ;
2
c)
2
ρ = 2eϕ , −
π
2
≤ϕ ≤
π
2
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 , y = 1, x = 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
1
a)
∫
0,5
∞
b)
∫
2
dx
2
x ln x
1
;
c)
∫
0
sin xdx
8
2 3
(1 − x )
∞
xdx
;
2
x −1
d)
∫
0
;
x13
5
3
( x + x + 1)
3
dx .
2
xdx
dx по формулам трапеций и Симпсона,
3
11+ x
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №12
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = e , y = e
x
−x
, x = 1;
2
2
3
b) x = 2t − t , y = 2t − t (петля);
c)
ρ = 2 sin 4ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
5
4
a) y = x 4 , 0 ≤ x ≤ 9 ;
5
b) x = 5(t − sin t ), y = 5(1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ π ;
c)
ρ = 1 − sin ϕ , −
π
π
≤ϕ ≤ − .
2
6
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x3 , y = x .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
1
b)
∫
0
2x
x2 +1
5
c)
dx ;
arcsin x
1− x
∫
4
∞
d)
dx ;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
2
16
∫
4
dx
;
( x − 3)( x − 5)
dx
1+ x
.
dx
по формулам трапеций и Симпсона,
x +1
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №13
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
x2
2
a) y =
, y = 4 − x2;
3
3
b) x = t (t − 3), y =
c)
t (3 − t )
(петля);
3
ρ = 4 cos 4ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln cos x , 0 ≤ x ≤
π
3
;
b) x = 4(cos t + t sin t ), y = 4(sin t − t cos t ), 0 ≤ t ≤ 2;
c)
ρ = 3(1 + sin ϕ ), −
π
6
≤ ϕ ≤ 0.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 , õ = 2, y = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
1
0
b)
∫
−1
dx
x 2 (x + 1)
arcsin õ
1− x2
6
c)
;
∫
dx
;
( x − 4)( x − 6)
∞
ln(1 + x)dx
.
x
5
d)
dx ;
∫
1
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
0
xdx
1+ x
2
по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №14
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = tgx, y = 0, x =
π
3
;
2
b) x = 2 cos t , y = 3 sin t cos t ;
c)
ρ=
1
+ cos ϕ .
2
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
1
õ
(1 − õ) , ≤ x ≤ 1 ;
2
3
a) y =
b) x = e (sin t + cos t ), y = e (cos t − sin t ), 0 ≤ t ≤ π ;
t
c)
t
ρ = 6(1 + sin ϕ ), −
π
2
≤ ϕ ≤ 0.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 + 1, y = x, x = 0, x = 1 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
1
x sin xdx ;
c)
0
0
∞
b)
∫
1
∫
e−x
x
2
3
2
d)
dx ;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
0
1
∫
sin x cos x + 1
x
3
4 + 12 x
dx ;
dx .
x x
1 + x 2 dx по формулам трапеций и Симпсона,
0
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №15
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y =
1
, y = 0, x = 5, õ = 3 ;
õ
2
2
3
b) x = 2t − t , y = 2t − t (петля);
c)
ρ=
1
+ sin ϕ .
2
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y =
1 2
x , 0 ≤ x ≤ 2;
4
b) x = 2,5(t − sin t ), y = 2,5(1 − cos t ),
c)
ρ = 6 sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
3
π
2
≤ t ≤ π;
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x − 1, ó = 0, ó = 1, õ = 0,5 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
2
b)
∫
1
x
x3 + 1
∞
c)
dx ;
ln x
dx ;
x
1
3x + 7
2
6 + cos 2 x
dx ;
x −1
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
d)
∫
0
dx .
x
3
∫
xdx по формулам трапеций и Симпсона, деля
1
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №16
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = x −
π
2
, y = cos x, x = 0 ;
2
3
b) x = t − 4, y = t − 4t (петля);
c)
ρ = 6 sin ϕ , ρ = 4 sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = 4 −
1 2
x , y ≥ 0;
2
b) x = 3,5( 2 cos t − cos 2t ), y = 3,5(2 sin t − sin 2t ), 0 ≤ t ≤
c)
ρ = 2 sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
6
π
2
;
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = ln x, ó = 0, õ = 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
1
0
b)
∫
−1
1+ x2
x3
e
−1
x2
∞
c)
dx ;
∫
x3 + 1
x4
1
x
1
d)
dx ;
∫
0
dx ;
cos x
5
2 2
(1 − x )
dx .
5
dx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
x
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №17
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = x, y =
π
2
sin x, x ≥ 0 ;
3
2
b) x = 1 + t − t , y = 1 − 15t (петля);
c)
ρ = 3 sin ϕ , ρ = 5 sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = 4 x − 2 , 2 ≤ x ≤ 3 ;
t6
t4
b) x =
, y = 2 − , 0 ≤ t ≤ 4 8;
6
4
c)
3
4
ρ = 2ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = ( x − 1) 2 , ó = 1 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
∞
b)
∫
π
2
π
dx
3
x +1
2 + sin x
x
2
c)
;
∫
0
1
dx ;
d)
3
∫
0
2
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
dx
3
1x
sin 3 x
x
1
dx ;
3
3 x + 11
3
x
7
dx .
по формулам трапеций и Симпсона, деля
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №18
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y =
1 2
1
x , y = 3x − x 2 ;
4
4
b) x = 2 cos t (1 + cos t ), y = 2 sin t (1 + cos t ) ;
c)
ρ = 3 + 5 cos ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln
ex +1
e −1
x
, 0 ≤ x ≤ 5;
3
2
4
≤ϕ ≤
3π
.
2
b) x = 8at , y = 3a ( 2t − t ), y ≥ 0;
c)
ρ=
1
sin 2
,
π
ϕ 2
2
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = 5 sin x, y = sin x, x ≥ 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
4
a)
∫
0
dx
(4 − x) 3
∞
c)
;
2
∞
b)
∫
∫
1
d)
arctgxdx ;
0
1
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
4
dx
∫ x 2 ( x + 1)
sin xdx
x2
;
sin 2 x
2
x −1
dx .
по формулам трапеций и Симпсона,
2
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №19
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
à2
a) y =
2
à −õ
2
, y = 2à ;
b) x = 2 2 cos t , y = 3 2 sin t , y = 3 ( y ≥ 3) ;
c)
ρ = cos ϕ + sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln x , 2 2 ≤ x ≤ 2 6 ;
b) x = e cos t , y = e sin t , 0 ≤ t ≤ ln π ;
t
c)
t
ρ = 6 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
3
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 − 2 õ + 1, y = 0, x = 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
π
a)
∫
0
sin 3xdx
12
x 15
∞
b)
∫
−1
5
;
∫
2
∞
dõ
2
c)
3
4
x + x +1
d)
;
∫
dx
( x − 2) 2
;
e − kx dx (k > 0) .
0
3
x +1
dx по формулам трапеций и Симпсона,
x
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №20
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
a) y = − x , y = x − 2 õ − 4 ;
3
3
b) x = 32 cos t , y = sin t , õ = 4 ( õ ≥ 4) ;
c)
ρ = sin 6ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = e , 0 ≤ x ≤ ln 7 ;
x
3
3
b) x = cos t , y = sin t , 0 ≤ t ≤
c)
ρ = 5ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
4
;
12
.
5
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x3 , y = x .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
5
a)
∫
0
dx
(x − 5) 3
π
c)
;
0
∞
b)
∫
∫
∞
sin xdx ;
d)
0
∫
1
2
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
x+2
2
0 x +1
sin x cos 3x + 4
x4
dx ;
dõ
2x + 3 x 2 + 1 + 5
dx по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №21
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = 6 x − 5 õ + 1, y = cos πx, 0 ≤ x ≤
2
1
;
2
b) x = 3 cos t , y = 8 sin t , y = 4( y ≥ 4) ;
c)
ρ = 1 + 2 sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
2
a) y = ln( x − 1) , 2 ≤ x ≤ 5 ;
3
3
b) x = 6 cos t , y = 6 sin t , 0 ≤ t ≤
c)
ρ = 8(1 − cos ϕ ), −
π
3
;
2π
≤ ϕ ≤ 0.
3
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = ( x − 1) 2 , x = 0, x = 2, y = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
∞
b)
∫
x3 + 7
x5 − x2 + 2
1
c)
dx ;
∫
0
3
−x
xe dx ;
d)
∫
0
0
4
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
0
dx
;
x
dx
x2 + 3 x
.
dx
по формулам трапеций и Симпсона,
x+2
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №22
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = sin 2 x, y = sin x,
π
3
≤ x ≤π ;
b) x = 10(t − sin t ), y = 10(1 − cos t ), y = 15 (0 < x < 2π , y ≥ 15) ;
c)
ρ = 1 + 2 cos ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln sin x ,
π
3
≤x≤
2π
;
3
b) x = e (cos t + sin t ), y = e (cos t − sin t ),
t
c)
t
ρ = 8 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
4
π
6
≤t≤
π
4
;
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями y = sin x , y = cos x , y = 0 , x = 0 , x =
π
2
.
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
3
a)
∫
0
∞
b)
∫
x2
9− õ
1
2
c)
dx ;
∫
0
dx
5
10
1− õ
∞
2 −x
x e dx ;
d)
0
∫
0
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
dx
01+
õ
3
õdx
3
5
x +2
;
.
по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №23
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y = x, y =
π
2
sin x, x ≥ 0 ;
3
2
b) x = 1 + t − t , y = 1 − 15t (петля);
c)
ρ = 3 sin ϕ , ρ = 5 sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln
ex +1
ex −1
, 0 ≤ x ≤ 5;
3
2
4
≤ϕ ≤
3π
.
2
b) x = 8at , y = 3a ( 2t − t ), y ≥ 0;
c)
ρ=
1
sin 2
,
π
ϕ 2
2
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 − 2 õ + 1, y = 0, x = 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
∞
b)
∫
x3 + 7
x5 − x2 + 2
1
c)
dx ;
∫
0
3
−x
xe dx ;
d)
∫
0
0
dx
;
x
dx
x2 + 3 x
.
5
dx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
x
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №24
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
2
2
a) 2 y = x , õ + y = 4 ó, 2 ó ≥ õ ;
2
3
b) x = t − 9, y = t − 9t (петля);
c)
ρ = 6 cos 3ϕ , ρ = 3 ( ρ ≥ 3) .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
x2
a) y =
, 0 ≤ x ≤ 2;
4
3
3
b) x = 2 cos t , y = 2 sin t , 0 ≤ t ≤
c)
ρ = 7(1 − sin ϕ ), −
π
6
≤ϕ ≤
π
6
π
4
;
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями y 2 = 4 x, x = y .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫ x3 −1
2
∞
b)
x
∫
0
2π
dx ;
c)
∫
0
sin 2 x
dx ;
x
0
d)
∫
−2
3
dx
;
sin x
dx
.
( x + 1)3 x + 1
6
dx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
x
−
1
2
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №25
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
a) y + x = 4, y − 3 x = 12 ;
2
3
b) x = t − 1, y = t − t (петля);
c)
ρ = 4 sin 3ϕ , ρ = 2 ( ρ ≥ 2) .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
x 2 ln x
a) y =
, 1 ≤ x ≤ 3;
−
2
4
b) x = 5(t − sin t ), y = 5(1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ π ;
c)
3
4
ρ = 4ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = arcsin x, x = 1, y = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
1
π
b)
∫
0
x4
5
e
( x + 1)
sin x
x
2
4
c)
dx ;
∫
0
e x dx
;
x
e −1
∞
dx ;
d)
∫
0
xdx
3
7
x +1
.
5
dx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
3
x
−
1
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №26
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
2
a) x + y = 2, y = 2 õ − 1, õ ≥
1
;
2
t (3 − t 2 )
(петля);
b) x = t , y =
3
2
c)
ρ = 4 cos 3ϕ , ρ = 2 ( ρ ≥ 2) .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) x = ln cos y , 0 ≤ x ≤
π
3
;
b) x = 4(cos t + t sin t ), y = 4(sin t − t cos t ), 0 ≤ t ≤ 2;
c)
ρ = 3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
3
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями y = arcsin x,
x = 1, y = 0 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
0
1
b)
∫
−1
x3 + 7
x5 − x 2 + 2
1
eõ
dx
x3
1
c)
dx ;
∫
0
∞
;
d)
∫
1
sin xdx
5
2 4
(1 − x )
dx
( x + 1) x
;
.
5
dx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
x
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №27
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
2
2
a) x + y + 6 x − 2 y + 8 = 0, y = x + 6 x + 10 ;
2
b) x = 2 cos t , y = 3 sin t cos t ;
c)
ρ = cos ϕ − sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = − x
2
3
− 1, 0 ≤ x ≤ 5 5 ;
2
2
b) x = (t − 2) sin t + 2t cos t , y = ( 2 − t ) cos t + 2t sin t , 0 ≤ t ≤ π ;
c)
ρ = 2eϕ , −
π
2
≤ϕ ≤
π
2
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 , y = 1, x = 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
1
a)
∫
0
∞
b)
∫
2
dx
2
x ln x
xdx
2
x −1
1
c)
;
∫
0
2
;
d)
∫
0
2
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
xdx
11+
x
3
sin xdx
8
2 3
(1 − x )
xdx
2
x −1
;
.
dx по формулам трапеций и Симпсона,
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №28
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
a) y =
1
1 −õ
2
, y = 2;
b) x = 2 2 cos t , y = 3 2 sin t , y = 3 ( y ≥ 3) ;
c)
ρ = cos ϕ + sin ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = ln x , 2 2 ≤ x ≤ 2 6 ;
b) x = e cos t , y = e sin t , 0 ≤ t ≤ ln π ;
t
c)
t
ρ = 6 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
π
3
.
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской
фигуры, ограниченной линиями
y = x 2 − 2 õ + 1, y = 0, x = 2 .
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
π
a)
∫
0
sin 3 x
4
x5
∞
b)
∫
−1
5
dx ;
∫
2
∞
dõ
2
c)
3
4
x + x +1
d)
;
∫
dx
(x − 2)
2
;
e −5 x dx .
0
3
x +1
dx по формулам трапеций и Симпсона,
x
1
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №29
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
x2
;
a) x + y = 8, y =
2
2
2
3
3
b) x = 4 2 cos t , y = 2 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ;
c)
ρ = 1 + cos ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) x =
1 2 1
y − ln y , 1 ≤ y ≤ 2 ;
4
2
5
5
b) x = a cos t , y = a sin t ,0 ≤ t ≤ 2π ;
c)
ρ = aϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
x
x
− ⎞
a ⎜⎛ a
e + e a ⎟, x = a, x = −a .
фигуры, ограниченной линиями y =
⎟
2⎜
⎝
⎠
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
∞
a)
∫
2
0
b)
∫
−1
∞
dx
;
x ln x
1
ex
x
2
c)
∫
0
3
d)
dx ;
Задача 5. Вычислить интеграл I =
∫
2
4
dx
∫ x 2 (x + 1)
dx
x3 +4 x + 1 + 3
;
cos x + 4
dx .
x−2
по формулам трапеций и Симпсона,
2
деля отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
Определенный интеграл и его приложения
Комплект №2
_____________________________________________________________________________________
Вариант №30
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
2
a) y = 2 x − x , y = − x ;
3
3
b) x = 16 cos t , y = 2 sin t , x = 2 ( x ≥ 2) ;
c)
ρ = 4 sin 2ϕ .
Задача 2. Найти длину дуги кривой:
a) y = 1 − ln cos x , 0 ≤ x ≤
4
π
4
4
;
b) x = cos t , y = sin , 0 ≤ t ≤
c)
π
2
;
ρ = aϕ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 4 .
Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской
фигуры, ограниченной линиями y
= sin 2 x, x =
π
2
, y = 0.
Задача 4. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их сходимость:
3
a)
∫
−2
∞
b)
∫
π
2
dx
x
1
3
;
c)
2
∫
0
cos x + 4
x
1
dx ;
1
d)
3
∫
0
e−
x
x
dx ;
x
cos sin 4 x
2
dx .
8 7
x
1
xdx
по формулам трапеций и Симпсона, деля
x
+
1
0
Задача 5. Вычислить интеграл I = ∫
отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. Найти этот интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница и сравнить результаты.